Geplaatst op door Tijs Essel

Over eb en vloed: het systeem van de getijden

We weten onderhand dat de geschiedenis zich herhaalt, maar mocht deze waarheid even in de vergetelheid zweven, dan brengen de getijden dit manifest en klokvast terug onder de aandacht. Tweemaal daags zien we de zee komen en gaan als een langzame oceanische ademhaling die niets of niemand uit de weg gaat. Vele generaties hebben zich over dit fenomeen verwonderd. Magie was lang het enige antwoord, totdat oude bekende Isaac Newton met een wetenschappelijk verantwoorde verklaring kwam. We weten dat de maan en (in mindere mate) de zon een rol spelen, maar hoe zit de vork nu juist aan de steel? Aan de hand van drie misvattingen over het spel tussen aarde en maan zoeken we het met subtiliteit geplaveide pad naar een adequate verklaring voor de getijden. De maan heeft de grootste invloed, daarom richten we onze focus vooral op de rol van de maan.

Misvatting 1: De maan draait rond de aarde

Het hoeft geen betoog dat deze misvatting een hoog smart-ass gehalte heeft. Ik beeld me in dat menig leerkracht zich een duidelijke zucht laat ontvallen wanneer deze evidente stelling wordt ontkracht door de priemende wijsvinger van de wijsneus van de klas. De subtiliteit is de sluitsteen van de gedachte: de maan draait niet rond de aarde, maar beide hemellichamen draaien rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt, het barycentrum van het systeem. De relatieve ligging van het barycentrum is afhankelijk van de verhouding van de massa’s van beide hemellichamen. Zo ligt het barycentrum van het aarde-maan systeem binnenin de aardbol. Feit is dat het zwaartepunt van de aarde met een zelfde hoeksnelheid als de maan rond het barycentrum draait. Om op deze cirkelvormige baan te blijven ondervindt de aarde een radiale versnelling. In het belang van het maximaliseren van het begrip over de getijden is het belangrijk vast te stellen dat de aarde zich als één star geheel door de ruimte ploegt: alle punten op aarde ondervinden bijgevolg dezelfde radiale versnelling om op hun baan omheen het barycentrum te blijven wobbelen.

Misvatting 2: De getijden ontstaan doordat de zeeën op aarde worden aangetrokken door de maan

Ook hier horen velen de klokken luiden, maar is de positie van de klepel niet altijd gekend. Stel dat de getijden ontstaan louter door de aantrekking van de maan, dan zou je logisch mogen verwachten dat je hoogwater hebt bij hoge maan, dus grosso modo één keer per etmaal. Maar in de realiteit zien we dat er een dubbeldaags getij is, wanneer we aan de kust vertoeven zien we het hoogwater 2 keer per etmaal passeren. Achterliggend moet er dus ook een stuwende kracht zijn die het water zo’n 2 keer per dag opstuwt.

We zagen eerder al dat de aarde en maan rond het barycentrum draaien. De voor de hand liggende volgende vraag is uiteraard: waarom? Om die vraag te beantwoorden kunnen we opnieuw niet rond de geniale Isaac Newton die inzag dat voor alle massa de gravitatiewet geldt: 2 massa’s worden aangetrokken tot elkaar. De aantrekkingskracht is evenredig met de grootte van beide massa’s, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de onderlinge afstand, de grootte van de kracht kunnen we met gebruik van de gravitatieconstante G uitdrukken als:

F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}

Eerder dan nu met de centripetale of met de middelpuntzoekende kracht voor de dag te komen kunnen we gewoon de tweede wet van Newton ter hand nemen: F=ma en het besef dat deze wet niet enkel geldig is wanneer we versnellen of vertragen mooi in de richting van de snelheid waarmee we voortbewegen maar dat we evengoed kunnen versnellen loodrecht op de richting van de snelheid, een fenomeen dat we ondervinden wanneer we met onze wagen de hoek om rijden en onze boodschappen liever de eerste wet van Newton volgen. Onze wagen kan enkel en alleen een bocht maken doordat de wrijvingskrachten op de banden de kracht kunnen aanbrengen die evenredig is met de radiale versnelling. Zo kan de aarde en de maan enkel rond hun barycenter draaien omdat de gravitatiewet de kracht aanlevert die evenredig is met de radiale versnelling. De maan en aarde kunnen hierbij beiden voorgesteld worden als puntmassa’s.

Met deze ingrediënten kunnen we het recept opstellen voor de werking van de getijden. Stel dat je een druppel water bent in het midden van de oceaan. Enerzijds versnel je samen met het middelpunt van de aarde, want samen met de rest van de aarde draai je rond het barycentrum. Anderzijds geldt de gravitatieweg van Newton op deze druppel, en bovendien stellen we vast dat de afstand tot de maan niet constant blijft. Wanneer de maan in het zenith (dichtste afstand tot de maan) staat ben je als druppel immers een aarddiameter dichter bij de maan dan wanneer je in het nadir staat (verst verwijderd van de maan). Enkel voor het zwaartepunt van de aarde zijn deze verschillende versnellingen identiek qua grootte en richting. Voor alle andere punten is er een licht verschil, en het is precies dat verschil dat de getijden veroorzaakt. In onderstaande figuur zie je hoe de paarse vectoren het verschil zijn van de versnelling (of kracht per massa) afkomstig van de gravitatie en de versnelling (of kracht per massa, ook wel centripetale kracht) afkomstig van de baan die de aarde beschrijft rond het barycentrum.

Wanneer de verschilkrachten uitgezet worden op de omtrek van de aarde verschijnen er duidelijk twee bulten, één ervan (dicht bij de maan) onstaat doordat de gravitatiekracht groter is dan de radiale baanversnelling en de tweede ontstaat doordat de radiale baanversnelling groter is dan de gravitatiekracht. Zo kan men stellen dat de ene bult effectief aangetrokken wordt door de maan, en dat de andere bult weggeslingerd wordt van de aarde. Deze twee bulten zorgen voor het dubbeldaags getij.

Misvatting 3: Springtij valt samen met volle of nieuwe maan

Hier komt summier de rol van de zon aan bod, want bij nieuwe maan en volle maan staan de hemellichamen zon, aarde en maan min of meer in één lijn en dat fenomeen waarbij de getijde-opwekkende krachten elkaar versterken noemen we springtij. Springtij valt effectief niet samen met volle of nieuwe maan. Dat is eenvoudig vast te stellen wanneer we de getijmetingen er op na slaan. Het hoogtepunt van het springtij vindt voor de kusten van de lage landen ruim twee dagen na een volle maan of nieuwe maan plaats, deze periode wordt ook wel de ‘ouderdom van het getij’ genoemd. Het gehele systeem van de getijden beginnend met de posities van de maan en de zon ten opzichte van de aarde en eindigend met de effectieve waterhoogte op een bepaalde plek op aarde is een ingewikkeleld dynamisch systeem en de grootste amplitude van de aandrijvende krachten valt daarbij niet samen met de grootste amplitudes van getijden aan onze kusten. We kunnen een voorzichtige vergelijking maken met een gedwongen gedempte oscillatie, uiteindelijke zal het systeem zich met een zelfde periode gedragen, maar de grootste uitwijking zal gebeuren met een faseverschuiving ten opzichte van de veroorzakende krachten. Iedereen kan zich gemakkelijk inbeelden dat wanneer je op een bepaald moment een kracht zet tegen een schommel, deze niet ogenblikkelijk overeenkomt met de grootste uitwijking. Zo werken dynamische systemen, en dat is uiteraard helemaal terug te schrijven aan het feit dat kracht altijd evenredig is met de versnelling (F=ma) maar niet noodzakelijk met de verplaatsing. Het tij volgt niet instant de maanstand, maar is de dynamische respons van de oceanen op het getijpotentiaal.

Elke plek waar er water is op aarde heeft bijgevolg z’n eigen unieke respons op de getijdenveroorzakende krachten. De getijden gedragen zich als lange ondiepwatergolven die rond oceanen en zeeën lopen en weerkaatsen, en elke zee heeft haar eigen eigenfrequentie, resonantie en vertraging, om nog niet te spreken van de Corioliskrachten die zorgen voor draaibewegingen in afgesloten stukken zee. Daarom vinden we overal ter wereld andere getijden. De continentale begrenzing van zeeën zorgt voor een opstuwen van de getijdegolf, vergelijkbaar met vloeistof die tegen de rand van een kopje upgestuwd wordt waneer we koffie morsen. Mocht de hele wereld één zee zijn, dan zou de getijslag (verschil tussen hoog-en laagwater) met moeite één meter bedragen. Wanneer de atlantische getijgolf zich echter moet wurmen rond het Verenigd Konkinkrijk en Ierland dan zien we dat dit zorgt voor veel grotere opstuwing op bepaalde kusten. Maar evengoed kunnen alle effecten zich tegen elkaar opheffen en moeten we vaststellen dat er plekken bestaan in de Noordzee waar er helemaal geen getij is: de amfidromische punten. Met deze mooie potentiële kwisvraag rond ik deze queeste af.

Overvloedige groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Oneindig is de hemel van de wiskunde

Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2n , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3n , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2g3b5f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?

Ik verwonder me er ook soms over. De complexiteit van de natuur. Bijvoorbeeld de werking van een oog. Dat zit toch ongelofelijk goed in elkaar? Er zijn nogal wat mensen die de analogie maken met een horloge, omdat het zo complex ontworpen lijkt. Een horloge is gemaakt door een horlogemaker… het lijkt wel alsof er een ‘ogenmaker’ aan de slag is geweest om het oog te ontwerpen. Wie weet. Onlangs las ik een andere vergelijking: de natuur als een domme schaakspeler… 

oog Elisabeth

Stel dat je eigenlijk helemaal geen schaker bent. Je weet wel dat je pionnetjes kan verzetten maar voor de rest weet je amper wat je met paarden, torens en lopers kan doen. Het is belangrijk in dit gedachtenexperiment dat je er tijdens een schaakpartijtje echt niets van bakt en dat je zelfs niet weet hoe je de stukken mag verzetten.

Goed, stel je nu voor dat je mag schaken op een heel speciale manier, namelijk dat je miljarden zetten mag proberen en dat alleen maar de beste zet onthouden wordt. Uiteraard heb je heel veel zetten gedaan die je niet mag zetten en miljoenen zetten gedaan die dom zijn, maar ergens heb je toevallig die ene slimme zet gedaan. Door stom toeval.

Bij de volgende zet mag je opnieuw zoveel proberen als je maar wil. Miljarden zetten mag je doen, zo je wil. En ja hoor, één zet zal een werkelijk slimme zet zijn. Ook al besef je uiteraard niet waarom en weet je zelfs amper dat je aan het schaken bent. Die ene zet is een uitermate uitgekiende en briljante zet.

Zo gaat het door en door en ook al snap je er minder en minder van, je hebt zeeën van tijd en je mag telkens weer miljard keren opnieuw proberen. Time is on your side en telkens opnieuw krijg je quasi oneindig veel kansen om de volgende briljante zet uit je mouw te schudden.

Als we nu het schaakspel zet voor zet zouden tonen aan een grootmeester in het schaken, dan zou die verbaasd zijn en er werkelijk van overtuigd zijn dat de tegenspeler een werkelijk zeer hoogbegaafd genie is in het schaken. Zoals een ‘horlogemaker’ of een ‘ogenmaker’, de grootmeester zou z’n meerdere in de onbekende tegenspeler moeten erkennen.

Uiteraard ben jij de natuur in dit verhaal, en alle slechte zetten zijn alle mutaties, alle probeersels, alle variaties die tot niets hebben geleid. Ze zijn verdwenen in de dikke mist van de tijd en hebben geen nageslacht. En die slimme zetten die je heel af toe hebt gezet, die zijn gebleven. Kijk maar in de spiegel.

Ogenschijnlijk intelligente groeten,

T.E.

 

Geplaatst op door Tijs Essel · 2 reacties

Schaakmat voor koning Shirham

1280px-Wheat_and_chessboard_problem

Wie was niet graag een vlieg op de muur geweest op het moment dat de raadslieden van de Indiase koning Shirham hem, nadat zij verbijsterd hun berekeningen verschillende malen hadden nagezien, voorzichtig kwamen melden welke exacte hoeveelheid graan de vorst in al z’n enthousiasme had beloofd aan de geniale en gewiekste uitvinder van het schaakspel? 

Toen de koning wat aangedrongen had om een gepaste beloning voor te stellen, had die laatste quasi achteloos gevraagd om hem één graankorreltje te schenken op het eerste vakje van het schaakbord, twee graantjes op het tweede vak, 4 op het derde vak, vervolgens 8 op het vierde vak, enzovoort… tot aan vakje 64. Koning Shirham dacht aan de enorme koninklijke graanschuren en het leek hem niet onoverkomelijk om de ogenschijnlijk bescheiden man te belonen met een aantal zakken graan, maar was zich niet bewust geweest van de kracht van een exponentiële groei. Integendeel, hij worstelde met de gedachte of hij zich niet beledigd moest voelen met de peulschil die gevraagd werd voor zo’n prachtig spel.

Met welk getal kwamen de raadslieden zenuwachtig schoorvoetend  naar binnen schuifelen? Het was hen waarschijnlijk opgevallen dat alle termen van de som machten van 2 zijn. De som S die we hier zoeken ziet er als volgt uit:

Ja inderdaad: 2 tot de nulde macht is 1 (elk getal tot de nulde macht is trouwens één). Louter ter info is ook de sommatie-notatie toegevoegd, want wiskundigen drukken zich graag beknopt uit. Om te weten te komen hoeveel S is, zoeken we eerst hoeveel het dubbele zou zijn van de som. Dit kan gemakkelijk door bij iedere term de exponent eentje te verhogen:

Als we nu het verschil maken van 2S en S dan bekomen we de volgende eenvoudige uitdrukking voor de som:

Als we dat uitrekenen op een rekenmachine die genoeg cijfertjes toelaat komen we op 18 446 744 073 709 551 615 graankorreltjes.

“Zijne hoogheid heeft mijnheer de bedenker van het schaakspel achttien triljoen vierhonderdzesenveertig triljard zevenhonderdvierenveertig biljard drieënzeventig miljard zevenhonderdennegen miljoen vijfhonderdeenenvijtig duizend zeshondervijftien graankorrels beloofd”, sprak de moedigste der raadslieden. De koning zal wellicht al wat nattigheid gevoeld hebben, maar hoopte alsnog dat het ging over een uit de kluiten gewassen karrevracht graan. Ach, het ging dan ook over de uitvinder van het schaakspel…

We waren helaas niet de vlieg op de muur, maar het zou best kunnen dat één der raadslieden het wat aanschouwelijk probeerde te maken voor zijn koning, waarvan de gezichtuitdrukking liet verstaan dat hij het in Keulen hoorde donderen, en de volgende woorden sprak: “Hoogheid, dat is een graantapijt van één voet hoog over de volledige oppervlakte van uw rijk.” Waarbij we er even voor het gemak van uitgegaan zijn dat zijn rijk even groot was als het huidige Indië, pakweg 144,5 miljoen vierkante kilometer vaderland. In die tijd was de afstand tot de dichtste ster Proxima Centauri nog niet geweten, maar de raadslieden hadden de koning ook kunnen doen duizelen door te stellen dat de totale lengte van alle gevraagde graankorrels in een rij voldoende was om de afstand tot aan die ster te overbruggen… en terug.

Naargelang de versie van het verhaal werd de uitvinder stante pede onthoofd, of tot hoogste adviseur van de koning benoemd. Maar in geen enkele versie mag hij trouwen met de dochter van de koning. In andere legendes is het voldoende om met leeghoofdige viriliteit in het rond te slaan en deze of gene vijand of vijandelijk dier te verslaan om de dochter van de plaatselijke monarch te mogen huwen. Maar een geniale mens die nota bene het schaakspel heeft uitgevonden, die blijkt dan toch een beetje teveel nerd voor dochterlief… tss tss.

Zonde! Maar dat was natuurlijk lang voor de tijd dat STEM (Science-Technology-Engineering & Mathematics) populair werd…

T.E.