Geplaatst op door Tijs Essel

Oppervlaktegolven in ondiep water: een verhaal van vallen en opstaan

Wanneer het wateroppervlak glad als een spiegel is ervaren we schoonheid in de symmetrie van het geprojecteerde beeld, zoals de Taj Mahal weerspiegelt in de vijvers voor het bouwsel. Maar ook in de aanwezigheid van golven kunnen we schoonheid ervaren. Denk maar aan die lang vervlogen zondagvoormiddag in het stedelijke zwembad wanneer het invallende zonlicht fonkelende patronen toverde op het plafond terwijl we onszelf probeerden te oriënteren tijdens een molenwiekende rugslag. Oppervlaktegolven vinden we in alle geuren en kleuren. De kleinste rimpeling in een plasje. Het morsen van koffie. Windgolven en deining op zee. Maar ook tsunami’s en de getijden zijn oppervlaktegolven. Laten we bijna letterlijk in deze materie duiken!

Eigenschappen van oppervlaktegolven

De vraag stelt zich waarin de soorten oppervlaktegolven zich verschillen. Uiteraard zou je kunnen stellen dat er grote en kleine golven zijn. Dat is een pientere vaststelling, maar dat is nu net niet een karakteristiek dat de diepere identiteit van een golf onthult. Een golf wordt immers gekarakteriseerd door z’n golflengte en z’n periode (of z’n frequentie, wat het omgekeerde is van de periode). De golflengte is de afstand tussen twee golftoppen en de periode is de tijd die verstrijkt tussen de passage van twee golftoppen. In realiteit zien we echter een eerder chaotisch golfpatroon in ons bad of in de zee. Dat komt omdat oppervlaktegolven van verschillende golflengte en periode samen kunnen optreden. Wat je in realiteit ziet is dus de som van veel golven met verschillende golflengte en verschillende periode, en ook nog eens met een verschillende richting.

Om orde te scheppen in de ogenschijnlijke chaos van wat we meten moeten we op zoek naar de basisgolven waaruit deze chaos is opgebouwd. Het ontrafelen van wat we zien kan typisch met een Fourieranalyse waarmee we op zoek gaan naar verdeling van de golven per frequentie. Dat is fantastische wiskunde die ons van het tijdsdomein naar het frequentiedomein brengt, maar dat zou ons hier te ver leiden. Wat we naast deze superpositie-eigenschap moeten beseffen is dat een golf meer dan een beweging van waterdeeltjes een transportmiddel is voor energie. Als we een steen gooien in een meer zien we een verstoring die zich met een bepaalde snelheid concentrisch voortplant, het water blijft echter op dezelfde plaats wanneer de verstoring gepasseerd is. We willen graag weten hoe de golf zich voortplant!

Van troebele stromingsleer naar een heldere bergrivier

Golven zijn niet magisch en moeten gehoorzamen aan de wetten van de fysica. Helaas behoort de wiskundige beschrijving van vloeistofbeweging tot de moeilijkste problemen uit de klassieke natuurkunde. De beroemde Richard Feynman schreef hierover: “Watergolven zijn het slechtst mogelijke voorbeeld van golven, omdat ze alle complicaties bezitten die golven kunnen hebben”.
Horace Lamb, één van de grondleggers van de moderne hydrodynamica, deed er nog een schepje bovenop en liet zich verleiden tot de volgende uitspraak: “Als ik sterf en naar de hemel ga, hoop ik inzicht te krijgen in twee zaken: de kwantumelektrodynamica en turbulente stromingen. Over het eerste ben ik redelijk optimistisch.”
Laten we ons echter hierdoor niet afschrikken. De heldere theorie van oppervlaktegolven zal ons verfrissen als een handvol water dat we onszelf toewerpen vanuit een fris bergriviertje na een zware bergwandeling. Het heldere water van een bergrivier vertelt ons alles wat we moeten weten om een eenvoudige golftheorie op te bouwen.

Vallen en opstaan

Een eerste element is de vaststelling dat het water bergafwaarts stroomt. Water zal van hoog naar laag stromen, dat is kristalhelder en indrukwekkend wanneer water in de bergen van de rotsen dondert, maar ook verder stroomafwaarts is het de zwaartekracht die ervoor zorgt dat elke druppel water uiteindelijk de zee instroomt. Het is bijzonder om op te merken dat hoe groter de helling is, met hoe meer kracht het water naar beneden stroomt. Het principe is helder: hoe groter de helling hoe groter de versnelling van het water.

Een tweede element ontdekken we als we een dam gaan bouwen in die bergrivier en zien dat het water opgestuwd wordt. Op het moment dat het waterniveau stijgt net achter de dam stroomt er meer water in, dan er water uitstroomt. De vaststelling dat het water stijgt doordat er meer water bijkomt dan dat er wegstroomt is een cruciale gedachte. Het effect is hetzelfde als bij het ontstaan van een file in het verkeer. Auto’s rijden plots trager dan de auto’s die volgen en het verkeer wordt ‘opgehoopt’, gelukkig niet letterlijk. Het achterliggende principe uit de fysica is het behoud van massa: als er meer water in- dan uitstroomt, dan moet de massa zich opstapelen, want massa kan niet zomaar verdwijnen.

In feite beschrijven de twee elementen een verhaal van vallen en opstaan. Een oppervlaktegolf die zich voortplant is een continu verhaal van vallen en opstaan. Hiermee zijn we helemaal klaar om een vat wiskundeformules open te trekken om de fundamentele wetten van dit ‘vallen en opstaan’ in harde wiskunde te gieten.

Vallen dankzij de zwaartekracht

Zoals wij, en bij uitbreiding alle materie in het heelal, ondervindt ook water de zwaartekracht. Ons lichaam beschikt over een inwendige structuur en de nodige spieren om ons in de meeste gevallen overeind te houden; hadden we geen skelet en spieren dan zouden we ons gedragen als een zak patatten. Maar zelfs een zak patatten biedt nog vele keren meer weerstand aan het zijwaarts uitvloeien dan water.
Water beschikt vrijwel over geen weerstand tegen afschuiving, daarom vormt z’n oppervlak een equipotentiaaloppervlak van het zwaartekrachtsveld, dat op grote schaal de kromming van de aarde volgt, maar dat op onze mensenmaat als horizontaal kan beschouwd worden.
Wanneer geen andere krachten spelen zitten we volledig in het vakgebied van de hydrostatica, waarbij de druk (ten opzichte van de oppervlaktedruk) op een bepaalde diepte h wordt veroorzaakt door het gewicht van alle waterlagen erboven:

$$
p = \rho gh
$$

Wanneer echter de waterhoogte varieert zal elk onderliggend waterdeeltje een variatie van horizontale druk ondervinden. De variatie ten opzichte van een stilwaterniveau wordt meestal uitgedrukt als $\eta(x)$. De waterdruk is afhankelijk van de positie:

$$
p(x)=\rho g (h+\eta(x))
$$

De mate waarmee de druk op een bepaalde diepte verandert, is evenredig aan de mate waarmee de waterhoogte verandert, wiskundig gezien komt dit neer op het afleiden naar x van bovenstaande uitdrukking, de hoogte h verdwijnt gezien dit een constante is.

$$
\frac{\partial p(x)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho g (h+\eta(x))\right)=\rho g \frac{\partial \eta(x)}{\partial x}
$$

Bovenstaande uitdrukking geeft aan dat hoe steiler het wateroppervlak verloopt, hoe groter ook de drukvariatie of drukgradiënt zal zijn. De resulterende kracht op de waterkolom is enkel afhankelijk van het drukverloop, en we weten ook ondertussen dat dit drukverloop recht evenredig is met de waterhelling.

$$
\begin{align*}F_x=&h\left[ p(x)-p(x+dx)\right]\\=&h\left[ p(x)- \left(p(x)+\frac{\partial p}{\partial x}dx\right)\right]\\=&-h\frac{\partial p}{\partial x}dx\\=&-\rho g h\frac{\partial \eta}{\partial x}dx \end{align*}
$$

Van zwaartekracht naar versnelling met Newton

Zoals Sneeuwwitje bij de dwergen en de echo’s bij de bergen, zo horen kracht en versnelling bij mekaar. En ook al schreef Newton nergens letterlijk $F=ma$ toch linken we deze fundamentele wet in één adem met Newton. De formule bekt iets gemakkelijker dan de oorspronkelijke formulering van Newton: “Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.” Vrij vertaald: “De verandering van beweging is evenredig met de uitgeoefende aanzettende kracht, en geschiedt in de rechte lijn waarin die kracht wordt uitgeoefend.” Tegenwoordig zouden we eerder spreken over impuls dan over beweging.

Om te komen tot een uitdrukking voor de versnelling $a=\frac{F}{m}$ delen we de reeds gevonden kracht op de waterkolom door de massa van de waterkolom, waarbij $m=\rho h dx$:

$$
a_x=\frac{F_x}{m}=\frac {− \rho g h \frac{\partial \eta} {\partial x} dx}{\rho h dx}=-g\frac{\partial \eta}{\partial x}
$$

Definiëren we $u(x)$ als de horizontale snelheid van het waterdeeltje, dan kunnen we de versnelling herschrijven als de afgeleide van deze snelheid ($a_x=\frac{\partial u}{\partial t}$). Deze uitdrukking wordt ook wel de impulsvergelijking genoemd.

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}
$$

De horizontale versnelling van water is dus rechtevenredig met de helling van het wateroppervlak. Waarbij we de materiële afgeleide benaderen met de partieel afgeleide, omdat de veranderingen in tijd voor zo’n langzame golf op een vaste plek veel groter zijn dan de verplaatsing van het waterdeeltje zelf. Het komt erop neer dat de versnelling waarbij het deeltje gevolgd wordt niet strikt hetzelfde is als de versnelling die we waarnemen op een vast punt. De materiële versnelling beschrijft de werkelijke verandering in de tijd, terwijl de partiële afgeleide enkel de lokale verandering in de tijd op een vaste locatie weergeeft. Denk maar aan een vernauwing bij een stationaire stroming. Een waarnemer op vaste locatie ziet geen verandering in de tijd, maar het waterdeeltje zal wel degelijk een versnelling ervaren. Daar zal je zeker aan denken de volgende keer wanneer je het water uit je bad laat wegstromen.

Opstaan door behoud van massa
In de klassieke natuurkunde is de wet van behoud van massa een fundamentele wet die dicteert dat er geen massa gecreëerd wordt of verdwijnt. Ter vereenvoudiging gaan we water als onsamendrukbaar beschouwen, zodat ook behoud van volume geldt. Behoud van massa stelt dat de resulterende som van alle instromende debieten, moet resulteren in een verticale opstuwing:

$$
Q_{in}-Q_{uit}=Q_{vert}
$$

Opnieuw omwille van vereenvoudiging stellen we dat de horizontale snelheid van de waterdeeltjes in de langsrichting van de golf op elke diepte gelijk is. Dit mogen we enkel maar doen wanneer de golflengte van de golf vele malen groter is dan de waterdiepte; de golf moet de bodem voelen. Bijgevolg kunnen we de debieten herschrijven als:

$$
\begin{align*}h \left[ u(x)-(u(x+dx)) \right]=&\frac{\partial \eta}{\partial t}dx\\ -h\frac{\partial u}{\partial x}dx=&\frac{\partial \eta}{\partial t}dx \\-h\frac{\partial u}{\partial x}=&\frac{\partial \eta}{\partial t} \end{align*}
$$

We kunnen dit herschrijven zodat het duidelijk is dat het totale volume ongewijzigd is en dat horizontale en verticale debieten elkaar moeten compenseren, wat erin gaat moet er ook uit gaan.

$$
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\partial x} = 0
$$

Twee ideeën leiden tot één golfvergelijking
De horizontale versnelling van water is dus rechtevenredig met de helling van het wateroppervlak, maar op zijn beurt zal deze versnelling zorgen voor opstuwing, die op zijn beurt dan weer zal zorgen voor een variatie van de helling. De continue wisselwerking tussen deze fysicawetten veroorzaken continue omzettingen van de kinetische energie van de horizontale waterbeweging naar de potentiële energie van het verhoogde of verlaagde wateroppervlak, net zoals de slingerbeweging.

Laten we nu de wiskundige uitdrukkingen van behoud van impuls (vallen) en behoud van massa (opstaan) samensmelten, door beide gevonden uitdrukkingen kruislings af te leiden:

We leiden de impulsvergelijking af naar x:

$$
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial t}\right) =&\frac{\partial}{\partial x}\left( -g \frac{\partial \eta}{\partial x}\right)\\[5pt]\\ \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x} =& -g \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\end{align*}
$$

Vervolgens leiden we de massavergelijking af naar t:

$$
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t} \right) =&\frac{\partial}{\partial t}\left(-h \frac{\partial u}{\partial x}\right)\\[5pt] \\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} =&- h \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\end{align*}
$$

Substitutie van de gemengde afgeleide $\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}$ uit de impulsvergelijking in de massavergelijking geeft ons de golfvergelijking voor oppervlaktegolven in ondiep water, ook gekend als de lineaire ondiepe-watervergelijking:

$$
\frac{\partial^{2} \eta}{\partial t^{2}} = gh \frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}
$$

We herkennen in deze partiële differentiaalvergelijking de ééndimensionale golfvergelijking, waarbij de golfsnelheid gelijk is aan:

$$
c = \sqrt{gh}
$$

Dat is een belangrijke vaststelling. De golfsnelheid voor oppervlaktegolven in ondiep water is enkel afhankelijk van de zwaartekrachtsversnelling $g$ en de waterdiepte $h$.

Snelheid van tsunami

Gezien een tsunami met een heel grote golflengte zich gedraagt als een oppervlaktegolf in ondiep water, kunnen we de golfsnelheid berekenen door de valversnelling en de gemiddelde oceaandiepte van 4000 m in te vullen in de formule voor golfsnelheid $c = \sqrt{gh}$:


$$c = \sqrt{9,81 \times 4000} = \sqrt{39240} \approx 198 \text{ m/s}\approx 713 \text{ km/h}$$

Een tsunami in open zee verplaatst zich met de snelheid van een modern straalvliegtuig over de oceaan, simpelweg omdat de oceaan zo diep is ($h$ is groot). Zodra zo’n golf de kust nadert en het water ondiep wordt (stel dat $h$ afneemt tot $10$ meter), zakt de snelheid in elkaar tot zo’n $36 \text{ km/h}$, maar al die samengeperste energie moet ergens heen… met alle gekende, verwoestende gevolgen van dien.

Deze mooie reis over oppervlaktegolven die kabbelend begon met een rustige rugslag in een stedelijk zwembad eindigt in een fatale allesverwoestende tsunami die ons met een ontzaglijke snelheid nadert.

Allesoverspoelende groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Het hemelse getouwtrek van de maan en de zon

Het ritme van de getijden is onlosmakelijk verbonden met de cadans van de maan en de zon in ons zonnestelsel. De variatie van de afstand van een punt op aarde tot de maan en de zon is via de gravitatiewetten de motor van de getijden. De analyse van de getijdenmetingen brengt verschillende cyclische patronen aan het licht. De meest duidelijke cyclus is uiteraard deze van het halfdaagse eb en vloed, maar ook het halfmaandelijkse springtij en doodtij is duidelijk zichtbaar. De wiskunde die dit fenomeen beschrijft is een welbekende goniometrische formule die iedereen ooit vanbuiten moest leren, zonder misschien het nut te beseffen… tot vandaag!

De formules van Simpson

De onderstaande formule komt uit een reeks goniometrische formules die bekend staan als de formules van Simpson en vinden o.a. hun toepassing in de fysica bij het samenstellen van cyclische fenomenen, zoals de lunaire en solaire componenten van het getij. Het product van de cosinussen in het rechterlid geeft een interferentiepatroon.

$$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

In feite zegt de bovenstaande formule op een vereenvoudigde wijze hoe het effect van de zon en de maan opgeteld leidt tot de halfmaandelijks zwevende getijden. De relatieve baan van de zon en de maan zijn tijdsafhankelijke fenomenen met een frequentie die bijna dezelfde is. En net dat kleine verschil in frequentie zal een zweving veroorzaken die we ervaren als springtij en doodtij. De hoeken $\alpha$ en $\beta$ in de formule zijn geen vaste hoeken, maar hoeken die volgens een bepaalde vaste (hoek)snelheid veranderen. Hiervoor gebruiken we het begrip hoekfrequentie $\omega$ met eenheid hoek per tijdseenheid, bv. $\frac{\text{RAD}}{s}$ of $\frac{\text{graden}}{uur}$. De variabele hoek wordt uitgedrukt als $\omega t $: hoekfrequentie vermenigvuldigd met tijd. Een cyclisch effect kan je beschrijven als een cosinus-functie waarbij de amplitude $A$ en de hoekfrequentie $\omega$ is: $f(t)=A\cos(\omega t)$.

Hoekfrequenties bepalen van zon en maan

Gezien er 360° per rotatie zijn en 24 uur op een dag, is de hoekfrequentie van de zon: $\omega_{S}=\frac{360}{24}=15 ^{\circ}/u$. Deze frequentie is eenvoudig, want onze klok is per definitie afgestemd op de relatieve rotaties tussen de aarde en de zon. De frequentie van de maan is iets ingewikkelder te bepalen. Een synodische maand (de periode tussen twee opeenvolgende nieuwe manen) heeft een periode van 29,53 dagen of 708,72 uur. Ten opzichte van de aarde geeft dit een hoekfrequentie van $\omega=\frac{360}{708{,}72}=0{,}508 ^{\circ}/u$. Aangezien de aarde zelf roteert met een hoeksnelheid van $15^{\circ}/u$ bedraagt de relatieve hoeksnelheid van de maan voor een waarnemer op aarde $15-0{,}508=14{,}492^{\circ}/u$.

Aangezien de getijden zich zowel bij de maan als bij de zon 2 maal per cyclus voordoet (aantrekking + wegslingering) moeten we de hierboven gevonden frequentie verdubbelen voor het effect van het getij. (Lees ook: Over eb en vloed: het systeem van de getijden.) Zo komen we tot de onderstaande hoekfrequenties (de index 2 duidt op het halfdagelijkse karakter van deze hoekfrequentie):

$$ \omega_{M_{2}}=2 \times 14{,}492=28{,}984 ^{\circ}/u $$

$$ \omega_{S_{2}}=2 \times 15=30^{\circ}/u $$

We herschrijven de formule van Simpson om de periodes van het getij te voorspellen:

$$\cos(\omega_{M_{2}}t)+\cos(\omega_{S_{2}}t)=2\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}t \right)\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}t\right)$$

Hierin herkennen we twee fundamentele frequenties:

$$\omega_{\text{gem}}=\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}$$

en

$$\Delta\omega=\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}$$

De periode van de gemiddelde frequentie bedraagt exact de periode van de cyclus van eb en vloed.

$$T_{\text{gem}}=\frac{360^{\circ}}{\omega_{\text{gem}}}\approx 12{,}2 \ \text{uur}$$

De periode van de andere frequentie bedraagt:

$$T_{\Delta}=\frac{360^\circ}{\Delta\omega}=\frac{720^\circ}{\omega_{S_2}-\omega_{M_2}}\approx 29{,}5 \ \text{dagen}$$

Omdat de amplitude van de omhullende zowel een positief als een negatief maximum heeft, herhaalt het patroon van maximale en minimale getijamplitudes zich om de halve periode:

$$\frac{T_{\Delta}}{2}\approx 14{,}8 \ \text{dagen}$$

Dit is precies de periode tussen twee opeenvolgende springtijen (of twee opeenvolgende doodtijen).

De formule van Simpson bracht ons van de hemel met onze voeten terug in het water, waarbij zowel de periode tussen eb en vloed als de periode tussen doodtij en springtij verklaard worden door het gedrag van de zon en de maan ten opzichte van de aarde.

Amplitudes bepalen

Wat betreft de grootte van de effecten stoten we op de grenzen van de vereenvoudiging want de formule van Simpson houdt geen rekening met mogelijke verschillende amplitudes. In realiteit is het effect van de verschillende componenten niet even groot. De getijdenkrachten zijn evenredig zijn met $\frac{\text{M}}{r^{3}}$ waarbij M de massa is van het hemellichaam en r de afstand tot de aarde is. De zon is uiteraard veel zwaarder dan de maan, maar staat ook veel verder weg. Hieruit volgt dat de maangetijden ongeveer dubbel zo sterk zijn als zongetijden. De invloed van de zon in vergelijking met de maan bedraagt zo’n $46\%$. Het gemeten gemiddelde halftijvlak in Nieuwpoort voor de periode 2011-2020 bedroeg 2,417 mTAW, Het gemiddelde tijverschil bij springtij en bij doodtij bedroeg respectievelijk 4,923m en 3,184m. Uitgedrukt in amplitudes is dit 2,462 m bij springtij en 1,592m bij doodtij. Aangezien de effecten van maan en zon elkaar versterken bij springtij en verzwakken bij doodtij kunnen we volgend stelsel oplossen om de amplitudes van maan- en zoneffect te bepalen:

$$\left\{\begin{matrix} A_{M}+A_{S}=2{,}462m \\ A_{M}-A_{S}=1{,}592m \end{matrix}\right.$$

Hieruit volgt dat $A_{M}=2,027m$ en $A_{S}=0,435m$, en dat de bijdrage van de zon in verhouding tot de maan amper $21\% $ bedraagt. Dit is op het eerste zicht merkwaardig omdat, op basis van de astronomische gegevens, je hier eerder $46\%$ zou verwachten. Dat kan verklaard worden doordat de transformatie van de astronomische getijkrachten naar het lokale getij beïnvloed wordt door tal van factoren zoals de aanwezigheid van de continenten die de stroming blokkeren, de vorm van de zeebodem en de kustlijn, de lokale resonantie van zeeën die zorgt voor versterking of demping van bepaalde frequenties en het Coriolis-effect waardoor waterstromen afbuigen onder invloed van de rotatie van de aarde. In de Noordzee heeft het effect van de maan blijkbaar een grotere resonantie dan het effect van de zon. Zo komen we tot de volgende uitdrukking voor de bijdrage aan het waterniveau voor het halfdagelijkse effect van de maan en zon:

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t)$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t)$$

Waarbij $A_{M}=2{,}027m$ en $A_{S}=0{,}435m$. Dit betekent dat het aandeel van de maan verantwoordelijk is voor een gemiddelde getijslag van 4 meter in onze contreien.

De beginfase van de cycli

Op een willekeurig moment is er een faseverschil tussen beide getijcomponenten en dienen we bijgevolg een beginfase $\varphi_M$ en $\varphi_S$ toe te voegen aan de respectievelijke argumenten van de cosinusfuncties.

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t+\phi_{M_{2}})$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t+\phi_{S_{2}})$$

Enkel op het het moment van lokale springtij zullen de beginfasen voor beide functies gelijk zijn aan 0, dat is logisch want enkel bij springtij is zowel het effect van de maan als de zon maximaal, wat zich herleidt tot een cosinus functie met argument 0.

Springtij vindt met vertraging plaats ten opzichte van het moment van volle of nieuwe maan. Hierdoor zal tussen de astronomische fase en de lokale getijdenfase ook een faseverschil zitten, die afhankelijk is van de lokale omstandigheden. Het fenomeen waarbij aarde, zon en maan op één lijn staan wordt syzygie genoemd. Bij getijvoorspellingen zal de beginfase van een component bestaan uit een parameter die afhangt van het astronomische syzygie-moment opgeteld met een andere parameter die het ouderdom van het lokale getij in rekening brengt.

Metingen versus voorspellingen

Aangezien we enkel maar de halfdagelijkse component van de maan en de zon in rekening brengen, zal de voorspelling van het getij een som zijn van twee cyclische functies. In de afbeelding hieronder zie je de cyclische functie van maan en van zon, die elk lopen met een licht verschillende frequentie. In een periode van ongeveer 14 dagen vertonen de componenten een afwisseling van constructieve en destructieve interferentie, waarbij de effecten respectievelijk in fase en uit fase (in tegenfase) lopen. Hierdoor versterken en verzwakken de effecten elkaar beurtelings.

Bij het beschouwen van de som van deze twee componenten zien we een interferentie ontstaan, die leidt tot he afwisselend optreden van springtij en doodtij. Deze interferentie vindt men terug in de trage (halfmaandelijkse) en de snelle (halfdagelijkse) frequentie van het rechterlid van de formule van Simpson. verder uit te werken. Een andere methode om deze interferentie te beschrijven is met behulp van fasoren (roterende vectoren in het complexe vlak), waarbij het reële gedeelte beschouwd wordt. (Zie ook: Over het optellen van fasoren).

Als we voor een bepaalde periode de metingen beschouwen tussen twee springtijen (hieronder afgebeeld) dan zien we eenzelfde interferentiepatroon ontstaat. De afwijkingen tussen het model en de metingen zijn in eerste instantie te wijten aan meteorologische omstandigheden, die zorgen voor opzet, en in tweede instantie ook aan de sterke vereenvoudiging van het voorspellingsmodel, want in realiteit zijn er tientallen componenten die meegenomen worden in de voorspellingen. Desondanks stellen we met enige wetenschappelijke vreugde vast dat een zeer eenvoudige model toch al een behoorlijk voorspellend karakter geeft en ook het fenomeen van springtij en doodtij voortreffelijk verklaart.

Op deze manier hebben we een fascinerende link gelegd tussen de ooit mysterieuze getijden die we op aarde waarnemen en de astronomische klok van enkele zeer bekende hemellichamen.

Lunaire en solaire groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Over het optellen van fasoren

Fasoren zijn roterende vectoren in het complexe vlak. Het optellen van fasoren is een handige wiskundige methode om interferentie tussen golven met verschillende hoeksnelheden te beschrijven, zoals de lunaire en de solaire component van het getij die leiden tot springtij en doodtij. Speel naar hartelust met onderstaande aan te passen parameters.

Roterende en interfererende groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Over eb en vloed: het systeem van de getijden

We weten onderhand dat de geschiedenis zich herhaalt, maar mocht deze waarheid even in de vergetelheid zweven, dan brengen de getijden dit manifest en klokvast terug onder de aandacht. Tweemaal daags zien we de zee komen en gaan als een langzame oceanische ademhaling die niets of niemand uit de weg gaat. Vele generaties hebben zich over dit fenomeen verwonderd. Magie was lang het enige antwoord, totdat oude bekende Isaac Newton met een wetenschappelijk verantwoorde verklaring kwam. We weten dat de maan en (in mindere mate) de zon een rol spelen, maar hoe zit de vork nu juist aan de steel? Aan de hand van drie misvattingen over het spel tussen aarde en maan zoeken we het met subtiliteit geplaveide pad naar een adequate verklaring voor de getijden. De maan heeft de grootste invloed, daarom richten we onze focus vooral op de rol van de maan.

Misvatting 1: De maan draait rond de aarde

Het hoeft geen betoog dat deze misvatting een hoog smart-ass gehalte heeft. Ik beeld me in dat menig leerkracht zich een duidelijke zucht laat ontvallen wanneer deze evidente stelling wordt ontkracht door de priemende wijsvinger van de wijsneus van de klas. De subtiliteit is de sluitsteen van de gedachte: de maan draait niet rond de aarde, maar beide hemellichamen draaien rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt, het barycentrum van het systeem. De relatieve ligging van het barycentrum is afhankelijk van de verhouding van de massa’s van beide hemellichamen. Zo ligt het barycentrum van het aarde-maan systeem binnenin de aardbol. Feit is dat het zwaartepunt van de aarde met een zelfde hoeksnelheid als de maan rond het barycentrum draait. Om op deze cirkelvormige baan te blijven ondervindt de aarde een radiale versnelling. In het belang van het maximaliseren van het begrip over de getijden is het belangrijk vast te stellen dat de aarde zich als één star geheel door de ruimte ploegt: alle punten op aarde ondervinden bijgevolg dezelfde radiale versnelling om op hun baan omheen het barycentrum te blijven wobbelen.

Misvatting 2: De getijden ontstaan doordat de zeeën op aarde worden aangetrokken door de maan

Ook hier horen velen de klokken luiden, maar is de positie van de klepel niet altijd gekend. Stel dat de getijden ontstaan louter door de aantrekking van de maan, dan zou je logisch mogen verwachten dat je hoogwater hebt bij hoge maan, dus grosso modo één keer per etmaal. Maar in de realiteit zien we dat er een dubbeldaags getij is, wanneer we aan de kust vertoeven zien we het hoogwater 2 keer per etmaal passeren. Achterliggend moet er dus ook een stuwende kracht zijn die het water zo’n 2 keer per dag opstuwt.

We zagen eerder al dat de aarde en maan rond het barycentrum draaien. De voor de hand liggende volgende vraag is uiteraard: waarom? Om die vraag te beantwoorden kunnen we opnieuw niet rond de geniale Isaac Newton die inzag dat voor alle massa de gravitatiewet geldt: 2 massa’s worden aangetrokken tot elkaar. De aantrekkingskracht is evenredig met de grootte van beide massa’s, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de onderlinge afstand, de grootte van de kracht kunnen we met gebruik van de gravitatieconstante G uitdrukken als:

$$F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}$$

Eerder dan nu met de centripetale of met de middelpuntzoekende kracht voor de dag te komen kunnen we gewoon de tweede wet van Newton ter hand nemen: F=ma en het besef dat deze wet niet enkel geldig is wanneer we versnellen of vertragen mooi in de richting van de snelheid waarmee we voortbewegen maar dat we evengoed kunnen versnellen loodrecht op de richting van de snelheid, een fenomeen dat we ondervinden wanneer we met onze wagen de hoek om rijden en onze boodschappen liever de eerste wet van Newton volgen. Onze wagen kan enkel en alleen een bocht maken doordat de wrijvingskrachten op de banden de kracht kunnen aanbrengen die evenredig is met de radiale versnelling. Zo kan de aarde en de maan enkel rond hun barycenter draaien omdat de gravitatiewet de kracht aanlevert die evenredig is met de radiale versnelling. De maan en aarde kunnen hierbij beiden voorgesteld worden als puntmassa’s.

Met deze ingrediënten kunnen we het recept opstellen voor de werking van de getijden. Stel dat je een druppel water bent in het midden van de oceaan. Enerzijds versnel je samen met het middelpunt van de aarde, want samen met de rest van de aarde draai je rond het barycentrum. Anderzijds geldt de gravitatieweg van Newton op deze druppel, en bovendien stellen we vast dat de afstand tot de maan niet constant blijft. Wanneer de maan in het zenith (dichtste afstand tot de maan) staat ben je als druppel immers een aarddiameter dichter bij de maan dan wanneer je in het nadir staat (verst verwijderd van de maan). Enkel voor het zwaartepunt van de aarde zijn deze verschillende versnellingen identiek qua grootte en richting. Voor alle andere punten is er een licht verschil, en het is precies dat verschil dat de getijden veroorzaakt. In onderstaande figuur zie je hoe de paarse vectoren het verschil zijn van de versnelling (of kracht per massa) afkomstig van de gravitatie en de versnelling (of kracht per massa, ook wel centripetale kracht) afkomstig van de baan die de aarde beschrijft rond het barycentrum.

Wanneer de verschilkrachten uitgezet worden op de omtrek van de aarde verschijnen er duidelijk twee bulten, één ervan (dicht bij de maan) onstaat doordat de gravitatiekracht groter is dan de radiale baanversnelling en de tweede ontstaat doordat de radiale baanversnelling groter is dan de gravitatiekracht. Zo kan men stellen dat de ene bult effectief aangetrokken wordt door de maan, en dat de andere bult weggeslingerd wordt van de aarde. Deze twee bulten zorgen voor het dubbeldaags getij.

Misvatting 3: Springtij valt samen met volle of nieuwe maan

Hier komt summier de rol van de zon aan bod, want bij nieuwe maan en volle maan staan de hemellichamen zon, aarde en maan min of meer in één lijn en dat fenomeen waarbij de getijde-opwekkende krachten elkaar versterken noemen we springtij. Springtij valt effectief niet samen met volle of nieuwe maan. Dat is eenvoudig vast te stellen wanneer we de getijmetingen er op na slaan. Het hoogtepunt van het springtij vindt voor de kusten van de lage landen ruim twee dagen na een volle maan of nieuwe maan plaats, deze periode wordt ook wel de ‘ouderdom van het getij’ genoemd. Het gehele systeem van de getijden beginnend met de posities van de maan en de zon ten opzichte van de aarde en eindigend met de effectieve waterhoogte op een bepaalde plek op aarde is een ingewikkeleld dynamisch systeem en de grootste amplitude van de aandrijvende krachten valt daarbij niet samen met de grootste amplitudes van getijden aan onze kusten. We kunnen een voorzichtige vergelijking maken met een gedwongen gedempte oscillatie, uiteindelijke zal het systeem zich met een zelfde periode gedragen, maar de grootste uitwijking zal gebeuren met een faseverschuiving ten opzichte van de veroorzakende krachten. Iedereen kan zich gemakkelijk inbeelden dat wanneer je op een bepaald moment een kracht zet tegen een schommel, deze niet ogenblikkelijk overeenkomt met de grootste uitwijking. Zo werken dynamische systemen, en dat is uiteraard helemaal terug te schrijven aan het feit dat kracht altijd evenredig is met de versnelling (F=ma) maar niet noodzakelijk met de verplaatsing. Het tij volgt niet instant de maanstand, maar is de dynamische respons van de oceanen op het getijpotentiaal.

Elke plek waar er water is op aarde heeft bijgevolg z’n eigen unieke respons op de getijdenveroorzakende krachten. De getijden gedragen zich als lange ondiepwatergolven die rond oceanen en zeeën lopen en weerkaatsen, en elke zee heeft haar eigen eigenfrequentie, resonantie en vertraging, om nog niet te spreken van de Corioliskrachten die zorgen voor draaibewegingen in afgesloten stukken zee. Daarom vinden we overal ter wereld andere getijden. De continentale begrenzing van zeeën zorgt voor een opstuwen van de getijdegolf, vergelijkbaar met vloeistof die tegen de rand van een kopje upgestuwd wordt waneer we koffie morsen. Mocht de hele wereld één zee zijn, dan zou de getijslag (verschil tussen hoog-en laagwater) met moeite één meter bedragen. Wanneer de atlantische getijgolf zich echter moet wurmen rond het Verenigd Konkinkrijk en Ierland dan zien we dat dit zorgt voor veel grotere opstuwing op bepaalde kusten. Maar evengoed kunnen alle effecten zich tegen elkaar opheffen en moeten we vaststellen dat er plekken bestaan in de Noordzee waar er helemaal geen getij is: de amfidromische punten. Met deze mooie potentiële kwisvraag rond ik deze queeste af.

Overvloedige groeten,

T.E.

Amfidromische punten in de Noordzee

Geplaatst op door Tijs Essel

Hoe groot is de kans dat je tijdens 100 jaar een 100-jarige storm meemaakt?

Een 100-jarige storm is een gebeurtenis die gemiddeld gezien één keer om de 100 jaar voorkomt. Is het antwoord op bovenstaande vraag dan niet simpelweg dat je gedurende 100 jaar met zekerheid een 100-jarige storm zal meemaken? Zoals een lezer die enige ervaring heeft met spanningsbogen en retorische vragen in dit soort van teksten al vermoedt, is het antwoord volmondig: nee. Laten we starten met een wonderbaarlijke tocht naar de exacte kans.

Een 100-jarige storm is een storm met een terugkeerperiode van 100 jaar, dat wil zeggen dat ze gemiddeld om de 100 jaar zal plaatsvinden. Na een kortstondige overpeinzing kom je al snel tot het besef dat er een kans bestaat dat een persoon op zijn 100ste verjaardag de 100-jarige storm niet heeft meegemaakt. Men kan zich gemakkelijk inbeelden dat er een 100-jarige storm over het land raasde net voor z’n geboorte en net na z’n 100ste verjaardag. Hieruit kunnen we alvast besluiten dat de kans op het meemaken van een storm al zeker kleiner zal zijn dan 100%. Hiermee hebben we wellicht een open deur ingetrapt.

Er komt een voortschrijdend inzicht dat er ook een kans is dat er zich meerdere stormen kunnen voordoen in 100 jaar. Eentje aan het begin en eentje aan het einde bijvoorbeeld, dat is niet ondenkbeeldig. Weliswaar met kleiner wordende kans kunnen zich, als het geluk wat tegen zit, ook meer dan 2 stormen nestelen in de eeuw die we onder de loep nemen. We komen tot het besef dat we beter moeten definiëren wat we willen berekenen. In feite willen we weten wat de kans is dat er minstens één storm zal plaatsvinden tijdens 100 jaar.

We halen de complementregel van onder het statistische stof. Die regel klinkt veel ingewikkelder dan wat ze is. De complementregel zegt bijvoorbeeld dat het ofwel regent ofwel niet regent, nu we toch bezig zijn met open deuren in te trappen… En de som van beide kansen is 1. Symbolisch uitgeschreven: P(regen) + P(geen regen)=1. Passen we dit toe op de stormkwestie dan is de kans dat er geen storm is samen met de kans dat er minstens één storm is gelijk aan 1. Aldus verkrijgen we volgende uitdrukking voor de kans op minstens één storm:

De queeste naar het resultaat heeft zich dus herleid tot de zoektocht naar de kans op 0 stormen.

De olifant in de kamer is hier het feit dat we op gelijk welk moment getroffen kunnen worden door de bliksemse toorn van Zeus in ons aardse dal, en dat kunnen we moeilijk linken aan toevalsexperimenten zoals muntjes gooien en dobbelsteen gooien waarmee de gekende paden der probabiliteit geplaveid zijn. We tasten eerst in het duister, en daarna in het duister van onze zak en vinden een muntje en doen toch een verwoede poging om het voorliggende vraagstuk te herleiden tot het opgooien van een muntje.

We zouden bijvoorbeeld een muntje kunnen opwerpen om per eeuwhelft te bepalen of er een 100-jarige storm zal plaatsvinden. Kop is storm. Dus we willen weten hoeveel kans we hebben om enkel munt te gooien en dan nemen we de complement van het zaakje. Aangezien de kans op succes (=kop gooien = storm) per half jaar 1 op 2 is, is de kans op geen succes 1-1/2. Aangezien we de twee halve eeuwen als onafhankelijke gebeurtenissen beschouwen kunnen we de vermenigvuldigingsregel toepassen, met k als het aantal stormen tijdens de beschouwde periode van 100 jaar, en daarna de complementregel om de kans te bepalen op minstens één storm. Resultaat: 75% kans.

De vreugde om deze eerste benaderende poging wordt echter snel getemperd door het besef dat deze verdienstelijke poging om de vraagstelling op een zeer toegankelijke wijze te benaderen in al z’n eenvoud voorbijgaat aan het feit dat er meerdere stormen in een eeuwhelft kunnen plaatsvinden. Het noopt ons tot nederigheid en reflectie en het mondt uit in louterende verfijning.

Vinden we 50 jaar te ruim? Dan nemen we toch gewoon een kleiner tijdsinterval? Pakweg één jaar. En we passen de kans aan naar 1 op 100, want we verwachten nog altijd om de honderd jaar gemiddeld één storm, statistische wordt dit trouwens ook de verwachtingswaarde genoemd. De kans op een storm per jaar is equivalent met één gooien met een 100-zijdige dobbelsteen (ja die bestaan, zoek maar op). De complementregel en de vermenigvuldigingsregel leert ons gelijkaardig aan de bovenstaande formule voor het opgooien van het muntje dat de kans op minstens één storm gelijk is aan 63,4%, een flinke reductie van onze eerste benadering.

We gaan er prat op dat we flirten met de exacte kans. Tevreden en misschien vreugdevolg zouden we kunnen zijn om deze mooie benadering maar ergens begint het te knagen in de delen van ons brein waar de wiskunde huist en hunkerend naar exactheid beseffen we dat de tijdintervallen nog verder moeten verkleind worden, tot ze oneindig klein zijn. En dan komt de aha-erlebnis want we stoten zowaar op de definitie van de exponentiële functie exp(x) met x=-1. Hier komt plots het getal van Euler als het ware uit de hemel vallen, onverwacht en verrassend en het laat ons achter met enige verbazing… maar het laat ons ook achter met het exacte antwoord!

Bijgevolg is de kans om tijdens een periode van 100 jaar een 100-jarige storm mee te maken gelijk aan 63,2%. Het wordt iets complexer wanneer we de kans op een exact aantal stormen willen berekenen, want dan gaan we een ommetje moeten maken via de binomiaalverdeling om met zachtheid te landen in de Poissonverdeling, waarin de exponentiële functie oogstrelend figureert. Het zal je ook zeggen hoe groot de kans is dat er een aantal auto’s passeren op een bepaalde plek per tijdsinterval en hoe groot de kans is dat het water in de koffiemachine morgen op is. Als dat niet uit het leven gegrepen is…

Stormachtige 100-jarige groeten

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Kleuren bestaan enkel in ons hoofd

Deze morgen was er een enorm lange rij bij de bakker die me onverwacht wat tijd gaf om rond te kijken. De winterzon wedijverde met het gouden logo van de bakkerij en het viel me op dat, wanneer ik afwisselend met mijn linkeroog en mijn rechteroog keek, het kleur van het logo lichtjes leek te veranderen. En toen besefte ik het weer: kleuren bestaan niet. De prachtige kleurengloed van een zonsondergang, bestaat niet. Korenbloemblauw, appelblauwzeegroen en scharlakenrood: prachtige kleuren, maar ze bestaan enkel in ons hoofd.

Alles om ons heen heeft kleur. We laven ons aan het vele groen tijdens een wandeling in de natuur, dromen weg bij de witte wolken die voorbijdrijven aan de blauwe hemel en in juni bloeien rozenstruiken in de meest prachtige en krachtige kleuren. Ontkennen dat kleuren bestaan is allerminst een geloofwaardig statement op het eerste zicht. Maar ook op het tweede, derde en zoveelste zicht kunnen we alleen maar vaststellen dat de realiteit zich aan onze ogen openbaart via kleuren.

Maar hoe zouden we dan kleuren kunnen definiëren? De evidente manier om deze poging tot een goed eind te brengen is wellicht de kleuren te definiëren via hun golflengte. Slechts een zeer beperkt spectrum van elektromagnetische straling is zichtbaar voor ons. Enkel een handjevol golflengtes tussen de 450 nm (violet) en 700 nm (rood) kunnen we onderscheiden. We zijn stekeblind voor de kortere golflengtes zoals gammastralen, X-stralen, en ultraviolet en we zijn zo blind als een mol voor de langere golflengtes zoals infrarood straling, micro- en radiogolven. De golflengtes die wij als zichtbaar licht zien komen niet toevallig overeen met de golflengtes waarbij het zonlicht het meest intensief is. Dat is handig voor onze zaakjes hier op aarde die het daglicht mogen en moeten zien. Het zou ons evolutionair niet vooruit hebben geholpen mochten we X-stralen of radiogolven kunnen zien, wat niet gezegd kan worden van een rode appel in een groene boom.

Nu de kleuren min of meer netjes gedefinieerd zijn, kunnen we toch niet meer stellen dat deze niet bestaan? O ja, Dat kunnen we zeker! De kleuren zijn enkel een soort legende die onze hersenen gekoppeld hebben aan het strookje zichtbaar licht. Stel dat je op een gegeven dag het genoegen hebt om te kunnen communiceren met intelligent buitenaards leven en je probeert uit te leggen wat kleur is. Je zou kunnen uitleggen dat je gevoelig bent voor elektromagnetische staling tussen 450 nm en 700 nm, maar op geen enkele wijze zou je kunnen uitleggen wat rood, groen of blauw is. Het is volstrekt ontoereikend om rood uit te leggen als elektromagnetische straling van 700 nm, want het intelligent buitenaards leven zou evengoed volledig blind kunnen zijn op deze golflengte of deze golflengte als een compleet andere manier ervaren. We kunnen niet uitleggen wat rood is, en dat is simpelweg omdat kleuren niet bestaan. Rood, blauw en groen zijn enkel sensaties in ons hoofd.

Bij het afspeuren van het heelal beperken we ons al lang niet meer tot het zichtbaar licht, om bepaalde waarnemingen voor te stellen gaan we kleuren koppelen aan bepaalde frequenties die voor ons niet zichtbaar zijn. Zo is er het beeld van de kosmische achtergrondstraling, de nagloed van de oerknal, dit zijn in feite radiogolven die zichtbaar gemaakt worden door middel van een kleurcode. Is dit beeld minder echt dan het beeld dat we in ons hoofd maken van zichtbaar licht? Dat kun je bezwaarlijk stellen. Het is even imaginair als het blauw van de lucht.

De radiogolven van de kosmische achtergrondstraling zichtbaar gemaakt voor onze ogen

Ik wil absoluut niet de pret bederven, maar ook al zouden we kunnen ‘zien’ op alle mogelijke frequenties van elektromagnetische straling, dan nog zouden we enkel de 5% normale materie zien. De rest is donkere energie en donkere materie. Om die te kunnen ‘zien’ gaan we uit een ander vaatje moeten tappen dan simpelweg detectie van elektromagnetische straling. Donkere materie in het heelal is echt een beetje zoals de olifant in de kamer, het overgrote deel van alle massa is donkere materie. Men tast nog altijd in het duister (pun intended) wat de samenstelling van deze materie betreft, maar ik heb in de wandelgangen horen vallen dat neutrino’s er misschien iets mee te maken zouden kunnen hebben…

Het feit dat kleuren niet bestaan ligt misschien aan de basis van het feit ik een liefhebber ben van zwart-wit fotografie. Zwart-wit foto’s geven immers enkel de lichtintensiteit weer, een perfect wetenschappelijk gedefinieerde parameter, zonder zich in te laten met de volstrekt subjectieve en imaginaire wereld van de kleuren. Een zwart-wit foto is in feite veel universeler dan een kleurenfoto. Op het netvlies van onze ogen zitten staafjes en kegeltjes die lichtgevoelig zijn en de lichtintensiteit doorgeven aan onze hersenen. De kegeltjes op ons netvlies zien de wereld in feite ook in zwart-wit, maar doordat er 3 soorten fotoreceptoren zijn op deze kegeltjes, die alledrie werken op een andere golflengte, mixt onze hersenen deze info tot een kleur. Dit kunnen we omdat we volleerde trichromaten zijn.

Een beetje vergelijkbaar met RGB-kleurencode die gebruikt wordt in veel digitale kleurtoepassingen. Alle kleuren worden gedefinieerd als een combinatie van Rood, Groen en Blauw waarbij er 256 gradaties van intensiteit zijn, die met twee hexadecimale symbolen kunnen worden uitgedrukt van 00 (=0) tot FF (=255). Zo is #000000 de code voor zwart en #FFFFFF de code voor wit. Grijstinten zullen telkens bestaan uit 3 zelfde delen zoals #C0C0C0 (zilver), zodat geen enkele kleur de bovenhand neemt. Bijgevolg is de RGB code van rood #FF0000, groen #00FF00 en blauw #0000FF en alle andere kleuren zijn combinaties van deze 3 kleuren.

Maar al deze fijne weetjes over kleurcodes veranderen niets aan het feit dat de fysieke wereld volledig kleurloos is, en dat kleur enkel een truukje is van onze hersenen om wat ‘kleur’ te geven aan de bundel elektromagnetische stralen met golflengtes die wij zien als zichtbaar licht. Laten we echter niet ontgoocheld zijn door deze demystificatie van de kleurenpracht rondom ons heen, maar des te meer bewondering hebben voor het prachtig instrument dat onze hersenen zijn om van golflengtes kleuren te kunnen maken. Ronduit psychedelisch!

En ook al zijn de kleuren van een regenboog slechts een illusie, het is een illusie die we delen met onze medemens en die we samen kunnen koesteren.

Veel groeten in allerlei zichtbare en onzichtbare golflengtes,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Oneindig is de hemel van de wiskunde

Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2n , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3n , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2g3b5f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De puntjes op de i van de wetenschappelijke methode

Willens nillens hebben we onze oren moeten spitsen in de richting van wetenschappers die ons hebben geadviseerd in het nemen van maatregelen tegen de woekerende pandemie. Diezelfde wetenschappers hebben het vertrouwen in hen niet geschaad door op de proppen te komen met een verlossende oplossing in de vorm van een vaccin. Een uitgelezen moment om de loftrompet te steken over deze wetenschappers en meer algemeen over de wetenschappelijke methode die zij hanteren. Tijd om, in deze post-truth-era waarin de eerste beste social-media amateur-commentator overloopt van zelfzekerheid terwijl de experts volop twijfelen, de puntjes van de wetenschappelijke methode nog eens op de i te zetten.

Meer en meer lijkt iedereen over alles z’n mening klaar te hebben. Dat kan een positieve zaak zijn wanneer deze mening enigszins onderbouwd is, maar veelal blijkt de betreffende mening een product van de onderbuik te zijn. Een holle excretie die niet gehinderd werd door enige kennis ter zake. Het wordt nog driester wanneer blijkt dat sommigen zich ook over feiten een mening denken te moeten vormen. Het poneren van een wetenschappelijk feit lijkt tegenwoordig veel van z’n potentieel om een discussie in een definitieve plooi te leggen te zijn verloren, want de miniemste onzekerheid in het bouwwerk der wetenschap wordt naar voor geschoven om dit bouwwerk te laten instorten. Ten onrechte, want die twijfel is juist de cement waarmee de gehele wetenschap is opgebouwd.

Graag wil ik van de gelegenheid gebruik maken om theoretisch natuurkundige Carlo Rovelli te citeren. Hij verwoordt de wetenschappelijke methode uitstekend: “Het wetenschappelijk denken onderzoekt de wereld en overdenkt haar opnieuw, ze verschaft ons steeds betere beelden van de wereld en leert ons om er op doeltreffender wijze over na te denken. De wetenschap is een voortdurende exploratie van vormen van denken. Haar kracht is haar visionaire vermogen om vooropgezette ideeën omver te werpen, om nieuwe gebieden van de werkelijkheid te ontsluiten en om nieuwe en effectievere beelden van de wereld te construeren. De onzekerheid waarin we leven, de onbestendigheid die boven de afgrond zweeft van onze immense onwetendheid, maakt het leven niet zinloos, maar juist zeer waardevol.”

Wat me vooral aanspreekt is het bescheiden karakter van het wetenschappelijk denken over z’n eigen denkbeelden. De wetenschap levert ons geen zekerheden, ook al wordt dit soms graag zo voorgesteld. Ze is niet betrouwbaar omdat ze zekere antwoorden geeft, maar is betrouwbaar omdat ze de beste antwoorden verschaft die we op dit moment hebben. Juist het feit dat ze zelf de kennis voortdurend in twijfel trekt garandeert ons dat de antwoorden die ze geeft de beste zijn die ons ter beschikking zijn. Toen Einstein ontdekte dat de wetten van Newton niet helemaal klopten was dat op geen enkele wijze een blaam voor de wetenschappelijke methode, maar in tegendeel het bewijs dat de wetenschap effectief in staat is om de beste mogelijke antwoorden altijd opnieuw in vraag te stellen, zelfs wanneer deze voortvloeiden uit een monument als Newton, met een theorie die heel lang het beste antwoord was op vragen over zwaartekracht.

Kan de wetenschap alles verklaren? Bijlange niet. Nog niet, maar evengoed misschien zelfs nooit. Maar waarom zouden we niet niet blijven zoeken?

Wetenschap is het beste antwoord. Niet meer. Maar ook niet minder.

De beste groeten, niet meer, maar ook niet minder.

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De middelpuntvliedende kracht is schijn maar het morsen is echt

“Ik heb nog iets waar je over kan schrijven! Als ik deze emmer draai, waarom is het water dan lager in het midden en hoger aan de randen?” Met deze vraag gaf mijn oudste dochter me een aanzet voor dit stukje. Het draaien zorgt inderdaad voor een afbuiging van het wateroppervlak, welk soort oppervlak zou dit zijn? En welke mysterieuze krachten zorgen voor dit gebogen wateroppervlak?

What is the best, modern explanation for the results of Newton's bucket experiment? - Quora

Moest het wateroppervlakte werkelijk perfect horizontaal zijn, dan zouden we leven op een platte schijf. De wetenschappelijke consensus is echter dat de aarde waar wij op aanmodderen min of meer een bol is, ondanks de verbeten pogingen van organisaties als The Flat Earth Society, om ons te overtuigen van het tegendeel. Deze complottheorie woekert als een taaie distel tussen de andere complottheorieën. Het bewijst des te meer dat de wetenschappelijke methode niet ingebakken zit in onze intuïtie en dat niet iedereen ertoe komt om wetenschappelijke argumenten naar waarde te schatten, zichtzelf te overtuigen en desnoods van mening te veranderen. Ook religies tonen aan dat de mens zich perfect spiritueel en moreel kan laven aan materie die niet noodzakelijk de uitkomst is van een wetenschappelijk onderbouwd model. De evolutie heeft ons gezegend met het instrument intelligentie, maar we zijn allerminst gezegend met een queeste naar waarheid.

Oeps, dat ging even heel snel van een emmer water naar evolutietheorie… Terug bij de les! Een lokaal systeem van een emmer water ligt op zo’n grote afstand van het zwaartepunt van de aarde dat het oppervlak van stilstaand water als horizontaal mag beschouwd worden. Op elk punt ter wereld geldt dat de inwerkende kracht van de zwaartekracht loodrecht staat op het wateroppervlak, gericht naar het zwaartepunt van de aardbol.

Ik verbaasde me vroeger over de bolvorm van zon, sterren en planeten, maar nu besef ik dat het simpelweg een doorslagje is van de werking van de zwaartekracht. Zoals een waterdruppel in gewichtloze toestand bolvormig is, zo zijn ook de planeten bolvormig. En het wateroppervlak van de aarde is in feite een toestand van gelijke potentiële energie. Zoals we bij het vullen van een emmer niet verwonderd zijn over het horizontale wateroppervlak, hoeven we ook niet verwonderd te zijn dat samenklonterende vloeibare massa in het heelal bolvormig wordt.

Door het draaien wordt de watermassa in een roterende beweging gebracht. En dan komen de woorden ‘middelpuntvliegende’ of ‘middelpuntvliedende’ kracht al gauw op het puntje van onze tong liggen. Maar verrassend genoeg bestaat deze kracht niet echt (dit lijkt wel de start van een complottheorie). Deze kracht lijkt te bestaan, maar in feite gehoorzaamt het fenomeen volgzaam de wetten van Newton. Laat ik als voorbeeld hamerslingeren of kogelslingeren nemen, een leuke sport die ook in anderhalvemeter-tijd probleemloos kan beoefend worden. De eerste wet van Newton stelt dat bij het ontbreken van inwerkende kracht het voorwerp in rechte lijn wil voortbewegen. Dat gebeurt wanneer de atleet het kleinood loslaat. Zonder aardse zwaartekracht en luchtwrijving zou de kogel eeuwig in rechte lijn op de zelfde snelheid door het heelal blijven klieven. Om de kogel voldoende basissnelheid te geven wordt de kogel zo snel mogelijk rondgeslingerd, de kracht in de ketting, die we vroeger de middelpuntvliedende kracht zouden genoemd hebben is in feite de kracht nodig om de kogel te laten afbuigen van z’n rechte lijn, een bocht is immers een versnelling haaks op de richting van de beweging. Dit komt regelrecht uit de tweede wet van Newton: puur een verhaal van inertie, dus. De kracht nodig om een massa m op een cirkelvormige baan met straal r met constante hoeksnelheid ω te houden is:

Uit de bocht vliegen is het verlies aan weerstand om deze inertiekracht tegen te gaan. Bij auto’s wordt deze weerstand veroorzaakt door de wrijvingsweerstand van de wielen op het wegdek. De snelheid v van een voertuig in een bocht is gelijk aan de hoeksnelheid ω vermenigvuldigd met de straal r. De inertiekracht wordt herschreven in functie van de snelheid:

De bovenstaande formule leert ons dat er 3 oorzaken kunnen zijn om uit de bocht te vliegen. Ten eerste: het verhogen van de massa. Een zware vrachtwagen zal sneller uit de bocht vliegen dan een licht exemplaar. Ten tweede: het toenemen van de snelheid. Hoe sneller je een bocht wil nemen hoe groter de kans op ontsporing, dit effect weegt door want het is een kwadratisch verband. En ten slotte: de straal van de bocht. Hoe kleiner de straal van de bocht hoe groter de kracht. Daarom kan je probleemloos een bocht van een klaverbladknooppunt aan 70 km/u nemen en is het bijna onmogelijk om een klein rond puntje te nemen aan 70 km/u, tenzij je er recht over vlamt.

Wanneer we een waterdruppel beschouwen op het afgebogen wateroppervlak van een roterende emmer dan werkt zowel de horizontale inertiekracht als de zwaartekracht mg in op de beschouwde druppel. Aangezien het wateroppervlak loodrecht staat op de resulterende kracht is de helling dy/dx van het wateroppervlak evenredig is met de afstand x tot aan de rotatie as.

Een wateroppervlak zoeken waarvan de helling in ieder punt is geweten, is wiskundig vertaald een afgeleide functie integreren om de basisfunctie te vinden, hierbij is nog een constante C te bepalen. Dat is normaal want de helling van het wateroppervlak is onafhankelijk van het initiële waterniveau in de emmer, maar het wateroppervlak zelf is dat natuurlijk allerminst. Het besluit is dat het wateroppervlak in de emmer een omwentelingsparaboloïde is.

Meer algemeen zullen horizontale krachten op een watermassa tot gevolg hebben dat het wateroppervlak gebogen wordt. Probeer maar eens een kopje koffie recht te houden in een stevig optrekkende wagen en denk maar aan machtige stormwinden op zee die het wateroppervlak meters hoog de lucht injagen. Maar ook minder spectaculaire pogingen eindigen vaak in gemors. Het wandelen met een kopje koffie van de koffiemachine tot aan je bureau is een proces waarbij het gemiddelde staptempo jammer genoeg flirt met één van de eigenfrequenties van het systeem van een gevuld kopje koffie. Dit betekent dat ook bij het in acht houden van een zekere hoeveelheid voorzichtigheid het systeem toch zeer snel zal leiden tot extreme pieken van vloeistofhoogte. Het initiële niveau laag houden is een slim idee. Andere minder spectaculaire voorzorgsmaatregelen die volgen uit het wetenschappelijk onderzoek zijn niet te snel bewegen en goed kijken naar je koffie… daar hadden we misschien ook zelf kunnen opkomen.

Spilled Coffee: Mathematical Model For Sloshing Beverage Addresses Cup Design, Walking Speed | HuffPost

De enige optie om af te rekenen met klotsende toestanden is het wegnemen van de horizontale kracht. Dit kan door het systeem bovenaan van een scharnier te voorzien. Als we een emmer aan een touw hangen en de emmer nergens tegen laten botsen dan zullen er zich geen horizontale krachten kunnen aangrijpen aan de watermassa. Het scharnier bovenaan is een onderdeel van het systeem dat niet toelaat dat er andere krachten in het systeem kunnen ontstaan dan de trekkracht in het touw, en deze kracht is steeds loodrecht op de emmer. Elke horizontale kracht die inwerkt op het systeem ter hoogte van het scharnier wordt gecompenseerd door de hoek die het systeem inneemt ten opzichte van het scharnier. Doordat er zich op deze manier geen horizontale krachten kunnen ontwikkelen in de watermassa loodrecht op de aslijn van het recipiënt naar het draagscharnier is morsen (quasi) onmogelijk geworden.

Een Spillnot is gebruiksvoorwerp gebaseerd op deze wetenschap. Je zet een kopje koffie op de Spillnot en je draagt alles met het touwtje bovenaan dat dienst doet als scharnier, waardoor er geen horizontale versnellingen ontstaan ter hoogte van het kopje, en bijgevolg geen gemors! Beetje reclame voor zo’n leuk gadget kan geen kwaad hé. Perfect educatief verantwoord en je kan hem altijd komen testen.

Spillnot - B8R07448 | Philip Harris
Mijn dochter test uitvoerig de Spillnot.

Grote geuten gemorste groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Waarom testen we niet gewoon iedereen?

Het lijkt een goede ingeving: waarom kunnen we niet gewoon iedereen op Corona testen? Het antwoord is redelijk simpel: er zouden teveel mensen onterecht positief testen. Onterecht? Jazeker: er is immers altijd een kans dat de uitslag van een test verkeerd is, want de test is niet onfeilbaar. Daarom is het enkel relevant om de ‘verdachte’ gevallen uit een risico-groep te testen. En dat kan ook gemakkelijk wiskundig verklaard worden.

We gaan eerst enkele begrippen toelichten die de accuraatheid van een medische test uitdrukken:

  • De sensitiviteit is de kans op een terecht positieve uitslag. Een positieve uitslag, bij het gegeven dat je besmet bent. Deze kans wordt genoteerd als: P(POS|Covid). Bij de meeste Covid testen ligt dit op ongeveer 71%. Dat is een vrij lage waarde. Dat betekent dat er 30% mensen zijn waarbij de besmetting niet wordt opgemerkt door de test. De zogenoemde vals negatieven.
  • De specificiteit is de kans op een terechte negatieve uitslag. Een negatieve uitslag, gegeven dat je niet besmet bent, wordt genoteerd als: P(NEG|nietCovid). De specificiteit van de huidige Covid-testen is nog onduidelijk. We kunnen hier optimistisch in zijn en er van uit gaan dat deze 99% bedraagt. Dat wil zeggen dat 1% van de mensen die niet besmet zijn, toch een positief zal testen. Dan zijn dan de vals positieven.
  • De prevalentie is de kans op besmetting voor een bepaalde populatie, op een bepaald moment. Hierbij dient opgemerkte te worden dat een populatie een totale populatie van een bepaald land kan zijn, maar een populatie kan ook een deelgroep zijn, b.v. alle mensen die koorts hebben, of hoofdpijn hebben of een combinatie. Een groep mensen waarbij de prevalentie dus hoger is dan bij de totale bevolking.

Eerder had ik het theorema van Bayes al eens besproken toen het over de NIPT-test ging (Het theorema van Bayes en de NIPT-test). Toegepast op een Covid-test ziet het theorema van Bayes er als volgt uit:

De kans op Covid bij een positieve test is de verhouding van de kans op een terecht positief geval (product van sensitiviteit en prevalentie) op de kans op een positief geval bij een gegeven prevalentie. Het theorema van Bayes drukt uit welk gedeelte van alle positieve gevallen terecht is en wat de voorspellende waarde is van de test voor een individuele persoon.

In de onderstaande grafiek is de voorspellende waarde van de test weergegeven in functie van de prevalentie, rekening houdende met een sensitiviteit van 71% en een specificiteit van 99%. Op deze grafiek is duidelijk te zien dat, als we werkelijk iedereen testen bij een prevalentie van 2% (wat we momenteel aannemen voor de totale bevolking), de kans slechts 60% is dat de test terecht is. De aanpak om enkel een risico-groep te testen waarbij de prevalentie hoger ligt stuwt de voorspellende waarde van de test de hoogte in. Bij een prevalentie van 20% (dat wil zeggen een risico-groep waarbij per 100 personen er 20 besmet zijn met het virus) is duidelijk te zien dat de voorspellende waarde stijgt naar 95%.

2020-07-07 07_24_33-corona - Excel

Besluit is alleszins dat het geen enkele zin heeft om met de test die er nu is een gehele bevolking te testen, de meeste mensen behoren immers niet tot een verdachte groep. Uiteraard zijn niet alle parameters exact bekend. Er wordt getest om de prevalentie te meten, en de voorspellende waarde is afhankelijk van die prevalentie. Daarnaast is ook de specificiteit een schatting. Maar een ruwe schatting is in dit geval veel beter dan niets! Het blijft dus een combinatie van wiskunde en gezond verstand.

Waarom testen we niet gewoon iedereen? Daarom dus!

Terecht positieve groeten,

T.E.