Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2ⁿ , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3ⁿ , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2^g3^b5^f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.