Geplaatst op door Tijs Essel

Hoe groot is de kans dat je tijdens 100 jaar een 100-jarige storm meemaakt?

Een 100-jarige storm is een gebeurtenis die gemiddeld gezien één keer om de 100 jaar voorkomt. Is het antwoord op bovenstaande vraag dan niet simpelweg dat je gedurende 100 jaar met zekerheid een 100-jarige storm zal meemaken? Zoals een lezer die enige ervaring heeft met spanningsbogen en retorische vragen in dit soort van teksten al vermoedt, is het antwoord volmondig: nee. Laten we starten met een wonderbaarlijke tocht naar de exacte kans.

Een 100-jarige storm is een storm met een terugkeerperiode van 100 jaar, dat wil zeggen dat ze gemiddeld om de 100 jaar zal plaatsvinden. Na een kortstondige overpeinzing kom je al snel tot het besef dat er een kans bestaat dat een persoon op zijn 100ste verjaardag de 100-jarige storm niet heeft meegemaakt. Men kan zich gemakkelijk inbeelden dat er een 100-jarige storm over het land raasde net voor z’n geboorte en net na z’n 100ste verjaardag. Hieruit kunnen we alvast besluiten dat de kans op het meemaken van een storm al zeker kleiner zal zijn dan 100%. Hiermee hebben we wellicht een open deur ingetrapt.

Er komt een voortschrijdend inzicht dat er ook een kans is dat er zich meerdere stormen kunnen voordoen in 100 jaar. Eentje aan het begin en eentje aan het einde bijvoorbeeld, dat is niet ondenkbeeldig. Weliswaar met kleiner wordende kans kunnen zich, als het geluk wat tegen zit, ook meer dan 2 stormen nestelen in de eeuw die we onder de loep nemen. We komen tot het besef dat we beter moeten definiëren wat we willen berekenen. In feite willen we weten wat de kans is dat er minstens één storm zal plaatsvinden tijdens 100 jaar.

We halen de complementregel van onder het statistische stof. Die regel klinkt veel ingewikkelder dan wat ze is. De complementregel zegt bijvoorbeeld dat het ofwel regent ofwel niet regent, nu we toch bezig zijn met open deuren in te trappen… En de som van beide kansen is 1. Symbolisch uitgeschreven: P(regen) + P(geen regen)=1. Passen we dit toe op de stormkwestie dan is de kans dat er geen storm is samen met de kans dat er minstens één storm is gelijk aan 1. Aldus verkrijgen we volgende uitdrukking voor de kans op minstens één storm:

De queeste naar het resultaat heeft zich dus herleid tot de zoektocht naar de kans op 0 stormen.

De olifant in de kamer is hier het feit dat we op gelijk welk moment getroffen kunnen worden door de bliksemse toorn van Zeus in ons aardse dal, en dat kunnen we moeilijk linken aan toevalsexperimenten zoals muntjes gooien en dobbelsteen gooien waarmee de gekende paden der probabiliteit geplaveid zijn. We tasten eerst in het duister, en daarna in het duister van onze zak en vinden een muntje en doen toch een verwoede poging om het voorliggende vraagstuk te herleiden tot het opgooien van een muntje.

We zouden bijvoorbeeld een muntje kunnen opwerpen om per eeuwhelft te bepalen of er een 100-jarige storm zal plaatsvinden. Kop is storm. Dus we willen weten hoeveel kans we hebben om enkel munt te gooien en dan nemen we de complement van het zaakje. Aangezien de kans op succes (=kop gooien = storm) per half jaar 1 op 2 is, is de kans op geen succes 1-1/2. Aangezien we de twee halve eeuwen als onafhankelijke gebeurtenissen beschouwen kunnen we de vermenigvuldigingsregel toepassen, met k als het aantal stormen tijdens de beschouwde periode van 100 jaar, en daarna de complementregel om de kans te bepalen op minstens één storm. Resultaat: 75% kans.

De vreugde om deze eerste benaderende poging wordt echter snel getemperd door het besef dat deze verdienstelijke poging om de vraagstelling op een zeer toegankelijke wijze te benaderen in al z’n eenvoud voorbijgaat aan het feit dat er meerdere stormen in een eeuwhelft kunnen plaatsvinden. Het noopt ons tot nederigheid en reflectie en het mondt uit in louterende verfijning.

Vinden we 50 jaar te ruim? Dan nemen we toch gewoon een kleiner tijdsinterval? Pakweg één jaar. En we passen de kans aan naar 1 op 100, want we verwachten nog altijd om de honderd jaar gemiddeld één storm, statistische wordt dit trouwens ook de verwachtingswaarde genoemd. De kans op een storm per jaar is equivalent met één gooien met een 100-zijdige dobbelsteen (ja die bestaan, zoek maar op). De complementregel en de vermenigvuldigingsregel leert ons gelijkaardig aan de bovenstaande formule voor het opgooien van het muntje dat de kans op minstens één storm gelijk is aan 63,4%, een flinke reductie van onze eerste benadering.

We gaan er prat op dat we flirten met de exacte kans. Tevreden en misschien vreugdevolg zouden we kunnen zijn om deze mooie benadering maar ergens begint het te knagen in de delen van ons brein waar de wiskunde huist en hunkerend naar exactheid beseffen we dat de tijdintervallen nog verder moeten verkleind worden, tot ze oneindig klein zijn. En dan komt de aha-erlebnis want we stoten zowaar op de definitie van de exponentiële functie exp(x) met x=-1. Hier komt plots het getal van Euler als het ware uit de hemel vallen, onverwacht en verrassend en het laat ons achter met enige verbazing… maar het laat ons ook achter met het exacte antwoord!

Bijgevolg is de kans om tijdens een periode van 100 jaar een 100-jarige storm mee te maken gelijk aan 63,2%. Het wordt iets complexer wanneer we de kans op een exact aantal stormen willen berekenen, want dan gaan we een ommetje moeten maken via de binomiaalverdeling om met zachtheid te landen in de Poissonverdeling, waarin de exponentiële functie oogstrelend figureert. Het zal je ook zeggen hoe groot de kans is dat er een aantal auto’s passeren op een bepaalde plek per tijdsinterval en hoe groot de kans is dat het water in de koffiemachine morgen op is. Als dat niet uit het leven gegrepen is…

Stormachtige 100-jarige groeten

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De entropie in mijn dochters kamer

Wanneer ik mijn dochters kamer betreed, word ik geconfronteerd met één van de meest fundamentele natuurwetten. Het is een wetmatigheid die nog fundamenteler is dan dan de wetten van Maxwell of de relativiteitsleer. Het is het onomkeerbare proces van nuttige energie naar nutteloze energie, dat in één adem ook nog eens de richting van tijd vastlegt. Het is inderdaad de wet van de stijgende entropie waar ik aan herinnerd word terwijl ik me een weg baan doorheen speelgoed, kleren en knuffels in mijn dochters kamer.

Een gebroken glas heeft veel meer mogelijke toestanden dan een niet-gebroken glas.

Het niet zo tot de verbeelding sprekende maar toch algemeen bekende entropie-experiment is het plaatsen van een bord warme soep in een kamer en dan kijken wat er gebeurd. De soep zal afkoelen en de kamer zal heel lichtjes opwarmen door de warme soep, maar de feitelijke vraag is waarom dit gebeurt. De analogie met mijn dochters kamer is ook snel gemaakt: we laten haar een paar uur spelen in de kamer en dan checken we de toestand. Ook hier zal de vaststelling zijn dat de kamer geëvolueerd is naar een toestand waarin het speelgoed overal rond ligt, eerder dan dat we zouden verwachten dat die netjes opgeruimd blijft. In beide gevallen evolueert het systeem naar een evenwichtssituatie, waarbij de entropie maximaal wordt. Bij de soep gaat het over de verspreiding van de energie bij een bepaalde temperatuur, daarom is de eenheid van entropie energie (Joule) per temperatuur (Kelvin): J/K.

Om een meer exacte verklaring te geven over het waarom van bovenstaande processen moeten we spreken over de waarschijnlijkheid van toestanden. Het lijkt misschien bizar om bij het soepbord-experiment te gaan spreken over waarschijnlijkheden, want je bent in feite zeker dat het nieuwe evenwicht zal ontstaan. Om duidelijk te maken dat entropie alles te maken heeft met de waarschijnlijkheid van toestanden, kunnen we bij de kamer van mijn dochter eens gaan kijken naar de waarschijnlijkheid. We vereenvoudigen sterk de kamer en veronderstellen dat er slechts 2 posities zijn waarin speelgoed of andere kameringrediënten zich kunnen bevinden en dat we de positie waarin alles in één positie ligt, kunnen beschouwen als een opgeruimde kamer. Laten we eerst even een kamer nemen met 2 posities en 2 spullen, haar pop Meesje en een rondslingerende schoen.

We stellen vast dat er 4 mogelijke toestanden zijn, 2 toestanden zijn opgeruimde toestanden en er zijn 2 rommel-toestanden. Dat betekent dat de waarschijnlijkheid dat in dit sterk vereenvoudigd systeem de kamer er opgeruimd zal uitziet 50% is. Doordat er amper 2 spullen en 2 posities zijn, is er in dit geval nog een goede kans dat we na een tijdje toch terugkeren naar een opgeruimde toestand. Maar als we het aantal spullen verhogen dan bemerken we een verandering van de kans op ‘opgeruimde toestand’. Laten we ter illustratie het aantal spullen even verdubbelen naar 4: we vullen de pop en de schoen aan met een knuffel en een auto, en beschouwen nu de kans op ‘opgeruimde kamer’.

We kunnen vaststellen dat het aantal mogelijke toestanden toegenomen is tot 16. Om de correcte terminologie te gebruiken spreken we per individueel geval van een microtoestand en per globale toestand (bv. 1 spul ligt links 3 spullen rechts) spreken we van een macrotoestand. Bij macrotoestanden verliezen we de info over individuele toestanden, en deze link naar informatie maak ik niet zomaar, want ook in de informatietheorie is entropie een belangrijke grootheid. De eenheid van entropie in deze tak van de wetenschap is bit en de entropie van de informatie is gelijk aan het gemiddeld aantal ja-of-nee-vragen die gesteld moeten worden om de informatie te achterhalen. Als de info die je wenst mee te geven één van je ouders is, dan is dit te achterhalen met één ja-of-nee-vraag, dus is de entropie van die informatie één bit. Als de info een bepaalde letter is van het alfabet, ergens in een tekst, dan zal de kans op voorkomen van elke letter bepalend zijn om de entropie te bepalen van de informatie die besloten ligt in die letter.

Terug naar de kamer met spullen. Het is gemakkelijk in te zien dat bij het verder toenemen van spullen de mogelijkheden exponentieel zullen toenemen. Bij 2 mogelijke posities in de kamer en n spullen zal het aantal mogelijke toestanden 2n zijn. Bij 10 spullen zijn die mogelijke toestanden 1024, dus dat loopt wel snel op. (zie ook: Schaakmat voor koning Shirham). Het gevolg is dat de kans op ‘opgeruimde toestand’ dramatisch daalt bij toenemende spullen in de kamer. Zo is de kans op een opgeruimde kamer bij 4 spullen nog maar 12,5% (14 van de 16 toestanden zijn rommel-toestanden) en bij 10 spullen nog maar amper 0,2%.

Zonder dat we goed beseffen zijn we terecht gekomen in een binomiaal-verdeling, ook wel bekend van de kop-of-munt experimenten (dit eenvoudige toevalsexperiment wordt een Bernoulli-experiment genoemd). Het plaatsen van een bepaalde hoeveelheid spullen in één van de twee posities komt overeen met het uitvoeren van een zelfde aantal kop-of-munt experimenten. En wanneer we het aantal spullen nog laten toenemen gebeurt er iets heel curieus, en ook iets heel logisch. De oppervlakte onder elke grafiek is gelijk genomen aan 1, zodat we direct kansen kunnen aflezen en de discrete grafiek is continue gemaakt.

Het curieuze is dat de grafiek evolueert naar een normaalverdeling (de welbekende klokvorm), dat volgt uit de centrale limietstelling die stelt dat voor (bijna) gelijk welke soort kansverdeling (bv 50% kop of 50% munt) de verdeling van de gemiddeldes uit verschillende experimenten normaal verdeeld zijn. Als je er even over nadenkt is dat wel heel curieus, maar we zien het in de grafiek voor onze ogen gebeuren. En het logische is dat de grafiek smaller en smaller wordt, tot alle waarden zich in een minieme band rond het gemiddelde zullen bevinden. Dat betekent dat er altijd maar minder kans is op variatie van het gemiddelde. Als je heel lang kop-of-munt gooit zal je uiteindelijk met zeer hoge nauwkeurigheid in de buurt van 50% komen. Deze zeer hoge nauwkeurigheid is wat we vaststellen als we de temperatuur van iets gaan meten. Temperatuur is de hevigheid van het trillen van deeltjes. Het is bijlange niet zo dat alle deeltjes met precies dezelfde hevigheid trillen, maar we kunnen wel met zekerheid zeggen dat de gemiddelde trilling, dus de temperatuur niet fluctueert. De wet van de grote getallen zorgt ervoor dat de temperatuur gewoon een vaste waarde is.

Nu is het moment er gekomen om de meest beroemde formule van de (statistische) entropie tentoon te spreiden: S=k ln W, beter bekend als de formule van Boltzmann. Waarbij S staat voor de entropie, en W voor het aantal manier waarop een toestand mogelijk is. Bij systemen met miljoenen, miljarden deeltjes zal er niet meer gesproken worden over een kansverdeling, maar over het aantal mogelijke posities. De factor k is er enkel om de energieboekhouding goed te krijgen tussen eenheden, zodat entropie in J/k kan uitgedrukt worden. De formule van Boltzmann is in feite ook een soort gemiddelde en geldig bij grote aantallen microtoestanden (bv bij een gas). De statistische wet van de grote aantallen zorgt ervoor dat dat de de formule van Boltzmann geldig is bij grote aantallen, zoals toestanden van gassen in de natuurkunde. Als we heel veel spullen laten rondslingeren in de twee mogelijke posities, zal precies de helft in de eerste positie zitten en precies de andere helft in de tweede positie zitten. Dit is hetzelfde evenwicht dat we ervaren bij de druk in een ballon, of de temperatuur van een systeem in evenwicht.

Er kan ook redelijk eenvoudig aangetoond worden waarom de logaritme nodig is in de formule. De entropie van een systeem is immers een extensieve grootheid, dat wil zeggen dat de entropie evenredig moet zijn met het aantal deeltjes. Dus als we tien keer zoveel deeltjes nemen, willen we ook dat de entropie maal tien gaat. Wiskundig gezien is er een manier om de exponentieel stijgende toestanden toch evenredig te krijgen met het aantal deeltjes en dat is door de logaritme te nemen van de de mogelijke toestanden. Zo blijft de entropie netjes evenredig met het aantal deeltjes, terwijl de mogelijke toestanden exponentieel stijgen.

Entropie heeft dus alles te maken met waarschijnlijkheid. Het stijgen van de totale entropie is equivalent met wat het meest waarschijnlijke zal gebeuren. Daarom is entropie ook zo sterk gelinkt met de richting van de tijd. Als je een glas laat vallen is het meest waarschijnlijke dat één van de miljoenen, miljarden toestanden waarop een glas gebroken kan zijn zal ontstaan, en is het onnoemelijk onwaarschijnlijk dat die ene toestand waarbij het glas intact blijft wordt bereikt. Net omdat er zoveel mogelijkheden zijn op een gebroken glas kunnen we met complete zekerheid voorspellen dat het glas zal breken.

Omdat waarschijnlijk het waarschijnlijke zal gebeuren stijgt de entropie, en dat is in feite een veel exactere (en volgens mij meer duidelijke) omschrijving dan ‘chaos die toeneemt’ of ‘wanorde die stijgt’. Daarom sta ik dus met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid te waden in de rommel van mijn dochters kamer. Eerst wou ik afsluiten met: ‘het is niet het einde van de wereld, die stijgende entropie’, om de boel wat te relativeren. Maar daar moet ik helaas op terugkomen. Het is de mogelijke drijfveer voor het einde van het heelal want nadat alle materie zich verliest in zwarte gaten (grootste entropietoestand voor gravitatie) zullen deze verdampen door hawkingstraling en eindigt het heelal in een warmtedood, het finale thermodynamische evenwicht… en graag eindig ik met deze vrolijke noot.

Veel entropisch gemaximaliseerde groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Kleuren bestaan enkel in ons hoofd

Deze morgen was er een enorm lange rij bij de bakker die me onverwacht wat tijd gaf om rond te kijken. De winterzon wedijverde met het gouden logo van de bakkerij en het viel me op dat, wanneer ik afwisselend met mijn linkeroog en mijn rechteroog keek, het kleur van het logo lichtjes leek te veranderen. En toen besefte ik het weer: kleuren bestaan niet. De prachtige kleurengloed van een zonsondergang, bestaat niet. Korenbloemblauw, appelblauwzeegroen en scharlakenrood: prachtige kleuren, maar ze bestaan enkel in ons hoofd.

Alles om ons heen heeft kleur. We laven ons aan het vele groen tijdens een wandeling in de natuur, dromen weg bij de witte wolken die voorbijdrijven aan de blauwe hemel en in juni bloeien rozenstruiken in de meest prachtige en krachtige kleuren. Ontkennen dat kleuren bestaan is allerminst een geloofwaardig statement op het eerste zicht. Maar ook op het tweede, derde en zoveelste zicht kunnen we alleen maar vaststellen dat de realiteit zich aan onze ogen openbaart via kleuren.

Maar hoe zouden we dan kleuren kunnen definiëren? De evidente manier om deze poging tot een goed eind te brengen is wellicht de kleuren te definiëren via hun golflengte. Slechts een zeer beperkt spectrum van elektromagnetische straling is zichtbaar voor ons. Enkel een handjevol golflengtes tussen de 450 nm (violet) en 700 nm (rood) kunnen we onderscheiden. We zijn stekeblind voor de kortere golflengtes zoals gammastralen, X-stralen, en ultraviolet en we zijn zo blind als een mol voor de langere golflengtes zoals infrarood straling, micro- en radiogolven. De golflengtes die wij als zichtbaar licht zien komen niet toevallig overeen met de golflengtes waarbij het zonlicht het meest intensief is. Dat is handig voor onze zaakjes hier op aarde die het daglicht mogen en moeten zien. Het zou ons evolutionair niet vooruit hebben geholpen mochten we X-stralen of radiogolven kunnen zien, wat niet gezegd kan worden van een rode appel in een groene boom.

Nu de kleuren min of meer netjes gedefinieerd zijn, kunnen we toch niet meer stellen dat deze niet bestaan? O ja, Dat kunnen we zeker! De kleuren zijn enkel een soort legende die onze hersenen gekoppeld hebben aan het strookje zichtbaar licht. Stel dat je op een gegeven dag het genoegen hebt om te kunnen communiceren met intelligent buitenaards leven en je probeert uit te leggen wat kleur is. Je zou kunnen uitleggen dat je gevoelig bent voor elektromagnetische staling tussen 450 nm en 700 nm, maar op geen enkele wijze zou je kunnen uitleggen wat rood, groen of blauw is. Het is volstrekt ontoereikend om rood uit te leggen als elektromagnetische straling van 700 nm, want het intelligent buitenaards leven zou evengoed volledig blind kunnen zijn op deze golflengte of deze golflengte als een compleet andere manier ervaren. We kunnen niet uitleggen wat rood is, en dat is simpelweg omdat kleuren niet bestaan. Rood, blauw en groen zijn enkel sensaties in ons hoofd.

Bij het afspeuren van het heelal beperken we ons al lang niet meer tot het zichtbaar licht, om bepaalde waarnemingen voor te stellen gaan we kleuren koppelen aan bepaalde frequenties die voor ons niet zichtbaar zijn. Zo is er het beeld van de kosmische achtergrondstraling, de nagloed van de oerknal, dit zijn in feite radiogolven die zichtbaar gemaakt worden door middel van een kleurcode. Is dit beeld minder echt dan het beeld dat we in ons hoofd maken van zichtbaar licht? Dat kun je bezwaarlijk stellen. Het is even imaginair als het blauw van de lucht.

De radiogolven van de kosmische achtergrondstraling zichtbaar gemaakt voor onze ogen

Ik wil absoluut niet de pret bederven, maar ook al zouden we kunnen ‘zien’ op alle mogelijke frequenties van elektromagnetische straling, dan nog zouden we enkel de 5% normale materie zien. De rest is donkere energie en donkere materie. Om die te kunnen ‘zien’ gaan we uit een ander vaatje moeten tappen dan simpelweg detectie van elektromagnetische straling. Donkere materie in het heelal is echt een beetje zoals de olifant in de kamer, het overgrote deel van alle massa is donkere materie. Men tast nog altijd in het duister (pun intended) wat de samenstelling van deze materie betreft, maar ik heb in de wandelgangen horen vallen dat neutrino’s er misschien iets mee te maken zouden kunnen hebben…

Het feit dat kleuren niet bestaan ligt misschien aan de basis van het feit ik een liefhebber ben van zwart-wit fotografie. Zwart-wit foto’s geven immers enkel de lichtintensiteit weer, een perfect wetenschappelijk gedefinieerde parameter, zonder zich in te laten met de volstrekt subjectieve en imaginaire wereld van de kleuren. Een zwart-wit foto is in feite veel universeler dan een kleurenfoto. Op het netvlies van onze ogen zitten staafjes en kegeltjes die lichtgevoelig zijn en de lichtintensiteit doorgeven aan onze hersenen. De kegeltjes op ons netvlies zien de wereld in feite ook in zwart-wit, maar doordat er 3 soorten fotoreceptoren zijn op deze kegeltjes, die alledrie werken op een andere golflengte, mixt onze hersenen deze info tot een kleur. Dit kunnen we omdat we volleerde trichromaten zijn.

Een beetje vergelijkbaar met RGB-kleurencode die gebruikt wordt in veel digitale kleurtoepassingen. Alle kleuren worden gedefinieerd als een combinatie van Rood, Groen en Blauw waarbij er 256 gradaties van intensiteit zijn, die met twee hexadecimale symbolen kunnen worden uitgedrukt van 00 (=0) tot FF (=255). Zo is #000000 de code voor zwart en #FFFFFF de code voor wit. Grijstinten zullen telkens bestaan uit 3 zelfde delen zoals #C0C0C0 (zilver), zodat geen enkele kleur de bovenhand neemt. Bijgevolg is de RGB code van rood #FF0000, groen #00FF00 en blauw #0000FF en alle andere kleuren zijn combinaties van deze 3 kleuren.

Maar al deze fijne weetjes over kleurcodes veranderen niets aan het feit dat de fysieke wereld volledig kleurloos is, en dat kleur enkel een truukje is van onze hersenen om wat ‘kleur’ te geven aan de bundel elektromagnetische stralen met golflengtes die wij zien als zichtbaar licht. Laten we echter niet ontgoocheld zijn door deze demystificatie van de kleurenpracht rondom ons heen, maar des te meer bewondering hebben voor het prachtig instrument dat onze hersenen zijn om van golflengtes kleuren te kunnen maken. Ronduit psychedelisch!

En ook al zijn de kleuren van een regenboog slechts een illusie, het is een illusie die we delen met onze medemens en die we samen kunnen koesteren.

Veel groeten in allerlei zichtbare en onzichtbare golflengtes,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Oneindig is de hemel van de wiskunde

Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2n , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3n , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2g3b5f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De puntjes op de i van de wetenschappelijke methode

Willens nillens hebben we onze oren moeten spitsen in de richting van wetenschappers die ons hebben geadviseerd in het nemen van maatregelen tegen de woekerende pandemie. Diezelfde wetenschappers hebben het vertrouwen in hen niet geschaad door op de proppen te komen met een verlossende oplossing in de vorm van een vaccin. Een uitgelezen moment om de loftrompet te steken over deze wetenschappers en meer algemeen over de wetenschappelijke methode die zij hanteren. Tijd om, in deze post-truth-era waarin de eerste beste social-media amateur-commentator overloopt van zelfzekerheid terwijl de experts volop twijfelen, de puntjes van de wetenschappelijke methode nog eens op de i te zetten.

Meer en meer lijkt iedereen over alles z’n mening klaar te hebben. Dat kan een positieve zaak zijn wanneer deze mening enigszins onderbouwd is, maar veelal blijkt de betreffende mening een product van de onderbuik te zijn. Een holle excretie die niet gehinderd werd door enige kennis ter zake. Het wordt nog driester wanneer blijkt dat sommigen zich ook over feiten een mening denken te moeten vormen. Het poneren van een wetenschappelijk feit lijkt tegenwoordig veel van z’n potentieel om een discussie in een definitieve plooi te leggen te zijn verloren, want de miniemste onzekerheid in het bouwwerk der wetenschap wordt naar voor geschoven om dit bouwwerk te laten instorten. Ten onrechte, want die twijfel is juist de cement waarmee de gehele wetenschap is opgebouwd.

Graag wil ik van de gelegenheid gebruik maken om theoretisch natuurkundige Carlo Rovelli te citeren. Hij verwoordt de wetenschappelijke methode uitstekend: “Het wetenschappelijk denken onderzoekt de wereld en overdenkt haar opnieuw, ze verschaft ons steeds betere beelden van de wereld en leert ons om er op doeltreffender wijze over na te denken. De wetenschap is een voortdurende exploratie van vormen van denken. Haar kracht is haar visionaire vermogen om vooropgezette ideeën omver te werpen, om nieuwe gebieden van de werkelijkheid te ontsluiten en om nieuwe en effectievere beelden van de wereld te construeren. De onzekerheid waarin we leven, de onbestendigheid die boven de afgrond zweeft van onze immense onwetendheid, maakt het leven niet zinloos, maar juist zeer waardevol.”

Wat me vooral aanspreekt is het bescheiden karakter van het wetenschappelijk denken over z’n eigen denkbeelden. De wetenschap levert ons geen zekerheden, ook al wordt dit soms graag zo voorgesteld. Ze is niet betrouwbaar omdat ze zekere antwoorden geeft, maar is betrouwbaar omdat ze de beste antwoorden verschaft die we op dit moment hebben. Juist het feit dat ze zelf de kennis voortdurend in twijfel trekt garandeert ons dat de antwoorden die ze geeft de beste zijn die ons ter beschikking zijn. Toen Einstein ontdekte dat de wetten van Newton niet helemaal klopten was dat op geen enkele wijze een blaam voor de wetenschappelijke methode, maar in tegendeel het bewijs dat de wetenschap effectief in staat is om de beste mogelijke antwoorden altijd opnieuw in vraag te stellen, zelfs wanneer deze voortvloeiden uit een monument als Newton, met een theorie die heel lang het beste antwoord was op vragen over zwaartekracht.

Kan de wetenschap alles verklaren? Bijlange niet. Nog niet, maar evengoed misschien zelfs nooit. Maar waarom zouden we niet niet blijven zoeken?

Wetenschap is het beste antwoord. Niet meer. Maar ook niet minder.

De beste groeten, niet meer, maar ook niet minder.

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De middelpuntvliedende kracht is schijn maar het morsen is echt

“Ik heb nog iets waar je over kan schrijven! Als ik deze emmer draai, waarom is het water dan lager in het midden en hoger aan de randen?” Met deze vraag gaf mijn oudste dochter me een aanzet voor dit stukje. Het draaien zorgt inderdaad voor een afbuiging van het wateroppervlak, welk soort oppervlak zou dit zijn? En welke mysterieuze krachten zorgen voor dit gebogen wateroppervlak?

What is the best, modern explanation for the results of Newton's bucket experiment? - Quora

Moest het wateroppervlakte werkelijk perfect horizontaal zijn, dan zouden we leven op een platte schijf. De wetenschappelijke consensus is echter dat de aarde waar wij op aanmodderen min of meer een bol is, ondanks de verbeten pogingen van organisaties als The Flat Earth Society, om ons te overtuigen van het tegendeel. Deze complottheorie woekert als een taaie distel tussen de andere complottheorieën. Het bewijst des te meer dat de wetenschappelijke methode niet ingebakken zit in onze intuïtie en dat niet iedereen ertoe komt om wetenschappelijke argumenten naar waarde te schatten, zichtzelf te overtuigen en desnoods van mening te veranderen. Ook religies tonen aan dat de mens zich perfect spiritueel en moreel kan laven aan materie die niet noodzakelijk de uitkomst is van een wetenschappelijk onderbouwd model. De evolutie heeft ons gezegend met het instrument intelligentie, maar we zijn allerminst gezegend met een queeste naar waarheid.

Oeps, dat ging even heel snel van een emmer water naar evolutietheorie… Terug bij de les! Een lokaal systeem van een emmer water ligt op zo’n grote afstand van het zwaartepunt van de aarde dat het oppervlak van stilstaand water als horizontaal mag beschouwd worden. Op elk punt ter wereld geldt dat de inwerkende kracht van de zwaartekracht loodrecht staat op het wateroppervlak, gericht naar het zwaartepunt van de aardbol.

Ik verbaasde me vroeger over de bolvorm van zon, sterren en planeten, maar nu besef ik dat het simpelweg een doorslagje is van de werking van de zwaartekracht. Zoals een waterdruppel in gewichtloze toestand bolvormig is, zo zijn ook de planeten bolvormig. En het wateroppervlak van de aarde is in feite een toestand van gelijke potentiële energie. Zoals we bij het vullen van een emmer niet verwonderd zijn over het horizontale wateroppervlak, hoeven we ook niet verwonderd te zijn dat samenklonterende vloeibare massa in het heelal bolvormig wordt.

Door het draaien wordt de watermassa in een roterende beweging gebracht. En dan komen de woorden ‘middelpuntvliegende’ of ‘middelpuntvliedende’ kracht al gauw op het puntje van onze tong liggen. Maar verrassend genoeg bestaat deze kracht niet echt (dit lijkt wel de start van een complottheorie). Deze kracht lijkt te bestaan, maar in feite gehoorzaamt het fenomeen volgzaam de wetten van Newton. Laat ik als voorbeeld hamerslingeren of kogelslingeren nemen, een leuke sport die ook in anderhalvemeter-tijd probleemloos kan beoefend worden. De eerste wet van Newton stelt dat bij het ontbreken van inwerkende kracht het voorwerp in rechte lijn wil voortbewegen. Dat gebeurt wanneer de atleet het kleinood loslaat. Zonder aardse zwaartekracht en luchtwrijving zou de kogel eeuwig in rechte lijn op de zelfde snelheid door het heelal blijven klieven. Om de kogel voldoende basissnelheid te geven wordt de kogel zo snel mogelijk rondgeslingerd, de kracht in de ketting, die we vroeger de middelpuntvliedende kracht zouden genoemd hebben is in feite de kracht nodig om de kogel te laten afbuigen van z’n rechte lijn, een bocht is immers een versnelling haaks op de richting van de beweging. Dit komt regelrecht uit de tweede wet van Newton: puur een verhaal van inertie, dus. De kracht nodig om een massa m op een cirkelvormige baan met straal r met constante hoeksnelheid ω te houden is:

Uit de bocht vliegen is het verlies aan weerstand om deze inertiekracht tegen te gaan. Bij auto’s wordt deze weerstand veroorzaakt door de wrijvingsweerstand van de wielen op het wegdek. De snelheid v van een voertuig in een bocht is gelijk aan de hoeksnelheid ω vermenigvuldigd met de straal r. De inertiekracht wordt herschreven in functie van de snelheid:

De bovenstaande formule leert ons dat er 3 oorzaken kunnen zijn om uit de bocht te vliegen. Ten eerste: het verhogen van de massa. Een zware vrachtwagen zal sneller uit de bocht vliegen dan een licht exemplaar. Ten tweede: het toenemen van de snelheid. Hoe sneller je een bocht wil nemen hoe groter de kans op ontsporing, dit effect weegt door want het is een kwadratisch verband. En ten slotte: de straal van de bocht. Hoe kleiner de straal van de bocht hoe groter de kracht. Daarom kan je probleemloos een bocht van een klaverbladknooppunt aan 70 km/u nemen en is het bijna onmogelijk om een klein rond puntje te nemen aan 70 km/u, tenzij je er recht over vlamt.

Wanneer we een waterdruppel beschouwen op het afgebogen wateroppervlak van een roterende emmer dan werkt zowel de horizontale inertiekracht als de zwaartekracht mg in op de beschouwde druppel. Aangezien het wateroppervlak loodrecht staat op de resulterende kracht is de helling dy/dx van het wateroppervlak evenredig is met de afstand x tot aan de rotatie as.

Een wateroppervlak zoeken waarvan de helling in ieder punt is geweten, is wiskundig vertaald een afgeleide functie integreren om de basisfunctie te vinden, hierbij is nog een constante C te bepalen. Dat is normaal want de helling van het wateroppervlak is onafhankelijk van het initiële waterniveau in de emmer, maar het wateroppervlak zelf is dat natuurlijk allerminst. Het besluit is dat het wateroppervlak in de emmer een omwentelingsparaboloïde is.

Meer algemeen zullen horizontale krachten op een watermassa tot gevolg hebben dat het wateroppervlak gebogen wordt. Probeer maar eens een kopje koffie recht te houden in een stevig optrekkende wagen en denk maar aan machtige stormwinden op zee die het wateroppervlak meters hoog de lucht injagen. Maar ook minder spectaculaire pogingen eindigen vaak in gemors. Het wandelen met een kopje koffie van de koffiemachine tot aan je bureau is een proces waarbij het gemiddelde staptempo jammer genoeg flirt met één van de eigenfrequenties van het systeem van een gevuld kopje koffie. Dit betekent dat ook bij het in acht houden van een zekere hoeveelheid voorzichtigheid het systeem toch zeer snel zal leiden tot extreme pieken van vloeistofhoogte. Het initiële niveau laag houden is een slim idee. Andere minder spectaculaire voorzorgsmaatregelen die volgen uit het wetenschappelijk onderzoek zijn niet te snel bewegen en goed kijken naar je koffie… daar hadden we misschien ook zelf kunnen opkomen.

Spilled Coffee: Mathematical Model For Sloshing Beverage Addresses Cup Design, Walking Speed | HuffPost

De enige optie om af te rekenen met klotsende toestanden is het wegnemen van de horizontale kracht. Dit kan door het systeem bovenaan van een scharnier te voorzien. Als we een emmer aan een touw hangen en de emmer nergens tegen laten botsen dan zullen er zich geen horizontale krachten kunnen aangrijpen aan de watermassa. Het scharnier bovenaan is een onderdeel van het systeem dat niet toelaat dat er andere krachten in het systeem kunnen ontstaan dan de trekkracht in het touw, en deze kracht is steeds loodrecht op de emmer. Elke horizontale kracht die inwerkt op het systeem ter hoogte van het scharnier wordt gecompenseerd door de hoek die het systeem inneemt ten opzichte van het scharnier. Doordat er zich op deze manier geen horizontale krachten kunnen ontwikkelen in de watermassa loodrecht op de aslijn van het recipiënt naar het draagscharnier is morsen (quasi) onmogelijk geworden.

Een Spillnot is gebruiksvoorwerp gebaseerd op deze wetenschap. Je zet een kopje koffie op de Spillnot en je draagt alles met het touwtje bovenaan dat dienst doet als scharnier, waardoor er geen horizontale versnellingen ontstaan ter hoogte van het kopje, en bijgevolg geen gemors! Beetje reclame voor zo’n leuk gadget kan geen kwaad hé. Perfect educatief verantwoord en je kan hem altijd komen testen.

Spillnot - B8R07448 | Philip Harris
Mijn dochter test uitvoerig de Spillnot.

Grote geuten gemorste groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Over structuren en de perfecte boogvorm

De aanwezigheid van een bucolisch kabbelend beekje met wat keien en stenen, is voor veel mensen, waaronder mezelf, niet zozeer een aanleiding om mediterend de intrinsieke schoonheid van de natuurpracht tot zich te nemen, maar eerder een uitnodiging om deze natuurlijke elementen te gaan verbouwen tot een dam of, in casu, tot een oeververbindende boogbrug. Het gevecht tegen de zwaartekracht mondde daarna dan toch uit in een quasi oeverloze meditatie over de ideale boogvorm.

Waarom blijft de ene boog staan en stort de andere boog ter aarde? Om het antwoord op deze vraag te vinden beschouwen we de krachtwerking in een boog. Wanneer de boog is opgebouwd uit losse stenen zijn de enige krachten die doorgegeven kunnen worden drukkrachten tussen de stenen. In een geïdealiseerd model kunnen we stellen dat de richting van de kracht in de boog telkens precies evenwijdig moet zijn aan de vorm van de boog (een raaklijn van de boog). Daarenboven dient die kracht op ieder punt de resultante te zijn van de verticale kracht, afkomstig van het eigen gewicht van de ontwikkelde booglengte, en de horizontale drukkracht in de boog. Er is slechts één curve die erin slaagt om dit huzarenstukje tot een goed einde te brengen. Maar we maken eerste een zijstap naar een analoge situatie waar de drukkrachten trekkrachten worden.

De unieke eigenschap van de perfecte boog waarin enkel drukkrachten spelen heeft z’n analogie in de kettinglijn waar enkel trekkrachten mogelijk zijn. Dit zorgt ervoor dat de kettinglijn het perfecte spiegelbeeld is van de gezochte boogvorm. Anders dan bij een boog dient zij niet in de juiste vorm gebouwd te worden, maar valt deze automatisch in de juiste vorm, dankzij de zwaartekracht. Dit is een toestand van minimale potentiële energie, dat is een professionele uitdrukking voor iets dat gewoon hangt te hangen of gevallen is. Gaudi heeft handig gebruik gemaakt van deze analogie door te steunen op een model met hangende touwen voor het ontwerp van z’n Sagrada Familia.

Het antwoord op de perfecte boogvorm vinden we bijgevolg door een blik te werpen op de vorm van een kettinglijn. Deze vorm vinden we terug bij halskettingen of hoogspanningskabels. Aan de lezer de keuze welke van beide hij aandachtig wenst te bestuderen. Al heel wat befaamde wetenschappers hebben hun tanden stuk gebeten op het bepalen van de exacte curve van de kettinglijn. Zo veronderstelde Galileo dat dit een parabool betrof, al wist hij dat het eigenlijk een benadering betrof (het idee van heliocentrisme had hij wel goed). Het was Jakob Bernoulli die op het einde van de 17de eeuw enkele wiskundigen uitdaagde om de juiste vorm exact af te leiden en uiteindelijk werd de oplossing in 1691 gepubliceerd door Christiaan Huygens, Gottfried Leibniz en Johan Bernoulli. Driewerf hoera voor deze heren! Maar welke formule schuilt nu achter de kettinglijn? Onze zoektocht zal nu even in wiskundewonderland passeren, maar eerst willen we ons verwonderen over de kroonzaal van het paleis in het historische Ctesiphon (huidige Irak), waarvan de vorm van de boog een bijna perfecte kettinglijn is, en dat is meteen de verklaring waarom deze constructie nog steeds overeind staat (zie afbeelding hieronder). Een knap staaltje Perzische engineering uit de 3de eeuw, van lang voor de tijd van de heren Huygens, Leibniz en Bernoulli.

In de onderstaande figuur is een stuk kettinglijn beschouwd tussen punt A en B. In punt A is er enkel een horizontale kracht T0 aanwezig want de raaklijn aan de curve in het laagste punt is horizontaal. In het punt B is de trekkracht T rakend aan de curve. De horizontale component van de kracht is T0 en de verticale component is gelijk aan het gewicht van de ketting tussen A en B. Waarbij λ de massa is per kettinglengte, g de valversnelling en s de booglengte tussen A en B. Hieruit volgt dat de verticale component in het punt B gelijk is aan λgs. Hierdoor kan er een uitdrukking gevonden worden voor de tangens van de hoek θ, dat wiskundig gezien ook gelijk is aan de afgeleide van de curve:

Als we de verhouding van de horizontale kracht en het gewicht per lengte voorstellen door een parameter a:

kunnen we het verband tussen de booglengte s en de helling van de curve op de volgende manier noteren:

Het afleiden van bovenstaande uitdrukking naar x geeft het verband tussen de kromming van de curve en de toename van de booglengte in de x-richting.

Fysisch betekent het dat een toename van de booglengte, dus van extra gewicht zal aanleiding geven tot een kromming van de curve, dat is logisch want de verticale component van de trekkracht wordt telkens groter bij toenemende booglengte, waardoor een kromming ontstaat gezien de horizontale kracht constant T0 blijft.

Dit lijkt nog een redelijk eenvoudige uitdrukking, maar de booglengte moet nog uitgedrukt worden in functie van x en y. We maken dankbaar gebruik van de stelling van Pythagoras (toegpast op ds, dx en dy) en vinden een differentiaal vergelijking die opgelost moet worden om de ware aard van de kettinglijn te ontrafelen:

Vooraleer we de oplossing uit onze toverhoed halen, kunnen we nog even de vergelijking nader beschouwen. Wanneer de helling heel groot wordt (bij grote waarden van x) zal de vergelijking zich vervellen tot een eenvoudige eerste orde differentiaalvergelijking waarbij de oplossing een exponentiële functie is, maar voor grote negatieve waarden van x moet dit ook zo zijn, want de kettingfunctie is immers symmetrisch. Zou het dan zo eenvoudig zijn dat het resultaat het gemiddelde is van een positieve en een negatieve exponentiële functie? Inderdaad! En de som van deze exponentiële functies kan ook geschreven worden als een cosinus hyperbolicus.

Dus hoogspanningskabels, halskettingen en touwen hebben allemaal de vorm van een cosinus hyperbolicus. (De naam hyperbolicus is trouwens een gevolg van de mogelijkheid om een hyperbool te beschrijven door parametrisatie met hyperbolische functies, analoog aan de parametrisatie van een cirkel met sinus en cosinus) En bijgevolg is de perfecte boog ook een omgekeerde cosinus hyperbolicus, waarbij de parameter a de verhouding van de horizontale drukkracht en het gewicht van de booglengte is. Hoe groter de horizontale drukkracht hoe platter de boog.

Maar als de kracht in de boog varieert, varieert ook de spanning van in het materiaal. Daarom zien we in de praktijk veel boogbruggen die massiever zijn aan de steunpunten dan in het midden. Maar hierdoor verlaten we de wiskundige voorwaarden om te komen tot een kettinglijn. Een bekend voorbeeld van een ‘gewogen kettinglijn’ is de 192 m hoge Gateway Arc in St. Louis (hieronder afgebeeld). Het is een ‘afgeplatte kettinglijn’ omdat het gewicht per booglengte niet constant is.

Is de vorm van de kabel van een kabelbrug dan misschien een kettinglijn? Dat zou logisch lijken. Maar ook hier is het gewicht niet gelijk verdeeld over de lengte van de boog omdat het wegdek dat relatief gezien veel zwaarder is dan de kabel hangt aan de kabel. Hierdoor zal de kabel de vorm krijgen van een parabool en niet van een kettinglijn. Maar wanneer de kabel bij constructie wordt opgehangen zal deze wel een kettinglijn vormen. Naarmate het brugdek wordt gebouwd evolueert de kabel zich tot een parabool.

Kettinglijnen hebben soms onverwachte toepassingen. In het minder voor de hand liggende geval van voertuigen met vierkante wielen is het aangewezen om deze te laten rijden op een wegdek dat precies de vorm heeft van opeenvolgende kettinglijnen. Dit wordt hieronder geïllustreerd door een prof die met vierkante wielen over een wegdek rijdt dat opgebouwd is uit kettinglijnen. Hij rijdt zonder schokken want de wielassen volgen een horizontale lijn.

Een ruimtelijke figuur die wordt bekomen door een kettinglijn te roteren rond de x-as wordt een catenoïde genoemd. Een speciale eigenschap van een catenoïde is dat het een minimaaloppervlak is, wat betekent dat een catenoïde het minste oppervlak nodig heeft om de gegeven randvoorwaarden te verbinden in de ruimte. Een zeepbel gevormd tussen twee cirkels is een mooi voorbeeld hiervan.

Een ander voorbeeld van een catenoïde is de vorm van het beschermdoek van sommige trampolines met cirkelvormige randen boven en onder. Dit ontdekte ik toen ik een aantal dagen geleden vanuit de tuin van de buren even verder naar mijn eigen tuin keek en me plots de vorm van het beschermingsdoek opviel. Dit gebeurde juist op het moment dat ik aan het vertellen was dat ik iets wou schrijven over bogen en kettinglijnen! Soms is het echt verrijkend om eens iets vanuit een ander perspectief te bekijken. En dat is wellicht niet enkel geldig voor trampolines…

hyperbolische groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Waarom testen we niet gewoon iedereen?

Het lijkt een goede ingeving: waarom kunnen we niet gewoon iedereen op Corona testen? Het antwoord is redelijk simpel: er zouden teveel mensen onterecht positief testen. Onterecht? Jazeker: er is immers altijd een kans dat de uitslag van een test verkeerd is, want de test is niet onfeilbaar. Daarom is het enkel relevant om de ‘verdachte’ gevallen uit een risico-groep te testen. En dat kan ook gemakkelijk wiskundig verklaard worden.

We gaan eerst enkele begrippen toelichten die de accuraatheid van een medische test uitdrukken:

  • De sensitiviteit is de kans op een terecht positieve uitslag. Een positieve uitslag, bij het gegeven dat je besmet bent. Deze kans wordt genoteerd als: P(POS|Covid). Bij de meeste Covid testen ligt dit op ongeveer 71%. Dat is een vrij lage waarde. Dat betekent dat er 30% mensen zijn waarbij de besmetting niet wordt opgemerkt door de test. De zogenoemde vals negatieven.
  • De specificiteit is de kans op een terechte negatieve uitslag. Een negatieve uitslag, gegeven dat je niet besmet bent, wordt genoteerd als: P(NEG|nietCovid). De specificiteit van de huidige Covid-testen is nog onduidelijk. We kunnen hier optimistisch in zijn en er van uit gaan dat deze 99% bedraagt. Dat wil zeggen dat 1% van de mensen die niet besmet zijn, toch een positief zal testen. Dan zijn dan de vals positieven.
  • De prevalentie is de kans op besmetting voor een bepaalde populatie, op een bepaald moment. Hierbij dient opgemerkte te worden dat een populatie een totale populatie van een bepaald land kan zijn, maar een populatie kan ook een deelgroep zijn, b.v. alle mensen die koorts hebben, of hoofdpijn hebben of een combinatie. Een groep mensen waarbij de prevalentie dus hoger is dan bij de totale bevolking.

Eerder had ik het theorema van Bayes al eens besproken toen het over de NIPT-test ging (Het theorema van Bayes en de NIPT-test). Toegepast op een Covid-test ziet het theorema van Bayes er als volgt uit:

De kans op Covid bij een positieve test is de verhouding van de kans op een terecht positief geval (product van sensitiviteit en prevalentie) op de kans op een positief geval bij een gegeven prevalentie. Het theorema van Bayes drukt uit welk gedeelte van alle positieve gevallen terecht is en wat de voorspellende waarde is van de test voor een individuele persoon.

In de onderstaande grafiek is de voorspellende waarde van de test weergegeven in functie van de prevalentie, rekening houdende met een sensitiviteit van 71% en een specificiteit van 99%. Op deze grafiek is duidelijk te zien dat, als we werkelijk iedereen testen bij een prevalentie van 2% (wat we momenteel aannemen voor de totale bevolking), de kans slechts 60% is dat de test terecht is. De aanpak om enkel een risico-groep te testen waarbij de prevalentie hoger ligt stuwt de voorspellende waarde van de test de hoogte in. Bij een prevalentie van 20% (dat wil zeggen een risico-groep waarbij per 100 personen er 20 besmet zijn met het virus) is duidelijk te zien dat de voorspellende waarde stijgt naar 95%.

2020-07-07 07_24_33-corona - Excel

Besluit is alleszins dat het geen enkele zin heeft om met de test die er nu is een gehele bevolking te testen, de meeste mensen behoren immers niet tot een verdachte groep. Uiteraard zijn niet alle parameters exact bekend. Er wordt getest om de prevalentie te meten, en de voorspellende waarde is afhankelijk van die prevalentie. Daarnaast is ook de specificiteit een schatting. Maar een ruwe schatting is in dit geval veel beter dan niets! Het blijft dus een combinatie van wiskunde en gezond verstand.

Waarom testen we niet gewoon iedereen? Daarom dus!

Terecht positieve groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Over structuren en vervormingsenergie

Onlangs kon ik aan de lijve ondervinden dat bepaalde structuren niet ontworpen zijn om sterk of stijf te zijn, maar om zoveel mogelijk energie om te zetten in vervorming. Bepaalde structuren zoals een auto… en energie zoals bij een botsing. Botsen is in feite het omzetten van kinetische energie naar vervormingsenergie. Bij uitbreiding is dit geldig voor alle structuren. De vervormingsenergie is altijd gelijk aan de energie of arbeid (kracht maal vervorming) geleverd door de externe krachten.

Een auto die tegen een muur knalt is iets spectaculairder dan een normaalkracht op een kolom van een structuur, maar in feite is het qua vervormingsenergie helemaal analoog te beschouwen. We kunnen aannemen dat zowel de auto als de kolom een vervormingsgedrag zullen vertonen dat we kunnen benaderen als lineair elastisch gedrag (zie ook: Over structuren en de wet van Hooke). Bij zware botsingen is de kans echter zeer klein dat de auto weer elastisch naar oorspronkelijke toestand gaat, maar bij een lichte ‘bumperkus’ is de vervorming meestal elastisch. Wanneer de vervorming permanent is en de takeldienst dient gebeld te worden dan hebben we een mooi voorbeeld van plastische vervorming.

Hoe weten we nu hoeveel vervormingsenergie er zit opgeslagen in een structuur, bijvoorbeeld in de kolom? Om dit te bepalen gaan we een kracht langzaam toenemend laten aangrijpen op de kolom en bij elke extra verkorting berekenen we de arbeid door deze te vermenigvuldigen met de aangrijpende kracht. Het komt er in feite op neer dat de geleverde arbeid gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek waarin de kracht is weergegeven in functie van de verlenging. Wiskundig gezien levert dit een integraal op, maar wat kennis over de oppervlakte van een driehoek is hier voldoende om tot een uitdrukking te komen van de externe arbeid (U) geleverd op de constructie:

arbeid op kolom

De wet van Hooke heeft het volgende verband tussen verkorting en kracht:

Door het bovenstaande te substitueren in de uitdrukking van de arbeid kunnen we de de vervormingsenergie in de constructie uitdrukking in functie van de interne krachten:

Energie is één van de meest fundamentele eenheden in de natuurkunde en een probleem uitdrukken in functie van energie is dan ook een zeer algemene benaderingswijze, waaruit heel veel specifiekere rekenregels voortgekomen zijn. Zeer algemeen gezegd zal een constructie in (stabiel) evenwicht zijn wanneer z’n totale (potentiële) vervormingsenergie een minimum heeft bereikt,  zoals ook een bal rolt naar het laagste punt (het lokaal laagste punt). En als we zoeken naar een minimum, dan is het evident dat de partiële afgeleiden niet ver weg zijn…

Ook al is het streven naar minimum potentiële vervormingsenergie een algemeen streven van alle constructies, het zal in veel gevallen niet de meest eenvoudige manier zijn om te komen tot een bevattelijke en handige structurele analyse. De Italiaanse ingenieur Castigliano ontwikkelde een methode om de interne krachten en de doorbuiging te berekenen van elastische systemen. Hij vond dat de verplaatsing in een bepaald punt van een constructie in verband stond met de partieel afgeleide van de vervormingsenergie naar de bijhorende virtuele kracht die werkt in dezelfde richting van de gezochte verplaatsing, wiskundig uitgedrukt ziet dit er als volgt uit:

De methode onderzoekt dus hoe de totale vervormingsenergie zal veranderen door de impact van een kracht op een plaats, waar er in het echt helemaal geen externe kracht zal aangrijpen. Dit gegeven maakt dat de hele theorie zich niet zo gemakkelijk laat uitleggen in simpele taal en dat er sprake is van ‘virtuele arbeid’, deze wiskundige wereld staat nogal veraf van de bekistingen en de wapening waar een structureel ingenieur dagelijks mee bezig is. Laat ons nu toch maar even Castigliano toepassen op de bovenstaande uitdrukking van vervormingsenergie:

Dat lijkt alvast te kloppen! Het verder in detail uitspitten van deze energiemethode is echter niet mogelijk zonder dat we een heel gamma van formules moeten bovenhalen welke rekening houden met vervormingsenergie door normaalkracht, dwarskracht, buiging en torsie. En algemeen gezien halveert het aantal lezers bij het gebruik van iedere formule… 

Het equivalent van een botsing voor een auto is een aardbeving voor een gebouw, waarbij een gebouw op korte tijd zeer grote energie moet absorberen. (zie ook: Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen… ) Zo zal het uiterst belangrijk zijn om te bewaken dat de totale vervormingsenergie die het gebouw kan opnemen voldoende hoog is. Dat kan een geval van leven of dood zijn. Nu we weten dat we de vervormingsenergie gezien kan worden als de oppervlakte onder de spanning-rek-curve is het zeer logisch om te gaan eisen dat er een faalmechanisme moet ontstaan waarbij het staal moet kunnen vloeien en waarbij de ductiliteit (de maximale rek tot breuk, of vervormbaarheid) van het gebruikte staal voldoende hoog moet zijn.

Ook wanneer er geen aardbevingen zijn zal het een groot voordeel zijn wanneer de constructie in grote mate vervormingsenergie kan opslaan vooraleer dat de constructie bezwijkt. Een brug die vervaarlijk begint door te buigen kunnen we nog op tijd ontruimen en ook in een gebouw zal het veiliger blijken wanneer er zich bij overbelasting van bepaalde balken scheuren en overmatige vervorming wordt vastgesteld alvorens zij bezwijken. Daarom is het ook belangrijk dat we een goed zicht hebben op de structuur. cracks-in-beam

Maar scheuren hoeven niet altijd alarmerend te zijn. Er zijn veel oude gebouwen waarbij er een nieuwe evenwichtstoestand is ontstaan door een scheur, zeker bij boogwerking is dit vaak het geval, deze kunnen nog altijd stabiel zijn door het toevoegen van een scharnier (veroorzaakt door de scheur). Dus blinde paniek bij het vaststellen van scheuren is ook niet nodig.

images

Zoals wijzelf ook liever een waarschuwing krijgen dat onze bloeddruk te hoog is, zodat we dit kunnen genezen, zo is het ook een eigenschap van een goed ontwerp dat de constructie de nodige alarmboodschappen kan uitzenden alvorens te bezwijken. En dan is het natuurlijk wel een kwestie van deze signalen niet te negeren.

Virtuele arbeidsgroeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De vogels in de lucht

Het overkomt iedereen wel eens dat je ouders plots daar staan met souvenirs uit het verleden. Cursussen en toetsen vanuit je schooltijd. Het lijkt te komen uit een ander leven. Maar er was een tijd dat je die toetsen hebt gemaakt, dat je hebt gezwoegd aan al die knutselwerkjes en dat je die cursussen al dan niet met veel ijver hebt doorploegd om de kennis ervan af te kunnen vinken in je tocht naar volwassenheid en wasdom. Tussen al die papieren vond ik ook het onderstaande kaartje, met excuses uit het verleden van mijn 8-jarige zelf over de werkwoordsfout.

Ik vermoed dat ik het gemaakt heb in de tijd van mijn eerste communie gezien de religieuze inslag. Ik let nog dagelijks op de vogels in de lucht. Op de fantastische manier waarop zij ontwikkeld zijn tot vliegende dieren, geoptimaliseerd in alle opzichten om met een minimum aan energie door de lucht te klieven.

Dat ze niet zaaien en niet maaien. Dat staat er ook op het kaartje. Dat zaaien en maaien is natuurlijk iets waar wezens hogerop op de evolutionaire ladder zich mee bezighouden. Zaaien ze niet een klein beetje wanneer ze zaadjes van plantjes eten en die dan ergens via de stoelgang droppen, zodat de planten zicht verspreiden? En maaien ze ook niet een klein beetje wanneer ze takjes zoeken voor hun nestje? Nee? Wellicht is dat te ver gezocht en moet de wereld voor een 8-jarige niet te complex gemaakt worden.

Maar dat hoeft ook helemaal niet, ze moeten helemaal niet zaaien en maaien. Ze worden gevoed door de hemelse Vader. Chill en relax dus voor al het gevogelte. Er wordt voor hen gezorgd. Wel ja, ze krijgen het uiteraard niet op een bordje voorgeschoteld. Ze moeten het nog altijd zelf verzamelen, en ook zelf duizenden kilometers naar het zuiden vliegen wanneer het eten hier op is. Ja, dat is toch wel een kleine moeite, niet? Ze kunnen vliegen, dus het zou maar kleingeestig zijn als ze daarover zouden zeuren. De wormen en de insecten zijn er in overvloed, ze moeten enkel naar binnen gespeeld worden. Easy-peasy, lemonsqueezy!

Maar uiteraard heeft de achterliggende boodschap niets met vogels te maken. Het heeft alles te maken met het feit dat je moet vertrouwen. In een hemelse Vader, volgens het kaartje. Ik ben zo benieuwd van wat ik er echt over dacht toen ik 8 was. Gelukkig ben ik niet gestopt met nadenken en studeren. Het zou een gevolg kunnen zijn van de tekst op het kaartje. Waarom moeite doen? Let eens op de vogels, strevers aller landen! En stop met werken. Vlieg er op uit!

Gevleugelde groeten,

T.E.