Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Ook voor Coronavirus-data geldt dat een getal meestal begint met het cijfer 1, 2 of 3, de wet van Benford volgend

Als je de lijst van Corona-besmettingen per land overloopt valt het je niet meteen op, maar de meeste getallen beginnen met 1, 2 of 3. En dat is toch bizar, want we hebben toch 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer, met bijhorende kans van 1 op 9 (11%) Klopt niet. En er is meer: bijna alles om ons heen volgt deze wetmatigheid: de kans dat een getal begint met ‘1’ is 30%, de kans op een 9 slechts een kleine 5%. Neem maar de proef op de som en turf de getallen in je krant: je zal zien dat meer dan de helft van de getallen start met 1, 2 of 3. Ik vind dit waanzinnig! Het is de fysische wereld die spartelt in het keurslijf van ons positiestelsel.

2020-03-08 09_29_53-Benford.xlsx - Excel

Ik poneerde dit gisteren bij een vriend en we namen samen de proef op de som: we namen de krant en ik turfde het aantal keer dat een getal met een bepaald cijfer begon. En na enkele pagina’s van De Tijd doorploegd te hebben op zoek naar getallen was het overduidelijk: hoe hoger het cijfer hoe minder kans dat het een startcijfer is. Hieronder de uitslag waaruit overduidelijk blijkt dat de kans op het eerste cijfer niet gelijk verdeeld is.

turven De Tijd

We hebben daarna zowel het aantal inwoners als de oppervlakte van elk land op de zelfde manier geanalyseerd en we komen tot de zelfde verrassende vaststelling dat het cijfer 1 het meest voorkomt of het nu gaat over een aantal inwoners of een oppervlakte. Het maakt zelfs niet uit in welke eenheid de oppervlakte wordt beschouwd vierkante km, vierkante mijl, hectares,… de uitkomst zal eenzelfde beeld geven.

opp inwoners per land - benford

Ook ik vond dat op het eerste zicht verrassend en zelfs verbluffend: hoe is het mogelijk? Het fenomeen blijkt beschreven te zijn door de wet van Benford, en dat is wat wikipedia ons vertelt:

“De wet van Benford beschrijft de frequentieverdeling van het begincijfer van getallen in grote dataverzamelingen waarin een beperkte mate van stochasticiteit optreedt. De wet van Benford werd in 1881 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige en astronoom Simon Newcomb, maar kreeg grote bekendheid door de herontdekking en publicaties in 1938 van Frank Benford, een fysicus die zijn hele leven bij het Amerikaanse bedrijf General Electric heeft gewerkt.”

De wet van Benford drukt op volgende wijze uit wat de kans is op een startcijfer ‘d’:

Toegepast op het cijfer ‘1’ geeft dit:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kans (%) 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Hoe kunnen we dit verklaren? Er lijkt niet echt een eenvoudige wiskundige verklaring te zijn. Wat we wel kunnen aantonen is dat als we een frequentieverdeling beschouwen van de startcijfers die onafhankelijk moet zijn van de gebruikte eenheid, we op een logaritmische frequentieverdeling komen, zoals hierboven beschreven.  Concreet wil dat zeggen dat we er van uitgaan dat de eenheid voor bepaalde grootheden geen invloed heeft op het resultaat. Want het is de mens die heeft uitgevonden hoelang een meter is. Daar kan de natuur of de werkelijkheid der dingen zich niets van aantrekken.

Eens je beseft dat het switchen van de ene eenheid naar een andere in feite een vermenigvuldiging is, kan je het fenomeen begrijpen door er een cirkelvormige rekenlat bij te halen. Jammer genoeg heb ik er geen in bezit, maar op een Breitling Navitimer zijn de buitenste rijen getallen die je kan verdraaien ten opzichte van elkaar eigenlijk een rekenlat. Wat kan je daarmee doen? Getallen vermenigvuldigen door te draaien, zie ook: De geheimen van grootvaders rekenlat. Graag breng ik je aandacht op het feit dat meer dan de helft van de cirkel getallen zijn die beginnen met een 1, 2 of 3. Dus hoe meer we willekeurige getallen gaan vermenigvuldigen hoe meer we zullen voldoen aan de wet van Benford. En we moeten hierbij ook opmerken dat we meeste natuurwetten gebaseerd zijn op een vermenigvuldiging, denk maar aan F=ma, de gravitatiewet, wetten van Maxwel,…

Breitling-Navitimer-Rattrapante.--600x406

Een test die je eenvoudig zelf kunt doen is willekeurig gekozen getallen A, B en C vermenigvuldigen op een rekenmachine en turven wat de frequentieverdeling is van uitkomst AxBxC, en na een tijdje zal de wet van Benford zich aan je openbaren: cijfer 1 zal beduidend meer voorkomen dan de andere cijfers.

Geldt de wet voor alle reeksen van getallen? Nee, dat ook weer niet. Om dergelijke verdeling te hebben moeten de gegevens over meerdere grootte-ordes gespreid zijn. Dus de lengtes van personen vallen hier bijvoorbeeld niet onder. Ook een lijst van hoogste bergtoppen niet, maar een lijst van alle bergen op aarde dan weer wel.

Het is contra-intuïtief omdat het het begrip ‘ad random’ een beetje op z’n kop zet. Als je getallen door een computer ad random laat bepalen dan zullen ze niet aan de wet van Benford voldoen. Het zijn dan ook geen werkelijke dingen die gemeten of geteld kunnen worden, maar enkel een getal genomen uit een verzameling van getallen, zoals een lotto-trekking. Als je op een bepaald moment een aantal gegevens moet verzinnen, b.v. facturen of in een wetenschappelijk onderzoek, kan je maar beter zorgen dat deze voldoen aan de wet van Benford. Want je zou niet de eerste fraudeur zijn die tegen de lamp loopt doordat z’n data zo verzonnen is dat alle startcijfers gelijk verdeeld voorkomen.

Tot slot terug naar het Corona-virus. Een prachtig voorbeeld van exponentiële groei in de huidige fase. Zie ook: Dromen over het getal e. Wanneer je een bedrag laat opbrengen op de bank zal het totaal bedrag groeien. Maar om van 100 euro naar 200 euro te groeien moet het bedrag verdubbelen (groei: 50%), maar daarentegen om te groeien van 800 euro naar 900 euro hoeft het bedrag maar te groeien met 12,5%. Daarom blijft het totaalbedrag langer ‘hangen’ tussen 100 en 200 euro en groeit het sneller door van 800 naar 900 euro. Wat we terugvinden in de frequentieverdeling van alle bedragen die op de bank staan, daarvan zal 30% ook starten met een ‘1’ ! Ook voor het aantal Corona-besmettingen is het een verdubbeling om van 1000 naar 2000 besmettingen te gaan, maar slecht een kleine groei om van 8000 naar 9000 besmettingen te gaan. En dat raakt volgens mij de ziel van deze mooie wetmatigheid.

Getallen die de Benford-wet volgen zijn echt en staan met beide voeten in de werkelijkheid.

Het is op dit moment (begin maart 2020) nog koffiedik kijken hoeveel het maximale aantal besmettingen per land zal zijn, maar één ding weten wel wel: het zal voldoen aan de wet van Benford.

En in tijden van onzekerheid, is dit misschien een lichtpuntje.

Benford-verdeelde groeten aan iedereen,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Er was eens een appel. Hap. Op.

Pavlovgewijs komt bedtijd bij kleuters meestal samen met de vraag om een verhaaltje. Het kan wel eens gebeuren dat de tijd ontbreekt om hier uitvoerig op in te gaan en dan wordt door ondertekende het volgende ‘kortverhaal’ wel eens bovengehaald: “Er was eens een appel. Hap. Op.” Ik krijg dan prompt een ontgoocheld dat-is-geen-echt-verhaal-gezicht te zien, en nog voor ik de kamer helemaal verlaten heb, maken zich, naast een schuldgevoel, ook echte verhalen over appels meester van m’n gedachten.

hendrick_de_clerck_the_judgement_of_paris.jpg

Zo is er het verhaal over de twistappel van Eris, godin van de ruzie. Zij was ooit te gast op een huwelijksfeest waarop ook tal van Griekse goden aanwezig waren. Ergens tussen de ‘Lac de Connemara’ en ‘YMCA’ pakte ze een appel van het dessertbuffet en schreef erop: ‘Voor de mooiste’ en legde die netjes terug tussen het andere fruit van het buffet. Dat Griekse goden wel af en toe menselijke trekjes hadden was al langer duidelijk, maar die avond liep het echt de spuitgaten uit. Het duurde niet lang of drie godinnen, Hera, Pallas Athena en Aphrodite, maakten zo’n scène over wie de appel toekwam dat Zeus in hoogsteigen persoon moest ingrijpen. Hij stelde de Trojaanse prins Paris als scheidsrechter aan.

Deontologie en integriteit waren niet meteen de sterkste kanten van Paris, want nadat Hera en Athena hem respectievelijk macht en wijsheid beloofden ging Paris in op het voorstel van Aphrodite. In ruil voor de appel en de titel van mooiste godin beloofde ze hem de mooiste vrouw van de toen bekende wereld: Helena. Haar man, Menelaos, was not amused en zo begon de Trojaanse Oorlog die leidde tot de val van Troje, met behulp van een houten paard dat ‘geschonken’ werd aan de Trojanen. De Trojanen liepen blindelings in de val ondanks de waarschuwing van de plaatselijke hogepriester Laocoön: “Timeo Danaos et dona ferentes.” Ik vrees de Grieken, en vooral als ze met cadeautjes afkomen. Ook vandaag nog wordt dit her en der gemompeld als iets te mooi is om waar te zijn. In 90% van de gevallen is het meestal ook zo. Het was niet zo handig van Aphrodite om Paris een getrouwde vrouw te beloven. Het is alsof je iemand een Porche zou beloven die je niet zelf bezit. Of een volk een land zou beloven waar andere volkeren reeds wonen. En dat is precies wat gebeurde in het Oude Testament.

De-zondeval

De appel speelde ook een hoofdrol in het Genesis-verhaal van het Oude Testament. Jahweh, het welbekende hoofdpersonage, had z’n versgeschapen koppeltje mensen, Adam en Eva, verboden de vruchten van de boom van goed en kwaad te eten. Het feit dat in het Latijn het woord ‘malus’ zowel ‘slecht’ als ‘appel’ betekent, zal wellicht een verband hebben met het feit dat het een appelboom betrof. Een slang overtuigde Eva tot een hap, en even later verslikte Adam zich bij z’n laatste hapje appel toen hij hoorde over de erfzonde die ze zo hadden uitgeroepen over hun volledige nageslacht. Oeps.

De slang, de veroorzaker van al dit onheil, was, naar verluidt, niet zo onder de indruk van z’n bestraffing welke erin bestond dat z’n nageslacht voortaan al kruipend door het leven moet gaan en moest zelf inspanning doen om een opkomende glimlach te onderdrukken. Ook Adam en Eva kregen een straf voor hun nageslacht. Vanaf dan zouden mannen zich in het zweet moeten werken op de akkers en zouden vrouwen pijnlijk bevallen. Waarbij ik moet vaststellen dat het grootste deel van de mannen ondertussen bezigheden heeft gevonden in andere sectoren dan de agrarische sector, maar dat vrouwen daarentegen nog altijd een serieuze klus hebben met de bevalling. Wat zou er van ons geworden zijn mochten we geen kennis genomen hebben van de boom der kennis van goed en kwaad via die ene appel? We zullen het nooit weten…

Newton appel

En het is ook een appel die de natuurkundige Isaac Newton inspireerde tot z’n zwaartekrachtswetten. Hij kwam tot het geniale inzicht dat planeten dezelfde wetten volgen als die vallende appel. Niets zo logisch als de wetten van Newton? Toch niet want onlangs was ik met m’n collega’s bezig over een vallende lift en de snelheid waarmee deze de grond raakt. Een collega kon amper geloven dat een lift vol met mensen precies met dezelfde snelheid tegen de grond valt als een lege lift. De volle lift en de lege lift vallen immers naar beneden met dezelfde versnelling, de valversnelling. En omdat de luchtweerstand van beide situaties gelijkaardig is, zal de snelheid identiek zijn.

Nog niet zo lang geleden reed ik met mijn dochter in de auto en ze vloog naar rechts bij een rond puntje. ‘Hoe komt dat toch papa?’ En voor ik het besefte ging ik op m’n rem staan om te tonen dat er ook bij vertragen en versnellen krachten op ons inwerkten. En puur educatief ging ik wat sneller door het volgende ronde puntje om te tonen dat de zijwaartse krachten dan groter zijn. Ik was zo enthousiast de eerste en de tweede wet van Newton aan het uitleggen dat ik per abuis ook bijna de derde wet over actie en reactie had uitgelegd ten nadele van een voorligger.

GPS

Dat doet me denken aan een andere appel: de Apple Iphone. En meer specifiek de GPS functie. En bij uitbreiding natuurlijk alle GPS-toestellen. Die zouden allen compleet de mist ingaan enkel maar vertrouwend op Newton’s wetten, want de klokken in de satellieten gaan sneller dan de klokken op aarde, dat is een gevolg van de relativiteitstheorie van Einstein die geldt als een correctie op de wetten van Newton. Het hele satellietsysteem kan je eigenlijk vergelijken met geblinddoekt rondlopen en een aantal personen die tegen je roepen hoe laat het is en waar ze zelf staan. Doordat je zelf weet hoe laat het is, weet je hoe lang het geluid er over gedaan heeft om je te bereiken. Als één iemand roept dat hij op de kerktoren staat en roept dat het ‘nu’ 12u is, en je hoort de ‘nu’ pas 12u en 2 seconden. Dan weet je dat je je ergens op een cirkel van 600 m rond die kerk bevindt (meer exact op een bol van 600m gemeten vanop de kerktoren). Heb je 3 van die roepers, dan kan je in theorie perfect je positie bepalen. Zo heb je minstens 3 satellieten nodig om je plaats op aarde te bepalen.

Ja, je plaats op aarde. Iedereen is er vroeger of later naar op zoek. En we komen er al snel achter dat er veel meer nodig is dan 3 satellieten om je plaats te vinden op aarde. Gelukkig hebben we verhalen over appels die ons een beetje op weg helpen over hoe alles ineen steekt want voor je het weet: ‘Hap. Op’. Ik denk dat ik maar eens meer tijd moet vrijmaken voor slaapverhaaltjes… Volgende keer Sneeuwwitje!

Appelbloesemgeurige groeten,

T.E.

sneeuwwitje

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Bladschikken voor gevorderden met de gulden snede

De gulden snede staat al eeuwen bekend als de perfecte esthetische verhouding. Er zijn heel wat gebouwen die volgens deze perfecte ratio gebouwd zijn. De Taj Mahal, het Parthenon, de Notre Dame in Parijs, overal zie je de gulden snede terugkomen. Maar wat wonderlijk is, is dat deze gulden snede ook in de natuur terugkomt. Bij veel planten en bloemen zijn de blaadjes geschikt volgens de gulden hoek, wat het equivalent is voor de gulden snede bij hoeken.

1-NGNon6GsqrUSrzMsF9vrEw

Mijn trans-Alpijnse zus heeft zonet een boek gelezen over de gulden snede: ‘La sezione aurea’. In het Italiaans klinkt dat zoveel mooier dan in het Nederlands, waar ‘gulden’ klinkt alsof het gaat om iets dat wat verguld is en kitsch, en snede is iets wat wij hier vooral associëren met een snee brood of het sneetje kaas dat we erop leggen. Een kitcherige boterham. Weg mystiek.

De gulden snede is de verhouding van twee lijnstukken waarbij het grootste zich verhoudt tot het kleinste, zoals de som van beiden zich verhouden tot het grootste lijnstuk.
Golden-Ratio-color-1024x439-1.png

Hieruit volgt de volgende uitdrukking:
Beide leden vermenigvuldigen met geeft de volgende kwadratische vergelijking:

met als positieve oplossing:

Een benaderende waarde voor de gulden snede is dus 1,618.

Mijn zus was vooral verwonderd over het verband tussen de gulden snede en de fyllotaxis. Dat heb ik toch eens moeten opzoeken, en dat blijkt de schikking van de blaadjes te zijn. Bladschikking blijkt voor planten van primordiaal belang te zijn. De fotosynthese is een proces waarbij licht moet opgevangen worden om koolstofdioxide (ook wel gekend als C02) om te zetten in koolhydraten. Een plant heeft er dus alle belang bij om z’n blaadjes zo te schikken dat ze zoveel mogelijk licht opvangen, en dat met een zo gemakkelijk mogelijke opdracht. In de DNA zou ergens kunnen de volgende opdracht weggeschreven zijn: schik het volgende blaadje onder een hoek  van het vorige blaadje.

Wat zou die hoek kunnen zijn? Als we =180° nemen, zien we al snel dat dit helemaal geen goede keuze is, want het derde blad komt boven het eerste blad te liggen. Ook 120° is geen goed idee, want na drie blaadjes ligt het vierde knal op het eerste blaadje, wat uiteraard niet efficiënt is voor de fotosynthese van de plant. We merken dat alle getallen die een gemakkelijke breuk vormen (360°/180°=2 en  360°/120°=3) geen goede oplossing zijn voor de bladschikking. Bij uitbreiding zijn alle rationele getallen vroeg of laat overlappend met vorige geschikte blaadjes. We zoeken dus een getal dat zich zo irrationeel mogelijk gedraagt.

Misschien is een goede keuze? Nee, want 22/7=3,142.. is al een zeer dichte benadering. Dat wil zeggen dat al veel te dicht aan het flirten is met de rationele getallen om bruikbaar te zijn voor een nuttige bladschikking. Dit kan men goed zien als we de enkelvoudige kettingbreuk van uitzetten:
Als we de kettingbreuk afbreken bij 7 dan krijgen we de verhouding 22/7. Hele grote getallen zorgen in een kettingbreuk voor een goede benadering met rationele getallen. Zo is 355/113=3.14159292… een zeer goede benadering voor . Dit komt omdat het volgende getal in de kettingbreuk een heel groot getal is: 292.

Als grote getallen in een kettingbreuk leiden tot getallen die zich gemakkelijk laten benaderen door een rationeel getal, kunnen we dus ook omgekeerd zeggen dat een kettingbreuk met kleine getallen zal leiden tot een zeer irrationeel getal. En het meest irrationele getal dat we kunnen bekomen is een kettingbreuk met alleen maar eentjes:

Het zal je niet verwonderen dat deze uitdrukking in deze tekst die handelt over de gulden snede effectief perfect gelijk is aan de gulden snede:

Terug naar de plant met de DNA opdracht: schik de blaadjes volgens de gulden hoek. De gulden hoek wordt uitgedrukt als:

Dat is de kleinste hoek van twee hoeken die een volledige cirkel verdelen in twee hoeken volgens de gulden snede: 137,5°+ 222,5°=360° en 222,5/137.5=1,1618…

Hieronder zie je de eerste 5 blaadjes van een plant geschikt volgens de gulden snede, de blaadjes bevinden zich telkens een hoek 137,5° verder van elkaar. Of 222,5° in tegenwijzerzin.

Leaf-Growth-5.png

Zo gaat het door en door en we verkrijgen telkens een zo minimale overlap met de vorige blaadjes.

Leaf-Growth-13.png

Ook bij de schikking van de zaadjes in een zonnebloem gebeurt iets gelijkaardig. De zaadjes zijn allemaal geschikt volgens de gulden hoek. Dit levert immers de meeste zaadjes op een zo klein mogelijke oppervlak op. Hieronder kan je zien dat een kleine variatie van de hoek al een veel minder gunstige schikking oplevert van de zaadjes.Sunflower-seed-golden-angle-diagram.001.pnglabimg_870_Sunflower

Als je je nu de bedenking maakt: amai hoe kan dat? Dan moet je maar denken aan het feit dat alle minder gunstige variaties in de natuur met minder gunstige hoeken het niet hebben overleefd ten opzichte van de planten met een gunstigere schikking. Wat we in de natuur vinden is het product van een proces van miljoenen jaren variatie, overerving en selectie. (lees ook: Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?) Je zou het sommige mensen niet aangeven, maar ook die zijn het product van miljoenen jaren van finetuning.

Oh ja en dan hebben we ook nog de wonderbaarlijke Fibonacci getallen: 1,1,2,3,5,8,13,… waarvoor geldt dat het volgende getal telkens de som is van de twee vorige getallen. Er zijn in de natuur ook veel Fibonacci getallen te vinden… Mysterieus van de natuur? Helemaal niet want laten we eens de gulden snede benaderen door de kettingbreuk af te breken dan krijgen we volgende benaderingen:

Twee opeenvolgende Fibonacci getallen blijken dus een steeds betere benadering van de gulden snede te zijn naarmate we verder gaan in de Fibonacci rij:

De natuur vond immers ook dat, als we dan toch getallen of een verhouding gebruiken in het bladschikken of het zaadschikken,  we maar beter Fibonacci getallen kunnen gebruiken.

Je hoeft trouwens niet  met de eerste Fibonacci getallen 1 en 1 te starten om uit te komen op de gulden snede. Neem eender welke twee getallen en tel ze samen en maak dan telkens de som van de laatste twee getallen en je komt sowieso altijd uit op de gulden snede. Als je pakweg 37 en 11 neemt zal dit ook een reeks vormen waarvan de verhoudingen op de limiet de gulden snede zijn. Ik heb het niet nagegaan, maar het moet wel gewoon altijd lukken. Dat is niet echt een straf wiskundig bewijs, maar dat laat ik over aan anderen.

Nu ik erover nadenk. Net omdat de gulden snede het meest irrationele getal is dat we kunnen bedenken zal het waarschijnlijk totaal geen streling voor het oor zijn als we twee klanken zouden laten samenklinken waarvan de verhouding van de frequenties gelijk is aan de gulden snede. Want enkel eenvoudige verhoudingen van gehele getallen zijn harmonische tweeklanken. (zie ook: Alle piano’s zijn een beetje vals). Dat is toch wat anders dan je zou verwachten van deze sectio divina, of goddelijke verhouding.

We kunnen besluiten dat de gulden snede hoogstwaarschijnlijk leidt tot het meest irritante, dissonante en valse interval in de hele muziekwereld. Geen idee of dat ook in het boek van mijn zus stond. Ik hoor het wel binnenkort!

Zorgvuldig in het lente-zonlicht geschikte groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

De geheimen van grootvaders rekenlat

Om te rekenen hebben we tegenwoordig rekenmachines en smartphones ter beschikking, maar er is een tijd geweest, nog niet eens zo lang geleden, dat alle bewerkingen met getallen manueel moesten gebeuren. Met pen, papier en veel monnikengeduld geraak je wel ergens, maar in grootvaders tijd hadden ze als hulpmiddel een rekenlat. Ik vroeg me al lang af hoe zo’n ding werkt, en ik heb me er één aangeschaft, ter ontsluiering van z’n geheimen.

20190228_215417

Iedereen heeft wel eens twee kinderen horen bekvechten, waarbij de ene beweert wel duizend knikkers te hebben en waarbij de andere met hoongelach de andere duidelijk maakt dat hij er nog veel meer heeft: wel honderd! Waarbij knikkers inwisselbaar zijn in om het even wat, naargelang het onderwerp van de discussie. Het door elkaar haspelen van grootte-ordes is nu eenmaal hilarisch. Reeds in de lagere school leren we hoeveel nulletjes we moeten bijvoegen om een getal te vermenigvuldigen met honderd of duizend. Mijn dochter geeft me zonder verpinken de antwoorden: om met tien, honderd of duizend te vermenigvuldigen moet je respectievelijk één, twee en drie nulletjes toevoegen aan het getal. Zeer interessant want het vermenigvuldigen met veelvouden van 10 is dus in feite equivalent aan het optellen van nulletjes. We hebben dus van een vermenigvuldiging een optelling gemaakt…

Ik ben me er ter dege van bewust dat het optellen van nulletjes om tienduizend met pakweg een miljoen te vermenigvuldigen niet echt rocket science is, maar de dualiteit tussen optellen en vermenigvuldigen is het principe dat aan de basis ligt van de werking van een rekenlat. Er moet enkel nog een abstractiesausje over en het geheel moet nog wat gekruid worden met een ‘moeilijk woord’, maar het concept zal blijven dat we grootte-ordes van getallen optellen om ze te vermenigvuldigen. De bekvechtende kinderen van daarnet hadden het over grootte-ordes van tien. Honderd. Duizend. Miljoen. Miljard. En ga maar door… Het is duidelijk dat tien een centrale rol speelt in dit geval. De grootte orde van tienduizend is 4 en de grootte orde van een miljoen is 6. Het vermenigvuldigen van tienduizend en een miljoen is dus equivalent aan het optellen van de grootte ordes: 4+6=10.

Het abstractiesausje zullen we opdienen in twee gangen samen met twee vragen. De eerste vraag is: heeft elk getal een grootte orde? Affirmatief! Zoals je 10 kunt verheffen tot de 2de macht om 100 te bekomen, kan je perfect 10 verheffen tot de macht 2,5. Verheffen betekent letterlijk ‘naar een hoger niveau brengen’. Het antwoord op 10 tot de macht 2,5 is trouwens 316,227766… Het gaat alleszins serieus hard als we beginnen met verheffen, 10 tot de macht 80 is een schatting van het totaal aantal atomen in het heelal. We kunnen dus redelijk wat omspannen met 80 grootte-ordes van 10. Het aantal atomen in een mol: grootte-orde 23 (zie ook het stukje: Over een lepeltje, oceanen en moleculen). ‘Googol’ is de aanduiding voor de 100ste macht van 10, daar komt trouwens de naam Google vandaan.

Een ‘googolplex’ is 10 tot de macht googol, en we blijven ons wiskundehartje verheffen want een ‘googolplexian’ is dan weer 10 tot de macht googolplex. Letterlijk niet te bevatten want er zijn niet genoeg atomen in het heelal om te voorzien in alle nullen en ik kan dan ook met recht en rede zeggen dat dit ons veel te ver leidt. Als je nog harder wil gaan dan het machtsverheffen, moet je zeker eens zoeken (Googelen bijvoorbeeld) naar het ‘getal van Graham’.

De tweede vraag is: kan een ander getal dan 10 gebruikt worden als het grondtal voor de grootte-orde? En ook hier is het antwoord eveneens positief. Natuurlijk kan je dat. Het binair talstelsel is een mooi voorbeeld, waarbij het grondtal 2 is. (zie ook: Schaakmat voor koning Shirham) Maar waarom het gemakkelijk maken als het ook moeilijk kan? Waarom nemen we niet gewoon het grondtal e? (zie ook: Dromen over het getal e) Hiermee kunnen we zeer goed continue groei wiskundig omschrijven. En in de natuur zijn er nogal wat zaken die volgens dat principe werken, ik denk maar aan de afname van radioactiviteit. Als we e nemen als grondtal dan zal de x-de macht van e de continue 100%-groei weergeven in een tijdspanne x. Maar zoals we alle getallen kunnen uitdrukken als machten van 10 of 2, kunnen we evengoed alle getallen uitdrukken als een macht van e. Uiteraard mag dit niemand ervan weerhouden om nog een ander grondtal te nemen, gewoon om tegen tjok te zijn. (zie ook: De ontplooiing van het verhaal van ‘tegen tjok’ rolmodel Britney Gallivan).

Na deze flexibiliteit naar grootte-orde en naar grondtal, is het dringend tijd voor het kruiden van het geheel met een moeilijk woorden. We hebben steeds gesproken over de grootte-orde van een getal op basis van een grondtal. Zo is de grootte-orde van 1000 op basis van grondtal 10 gelijk aan 3. En is de grootte-orde van 16 op basis van grondtal 2 gelijk aan 4. Vanaf nu gaan we grootte-orde vervangen door ‘logaritme’. Laten we nu bovenstaande voorbeelden nemen dan zeggen we dat de logaritme met grondtal 10 van 1000 gelijk is aan 3. Notatie:

en de logaritme met grondtal 2 van 16 gelijk is aan 4. Notatie:

Meer algemeen geldt de volgende definitie:

Wanneer we als grondtal e nemen, wordt de uitdrukking y=ln(x) gebruikt. ‘ln’ staat voor logarithmus naturalis.

We hadden ontdekt dat we grootte-ordes van getallen kunnen optellen als equivalent om te vermenigvuldigen. Dat wordt met logaritmes als volgt uitgedrukt:

Het is een algemene uitdrukking van het voorbeeld dat we reeds aanhaalden:

OK. So far so good. Logaritmes zijn dus een ander woord voor grootte-orde, maar wanneer gaan we nu beginnen schuiven met de rekenlat? Wat gebeurt er eigenlijk wanneer we schuiven met een gewone lat? Zoals hieronder afgebeeld kan je door te schuiven met een normale lat een optelling uitvoeren. Hieronder zie een optelling 6+4, je legt de nul-waarde van de tweede lat bij zes, en bij het getal 4 kunnen we aflezen dat de som van 6+4 gelijk is aan tien.

20190228_215126.jpg

Nu komt de aap uit de mouw! In plaats van een gewone schaal op een lat nemen we een logaritmische schaal, waarbij gelijke afstanden overeenkomen met gelijke verhoudingen. Nu zal er waarschijnlijk ergens een belletje rinkelen of zelfs een halve beiaard want dat is ook hoe de frequenties achter de toetsen van de piano werken (Alle piano’s zijn een beetje vals) en ook hoe de versnellingen op een fiets werken (De derailleur dirigeert de dans van tandwielen en trapcadans). Je zou je a fortiori kunnen afvragen of er meer is in het leven dan logaritmes…

Hieronder, op een echte rekenlat, zie je dat alle getallen die zich verhouden met een zelfde factor even ver van mekaar staan. De getallen 2, 4 en 8 liggen op zelfde tussenafstand. Alsook de getallen 1, 3 en 9. Door op de ene lat 1 (dat is voor alle getallen grootte-orde 0) gelijk te leggen met een getal op de andere lat (hier 2), vind je voor alle getallen de vermenigvuldiging met 2. In het voorbeeld hieronder wordt 2 vermenigvuldigd met 3, en wonder boven wonder dat is 6!

sliderule

Een vermenigvuldiging:

wordt dus hocus pocus op een rekenlat een optelling:

Uiteraard kan je nog veel meer met een rekenlat, maar het basis-principe zijn de logaritmische schalen die er voor zorgen dat er zich bij elke schuifbeweging een vermenigvuldiging voltrekt. En zo hebben onze grootvaders zich uren over hun rekenlat gebogen om te rekenen, of dat hebben ze ons tenminste wijsgemaakt…

Googolplexian groeten,

T.E.

 

 

miss slide rule

Geplaatst op door Tijs Essel

Fake nieuws uit het 16de eeuwse Brugge

Het was in 1561 niet de eerste en zeker niet de laatste keer dat het Brugs stadsbestuur met de handen in het haar zat om de vlotte bereikbaarheid van Brugge vanuit de Noordzee voor handelaars te promoten en gaf cartograaf Marcus Gerards de opdracht om een klein wandelingetje te maken met de waarheid. Hij kweet zich van z’n plichten jegens het stadsbestuur en tekende de kaart zo dat de Dampoort dichter van Sluis lag dan van de Grote Markt. In werkelijkheid ligt Sluis een flinke 15 km van Brugge…

old_map_of_bruges_by_marcus_gheeraerts_de_oude_in_1562_01

Ooit moet Brugge een perfecte ligging gehad hebben en perfect bereikbaar geweest zijn voor boten via de Noordzee. Maar de Noordzee is grillig en hervormde veel keren het landschap tussen Brugge en de Noordzee, zodat het voor de Bruggelingen een continue opdracht was om de ontsluiting via de Noordzee te verzekeren. Vele slimme ideeën verzandden letterlijk en omstreeks 1561 was de grootste bloeiperiode van Brugge al een tijdje voorbij ten voordele van Antwerpen en het stadsbestuur had er dus alle belang mee om de overzeese handelaren te overtuigen dat de toegang naar Brugge een ‘piece of cake’ was. Een nieuwe vaart, de Verse Vaart, was gegraven om de toegang tot de zee te verwezelijken en zo Damme en Sluis, en de bijhorende doorvoertaksen, te bypassen. In de opdracht stond letterlijk: ‘ten fine dat men mercken mach de goede navigatie’.

Heeft Marcus Gerard zich zonder verpinken voor de kar van het stadsbestuur laten spannen om deze kaart in verre mate te vervormen? Het lijkt dat z’n beroepseer hem toch noopte om deze cartografische dichterlijke vrijheid in kleine lettertjes te verantwoorden op een cartouche op het plan waarop hij aangeeft dat alles links van een stippellijn (waar de steden Damme en Sluis liggen) ‘vaag en ongedefinieerd’ zijn. De handelaars zullen zich wel een hoedje hebben geschrokken wanneer ze dachten dat ze in Sluis op een kleine boogscheut van Brugge waren. Marcus Gerard had ook gevoel voor humor want op de plattegrond tekende hij naast vele karren en paarden ook een plassende vrouw. Het is een beetje z’n handtekening geworden want ook op andere gravures laat hij een ‘pissende vrouken‘ de revue passeren.

Maar het prachtige stadsplan bracht niet veel zoden aan de dijk en Brugge bleef geplaagd door een slechte bereikbaarheid en de goede ontsluiting via de Noordzee bleef een pijnpunt. Tot het besef kwam dat als de zee niet naar Brugge wil komen, Brugge naar de zee moet gaan en de haven van Zeebrugge werd uitgebouwd. Het Zeebrugge waar onlangs, in de huidige 21ste eeuw, de heer Elon Musk van de firma Tesla z’n elektrische auto’s kwam gadeslagen die daar klaarstaan om verspreid te worden over het Europese achterland. Dan toch goed gedaan van Marcus Gerards, of zou Elon Musk ondertussen andere kaarten hebben? Ik hoop het van wel want anders zouden z’n zelfrijdende auto’s toch wat moeite hebben om Damme of Sluis te vinden.

Vele geheel van fake-nieuws gespeende groeten,

T.E.

P.S. Uiteraard wil ik je de ‘tag’ van Marcus Gerards niet onthouden. Ergens op de plattegrond is onderstaande dame te vinden.

plassend-vrouwtje-small

Geplaatst op door Tijs Essel · 2 reacties

Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen…

We willen uiteraard niet dat het gebouw, waar we ons in vertoeven, als een kaartenhuisje in elkaar stuikt wanneer de aarde aan het schudden gaat, een gebeurtenis die in onze contreien gelukkig eerder zeldzaam is. De wetenschap nodig om gebouwen sterk genoeg te maken is onder andere gebaseerd op de eigenfrequentie van de structuur, en dat is iets waar kleuters en hooligans veel meer over weten dan we denken…

registratie

Een aardbeving is een goed gekozen woord, want een aardbeving is samengesteld uit vele trillingen met een frequentie en een amplitude. Het spreekt vanzelf dat de amplitude een graad is voor de zwaarte van een aardbeving, maar ook de frequentie speelt een grote rol in de manier waarop een gebouw zal reageren. Ondertussen zijn er tal van aardbevingen geregistreerd en weet men welke amplitudes en frequenties kunnen optreden bij aardbevingen, en met gesofisticeerde software kun je zelfs een gebouw virtueel blootstellen aan een reeds opgetreden aardbeving, waarvan de parameters gekend zijn.

We moeten dus een analyse maken van de manier waarop een structuur zal reageren bij dynamische belastingen. Dat is gemakkelijker gezegd dan gedaan, daarom gaan we eens kijken waar we trillingen waarnemen rondom ons. Op dit moment hoor ik bijvoorbeeld de wasmachine vertragen van toerental en als je er goed op let lijken de bewegingen bij een bepaalde lage frequentie veel heviger dan bij een hoger toerental. We stellen dus vast dat een wasmachine een eigenschap heeft, waarbij hij lijkt te willen dansen bij een bepaalde frequentie. Deze frequentie noemen we de eigenfrequentie.

Maar dat moet je niet aan kleuters uitleggen, want die rennen naar een schommel en vinden zonder enig probleem de eigenfrequentie van het systeem. Ook hooligans moet je niet lastigvallen over wiskundige formules betreffende het dynamisch gedrag van een stilstaande interventiewagen. Ze vinden feilloos de eigenfrequentie van het voertuig en weten precies wanneer ze een extra duwtje moeten geven om het ongelukkige voertuig te kapseizen. En dat doen ze trouwens altijd volgens de dwarse en dus zwakke richting van het systeem, zonder dat ze de kwadratische oppervlaktemomenten hebben berekend. Straf toch.

Zoals een wasmachine, een schommel en een voertuig hebben gebouwen ook frequenties waarbij ze gemakkelijker trillen, deze frequenties zijn afhankelijk van de eigenschappen van het gebouw (gebruikte materialen, stijfheid, vorm, hoogte,..). Je kan je wel inbeelden dat voor een hoog regelmatig gebouw het heen en weer bewegen een basisvervorming zal zijn, die hoort bij een bepaalde frequentie. Als de aardbeving net trilt op die basisfrequentie (horende bij de basisvervorming), dan zullen de krachten op het gebouw zeer groot worden (denk maar aan de hooligans die altijd net op het juiste moment een duwtje geven tegen een voertuig) en die zullen aanleiding geven tot grote vervormingen. Dit alles kan leiden tot het bezwijken van het gebouw, zeker wanneer de amplitude (het aantal hooligans in onze analogie) groot is. Je zou kunnen zeggen dat er resonantie is van het gebouw met het trillen van de aarde.

Niet alleen het trillen van de aarde kan resonantie veroorzaken in een constructie. Er bestaat een filmpje van de Tacoma Narrow Bridge waarbij de resonantie werd veroorzaakt door de wind, maar met niet minder fatale gevolgen voor de constructie van de hangbrug. Los van de resonantie een ‘cool’ filmpje om te zien. Maar het bezwijken had dus niets met aardbevingen te maken. En dat is net zo tof aan wetenschap dat je alles wel ergens aan elkaar kunt linken, maar toch niet helemaal.

Wat zorgt er nu voor dat een gebouw tegen een duwtje kan? Vooreerst moet het gebouw goed gefundeerd zijn. Als de grond verzakt tijdens een seismische gebeurtenis, dan zal het gebouw uiteraard mee bewegen. Hoewel het meestal een goed plan is om een gebouw zo stijf en zo sterk mogelijk te ontwerpen, is er toch een iets andere denkwijze nodig in het ontwerp tegen aardbevingen, en dat heeft alles te maken met het dissipatievermogen van het gebouw. Dissi-wat?

De dissipatie is de absorptie van de energie (van de aardbeving) door het plastisch gedrag van het gebouw. In feite is het opnieuw logisch te begrijpen als we het vergelijken met een auto die botst tegen een muur. Als je in die auto zit dan zal je blij zijn dat de auto-ontwerper een kreukelzone heeft voorzien tussen jezelf en de voorkant van de auto (even in de veronderstelling dat je frontaal tegen die muur bent gereden). Die kreukelzone absorbeert de energie van de botsing. En dat willen we ook zoveel mogelijk introduceren in een gebouw.

Hoe meer kreukelzones in het gebouw, hoe groter het dissipatieve vermogen van het gebouw, hoe meer we op ons twee oren kunnen slapen bij een aardschok. En omdat niemand hen zou begrijpen hebben wetenschappers ook hier afkortingen geïntroduceerd… wanneer ze spreken van DCL, DCM of DCH, bedoelen ze dus respectievelijk ‘ductility class low’ (geen kreukelzones), ‘ductility class medium’ (kreukelzones) en je raadt het al DCH is ‘ductility class high’, wat staat voor een gebouw met een zeer groot dissipatief vermogen. Het verfrommelt serieus maar het kan wel tegen een duw zonder in te storten.

Iedereen doet er eigenlijk goed aan om bij een botsing zoveel mogelijk zich te gedragen als een kreukelzone. Zo stappen ladderzatte passagiers, die zich gedragen als een zak patatten, soms zonder kleerscheuren uit een auto, terwijl de meer nuchtere reisgezellen, die zich schrap hebben gezet (verhoogde stijfheid), meerdere breuken oplopen.

Mijn welgemeende excuses mocht ik hiermee mensen op bizarre ideeën hebben gebracht, maar het is gewoon toegepaste wetenschap!

Dissipatieve groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Hoe sterk is een biljet van 10 euro?

Hoe harder je trekt hoe langer het wordt … en hoe harder je duwt hoe korter het wordt. Dit lijkt niet meteen de meest spectaculaire wetenschappelijke vondst en het lijkt ook niet meteen iets wonderlijk of ingewikkeld, maar het is toch het grondbeginsel waar een bouwkundig ingenieur dag in dag uit mee aan de slag gaat. 

In het latijn klinkt het natuurlijk iets ‘spannender’ : ‘Ut tensio sic vis’. Zo de rek, zo de kracht. Ook wel gekend als de wet van Hooke. Maar het is eigenlijk niet echt een wet, zoals de wetten van Newton, maar meer een materiaalvergelijking die slechts beperkt opgaat. Want als je te hard trekt, dan weet iedereen dat het vroeg of laat breekt. Het ene materiaal al sneller dan het andere, maar zelfs de beste rekker begeeft het op een gegeven moment.

Het is een wetmatigheid dat voor quasi alle materialen opgaat. De mate waarin iets verlengt zal uiteraard afhankelijk zijn van het materiaal, zo is het duidelijk dat een rekker gemakkelijker zal uitrekken dan een stalen lat. Maar dat het materiaal zal verlengen staat buiten kijf. Dat gaat ook op voor je eigen lichaam, dat belast je ook door rechtop te lopen. Daarom ben je ’s morgens ook altijd langer dan ’s avonds. ’s Avonds ben je moe, versleten en dus ook een beetje korter…

De stijfheid van een bepaalde constructie is de moeilijkheid om het te verlengen of meer algemeen te vervormen. De stijfheid is afhankelijk van het gebruikte materiaal en ook afhankelijk van de vorm. Hier dringt zich uiteraard een klein voorbeeldje op. Stel dat je wil bungee-jumpen. Dan zijn er twee dingen waar je je zorgen over maakt: zal de schok niet te groot zijn en zal de rekker het houden. Een lage stijfheid zal ervoor zorgen dat er voldoende vervorming mogelijk is: dus het materiaal elastiek is goed gekozen. Maar of de rekker het zal houden is ook afhankelijk van de dikte van de rekker: geen zinnig mens wil van de brug springen aan een elastiekje waarmee je je brooddoos dichthoudt.

Over zinnige mensen gesproken… Er is een verhaal van een bepaald persoon die geen rekening gehouden had met de wet van Hooke. Hij wou een bungee-sprong doen van een 20 m hoge brug en deed netjes z’n huiswerk en zocht een bungee-rekker die een paar meter korter was dan 20 m zodat hij met een gerust gemoed… te pletter viel, want hij had geen rekening gehouden met de verlenging van het koord. Het leverde hem in 1999 de Darwin Award op, een cynische eer die wordt gegeven aan mensen die “bijdragen” aan de menselijke evolutie door zichzelf op een domme manier te laten verongelukken waardoor hun genen verwijderd worden uit de genenpoel der mensheid.

Even terug naar de bouwkunde, waar alles min of meer draait rond deze materiaalvergelijking. Het lijkt een simpel gegeven, je zou je zelfs afvragen waarom er zoveel jaar nodig is om een bouwkundig ingenieur te worden als het enige dat je moet weten is dat iets meer verlengt als je er harder aan trekt. Dat komt omdat dat verlengen en verkorten in een constructie overal anders is. Zelfs bij een eenvoudige constructie zoals een plank over een grachtje heb je bovenaan materiaal dat verkort en onderaan materiaal dat verlengt, zodat de plank gaat buigen. Dus je kan trekken en duwen tezamen hebben in een doorsnede. Omdat dat zoveel voorkomt hebben bouwkundigen het trekken en duwen ‘buigend moment’ genoemd.

De weerstand van een constructie om te buigen is de buigstijfheid, en die kom je in veel formules die de doorbuiging berekenen tegen als ‘EI’, waarbij E staat voor de stijfheid van het materiaal en I voor de vorm van de doorsnede. Zonder verder dieper in te gaan op onderstaande tabel, moet je je ogen maar eens laten glijden over alle EI-buigstijfheden die in de formules staan…beam-formulas-2-638

Het is dus de opdracht van een bouwkundig ingenieur om een constructie ‘slim te ontwerpen’ om de wet van Hooke te slim af te zijn. We willen een constructie ontwerpen waarin de spanningen, en dus vervormingen zo klein mogelijk blijven. Als een lat niet mag buigen, is het evident dat je de lat niet plat houdt, maar recht. Dat wil zeggen dat we sterkere constructies kunnen maken door balken recht te zetten en niet plat…

Om af te sluiten heb ik een klein experimentje opgezet om een biljet van 10 euro sterker te maken door een slim ontwerp. Wanneer we een biljet opleggen tussen twee bierpotten blijkt dat het gewicht van een stuk van 2 euro al veel te zwaar is en dat de ‘constructie’ bezwijkt.

Nu is het de bedoeling om door te spelen met de vorm van de doorsnede de constructie zo sterk mogelijk te maken. Ik heb ervoor gekozen om het biljet te op te vouwen als een accordeon om zo de stijfheid te verhogen, zo probeer ik om het platte briefje zoveel mogelijk te laten werken als balkjes …

Zou de nieuwe constructie nu het 2 euro stuk wel kunnen dragen?

 

 

 

 

 

 

 

 

Of zou het zelfs nog iets zwaarder kunnen dragen?

 

 

 

 

 

 

 

Wie zal het zeggen?

 

 

 

 

 

 

Het is uiteindelijk maar papier hé…

 

 

 

 

 

 

Maar wel geplooid door een bouwkundig ingenieur…

 

 

 

 

 

 

Tja… wat kent die van plooien?

 

 

 

 

 

 

Hier komt het:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tadaa!

We kunnen een volledige volle bierpot dragen met het briefje van 10 euro! Dat wil zeggen dat we met een slim ontwerp dus wel degelijk het verschil kunnen maken…

Dus toch iets geleerd tijdens mijn jaren opleiding bouwkundig ingenieur… en nu vlug opdrinken vooraleer de constructie bezwijkt… ook dat heb ik gelukkig geleerd tijdens mijn jaren opleiding!

Bouwkundige groeten,

T.E.

 

20181124_191049

 

 

 

 

 

 

 

 

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?

Ik verwonder me er ook soms over. De complexiteit van de natuur. Bijvoorbeeld de werking van een oog. Dat zit toch ongelofelijk goed in elkaar? Er zijn nogal wat mensen die de analogie maken met een horloge, omdat het zo complex ontworpen lijkt. Een horloge is gemaakt door een horlogemaker… het lijkt wel alsof er een ‘ogenmaker’ aan de slag is geweest om het oog te ontwerpen. Wie weet. Onlangs las ik een andere vergelijking: de natuur als een domme schaakspeler… 

oog Elisabeth

Stel dat je eigenlijk helemaal geen schaker bent. Je weet wel dat je pionnetjes kan verzetten maar voor de rest weet je amper wat je met paarden, torens en lopers kan doen. Het is belangrijk in dit gedachtenexperiment dat je er tijdens een schaakpartijtje echt niets van bakt en dat je zelfs niet weet hoe je de stukken mag verzetten.

Goed, stel je nu voor dat je mag schaken op een heel speciale manier, namelijk dat je miljarden zetten mag proberen en dat alleen maar de beste zet onthouden wordt. Uiteraard heb je heel veel zetten gedaan die je niet mag zetten en miljoenen zetten gedaan die dom zijn, maar ergens heb je toevallig die ene slimme zet gedaan. Door stom toeval.

Bij de volgende zet mag je opnieuw zoveel proberen als je maar wil. Miljarden zetten mag je doen, zo je wil. En ja hoor, één zet zal een werkelijk slimme zet zijn. Ook al besef je uiteraard niet waarom en weet je zelfs amper dat je aan het schaken bent. Die ene zet is een uitermate uitgekiende en briljante zet.

Zo gaat het door en door en ook al snap je er minder en minder van, je hebt zeeën van tijd en je mag telkens weer miljard keren opnieuw proberen. Time is on your side en telkens opnieuw krijg je quasi oneindig veel kansen om de volgende briljante zet uit je mouw te schudden.

Als we nu het schaakspel zet voor zet zouden tonen aan een grootmeester in het schaken, dan zou die verbaasd zijn en er werkelijk van overtuigd zijn dat de tegenspeler een werkelijk zeer hoogbegaafd genie is in het schaken. Zoals een ‘horlogemaker’ of een ‘ogenmaker’, de grootmeester zou z’n meerdere in de onbekende tegenspeler moeten erkennen.

Uiteraard ben jij de natuur in dit verhaal, en alle slechte zetten zijn alle mutaties, alle probeersels, alle variaties die tot niets hebben geleid. Ze zijn verdwenen in de dikke mist van de tijd en hebben geen nageslacht. En die slimme zetten die je heel af toe hebt gezet, die zijn gebleven. Kijk maar in de spiegel.

Ogenschijnlijk intelligente groeten,

T.E.

 

Geplaatst op door Tijs Essel

Aardrotatie is equivalent aan biefstuk of courgette

Ik zag deze morgen de weegschaal in de badkamer en ging er bijna opstaan, maar toen vroeg ik me plots af wat mijn gewicht zou zijn zonder de aardrotatie? Die zal zeker meer zijn, maar hoeveel meer?

Op de noordpool zijn er geen krachten afkomstig van de aardrotatie omdat we daar enkel rond onze as draaien, dus wegen we ons op de noordpool dan zal de weegschaal netjes ons gewicht geven. Nemen we onze weegschaal echter mee naar de evenaar (er even van uitgegaan dat je daar geen weegschaal kunt kopen) dan ondervinden we de middelpuntvliedende (ook wel in de volksmond gekend als ‘middelpuntvliegende’) kracht van de aardrotatie. En dan zullen we minder wegen.

Hoeveel minder? Dan moeten we toch alweer de formule van de middelpuntvliedende kracht erbij nemen. De kracht is functie van de massa, de snelheid en de straal van de cirkel:

Aangezien we op de evenaar de aardomtrek afleggen per dag hebben we een snelheid van 40.000 km/dag. Uitgedrukt in meter per seconde is dit: 463 m/s. Dat is een behoorlijke snelheid die overeenkomt met zo’n 1286 km/u, dat is toch niet direct een slakkengangetje, want sneller dan de geluidsnelheid. Aangezien de straal van de aarde 6371 km bedraagt weten we welke middelpuntvliedende kracht op ons inwerkt, er even van uitgegaan dat we een massa hebben van 100 kg:

Uiteraard uitgedrukt in Newton, want we spreken over gewicht en niet over massa. Die 3 Newton is natuurlijk peanuts vergeleken met de invloed van de zwaartekracht, want de zwaartekracht trekt met een kracht F=mg aan ons in de tegengestelde richting.

Met een valversnelling van 9,81 m/s² en een massa van 100 kg is dit een kracht van 981 N.

3,365 N is afgerond ongeveer 0,3 % van 981 N. Een massa van 300 g (een flink biefstuk) zal dus ongeveer evenveel zwaartekracht van de aarde ondervinden als de middelpuntvliedende kracht op een massa van 100 kg.

Dit brengt ons naadloos tot de wetenschappelijke stelling dat de aardrotatie equivalent op ons inwerkt als de zwaartekracht inwerkt op een biefstuk (dat 0,3 % van ons gewicht bedraagt). Voor de vegetariërs kunnen we het biefstuk perfect vervangen door een courgette.

Gewichtige groeten,

T.E.

centrifugal_vectors

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

De derailleur dirigeert de dans van tandwielen en trapcadans

Wanneer er een belangrijke wielerwedstrijd is, zoals het WK, wil ik ook altijd met een zeker fietsgevoel voor de tv zitten en daarom ga ik in de voormiddag meestal een toertje doen. Omdat ik onlangs een beugel heb geïnstalleerd om m’n fiets omhoog te hangen (dat hoort zo in een georganiseerde garage), keek ik net voor ik m’n fiets van de haak haalde recht naar de derailleur: een knap staaltje techniek dat ervoor zorgt dat je in een comfortabele cadans kan rijden. Wind tegen, bergop, met de wind mee of bergaf. Altijd het juiste verzet.

cassette

Het woord derailleur is onlosmakelijk verbonden met de fiets, niemand zal zeggen dat hij miserie heeft met de derailleur van z’n auto. Het woord ‘derailleur’ klinkt ook net alsof je een ketting hoort rollen over tandjes. En als je het woord ‘derailleur’ laat vallen lijkt het direct of je een ervaren rot in het wielrennen bent. Het komt uit de tijd dat het Frans nog de lingua franca was in het fietswereldje, en als ik menig fietshersteller of de televisiecommentator hoor is dat nog steeds zo. Zo rem je met je ‘frein’ en als je op de borduur rijdt moet je opletten voor je ‘janten’. En ‘coureurs’ die ‘demarreren’ uit het peloton moeten opletten dat ze geen ‘chasse patate’ doen. Alhoewel, ik ben niet helemaal zeker of Voltaire deze uitdrukking frequenteerde.

‘Een tandje bijsteken’ is een wijdverbreide uitdrukking die gebruikt wordt wanneer er nog net dat ietsje inspanning meer nodig is of gevraagd wordt. Om dat tandje bij te steken heb je een derailleur nodig, en ironisch genoeg maak je het jezelf gemakkelijker wanneer je achteraan een tandje bijsteekt en het spreekwoord preciseert niet de ligging van het tandwiel. Dringend tijd om eens na te gaan hoe dat nu juist zit. De bedoeling is dat je met je pedalen een aangename trapfrequentie kan trappen, bv. 90 RPM (rounds per minute).

Het verzet is de afstand die je aflegt met één trapomwenteling, dus bergop en tegen wind hebben we een klein verzet nodig en wind achter of bergaf hebben we een groot verzet van doen. Wanneer we vooraan en achteraan evenveel tandwielen hebben dan is het verzet gelijk aan één wielomtrek. Bij een normale koersfiets is dat 2,1 m. Het aantal tandwielen voor en achter maakt niet uit, enkel de verhouding van beide. Daar voelen we inderdaad al een formule opkomen. Als we vooraan dubbel zoveel tandjes hebben als achteraan, dan zal het achterwiel 2 keer moeten draaien bij één predaalomwenteling. In dat geval is het verzet het dubbele van de wielomtrek, dus 4,2 m. Algemeen kan men dus stellen dat:

Ik heb zonet tandjes zitten tellen op de tandwielen van mijn koersfiets en mijn grootste verzet wordt bepaald door het grootste tandwiel voor (53) en het kleinste achter (12):

Als je dat verzet ronddraait met een trapfrequentie van 100 RPM dan heb je (in theorie) het werelduurrecord van sir Bradly Wiggins (54,526 km) gebroken, als je die snelheid tenminste één uur zou volhouden.

Wiggins reed trouwens z’n uurrecord met een versnelling 58/14. Verbazend, want dat is een kleiner verzet dan mijn grootste verzet: 58/14 is goed voor een verzet van 8,7 m. Hij zal dus met een trapfrequentie van ca. 105 RPM gereden hebben.

Sir Bradley Wiggins - UCI Hour Record Attempt

Maar er is meer! Want de derailleur zorgt er voor dat je voor en achter kan kiezen uit verschillende tandwielen. Vooraan heb ik twee tandwielen: het grootste heeft 53 tanden en het kleinste heeft er 39. Achteraan heb ik een tandwielcassette met maar liefst 9 tandwielen van groot naar klein: 25-23-21-19-17-15-14-13-12. Mijn kleinste verzet bedraagt dus 39/25 maal mijn wielomtrek wat neerkomt op 3,276m. De verhouding van het grootste en het kleinste verzet wordt het versnellingsbereik genoemd, hier is dit 2,83. Soms wordt dit in procent uitgedrukt: mijn koersfiets heeft een versnellingsbereik van 283% Om een echt groot versnellingsbereik te verwezenlijken heb je 3 tandwielen vooraan nodig,  dan kan je tot 600% gaan.

Ik heb 2×9=18 mogelijke combinaties, maar in realiteit heb ik maar 12 versnellingen omdat een combinatie 53/19 ongeveer hetzelfde verzet geeft als 39/14 zie ook onderstaande tabel, met in het groen de 12 effectieve versnellingen. Het leidt geen twijfel dat het verschil tussen combinaties en versnellingen al meermaals geleid heeft tot hoogoplopende caféruzies en misverstanden. In het genre van: ‘Wat zeg je? Ik heb geen 24 versnellingen? Kijk maar eens naar mijn fiets: 3 vooraan en 8 achteraan! Het kleinste kind kan dat toch zien?’. ‘Ja maar kijk eens naar uw verzet-tabel’. ‘Ik zal eens een verzet-tabel steken…’ Enzovoort, enzovoort…

verzettijs

Als we de verzetten van de 12 versnellingen uitzetten per versnelling dan zien we dat deze geen lineair verloop kennen. Dat is logisch want de verhoudingen tussen de opeenvolgende verzetten moet zo gelijk mogelijk zijn en niet de verschillen in verzet. Tiens, dat doet me denken aan de gelijke ratio tussen de frequenties van gelijke intervallen (zie: Alle piano’s zijn een beetje vals). De verhoudingen zijn hier geen verhoudingen van frequenties, maar verhoudingen van verzetten. De wiskunde achter beide fenomenen is krak hetzelfde.

We zoeken dus de gemiddelde ratio waarmee we 11 keer het kleinste verzet (3,276 m) kunnen vermenigvuldigen om uit te komen bij het grootste verzet (9,275):

Hieruit volgt:

Voor de lol zullen we dit eens uitrekenen met logaritmes (in dit geval met Briggse logaritmes met basis 10, maar dit mogen gerust ook Neperiaanse logaritmes zijn – voor iemand me beschuldigt van favoritisme)  zodat de machtsverheffing een vermenigvuldiging wordt, daarvoor gaan we linker- en rechterlid naar het parallelle universum van de logaritmes sturen:

Hieruit volgt:

En dus is de gemiddelde ratio:

Gemiddeld zal dus iedere versnelling een verzet hebben dat 10% hoger ligt dan de vorige versnelling. Maar het aantal tanden zijn discrete waarden, dus moet er een combinatie gezocht worden die zo dicht mogelijk bij de gemiddelde ratio ligt. Hieronder zijn de verzetten uitgezet ten opzichte van de verzetten bij gelijke ratio. Je kan duidelijk zien dat de ontwerper van mijn versnellingen zijn best gedaan heeft om zo dicht mogelijk aan te sluiten bij de curve van gelijke ratio’s, zodat iedere versnelling aanvoelt als een even zware relatieve verhoging van het verzet. Wat me ook weer doet denken aan de exponentiële constante groei uit: Dromen over het getal e, want we verkrijgen ook hier een exponentiële curve, zie ook onderstaande grafiek.

versnellingentijs

Maar als je het uurrecord wil breken, mag je dit allemaal vergeten, want dan hoef je maar één verzet te voorzien… En trappen maar!

Je zal al snel merken dat Wiggins een ongelofelijke prestatie heeft neergezet… ik probeer alvast bij een volgend fietstochtje eens één minuut de uurrecordsnelheid van Wiggins aan te houden. Ik kan het alleszins al niet meer steken op mijn verzet…

Ik heb door deze vernieuwde inzichten in de werking van mijn derailleur warempel zin gekregen om als de wiedeweerga mij stalen ros te bestijgen!

Sportieve groeten,

T.E.