Wiskunde – De Wondere Wereld

Geplaatst op 14 december 202313 februari 2024 door Tijs Essel

Hoe groot is de kans dat je tijdens 100 jaar een 100-jarige storm meemaakt?

Een 100-jarige storm is een gebeurtenis die gemiddeld gezien één keer om de 100 jaar voorkomt. Is het antwoord op bovenstaande vraag dan niet simpelweg dat je gedurende 100 jaar met zekerheid een 100-jarige storm zal meemaken? Zoals een lezer die enige ervaring heeft met spanningsbogen en retorische vragen in dit soort van teksten al vermoedt, is het antwoord volmondig: nee. Laten we starten met een wonderbaarlijke tocht naar de exacte kans.

Een 100-jarige storm is een storm met een terugkeerperiode van 100 jaar, dat wil zeggen dat ze gemiddeld om de 100 jaar zal plaatsvinden. Na een kortstondige overpeinzing kom je al snel tot het besef dat er een kans bestaat dat een persoon op zijn 100ste verjaardag de 100-jarige storm niet heeft meegemaakt. Men kan zich gemakkelijk inbeelden dat er een 100-jarige storm over het land raasde net voor z’n geboorte en net na z’n 100ste verjaardag. Hieruit kunnen we alvast besluiten dat de kans op het meemaken van een storm al zeker kleiner zal zijn dan 100%. Hiermee hebben we wellicht een open deur ingetrapt.

Er komt een voortschrijdend inzicht dat er ook een kans is dat er zich meerdere stormen kunnen voordoen in 100 jaar. Eentje aan het begin en eentje aan het einde bijvoorbeeld, dat is niet ondenkbeeldig. Weliswaar met kleiner wordende kans kunnen zich, als het geluk wat tegen zit, ook meer dan 2 stormen nestelen in de eeuw die we onder de loep nemen. We komen tot het besef dat we beter moeten definiëren wat we willen berekenen. In feite willen we weten wat de kans is dat er minstens één storm zal plaatsvinden tijdens 100 jaar.

We halen de complementregel van onder het statistische stof. Die regel klinkt veel ingewikkelder dan wat ze is. De complementregel zegt bijvoorbeeld dat het ofwel regent ofwel niet regent, nu we toch bezig zijn met open deuren in te trappen… En de som van beide kansen is 1. Symbolisch uitgeschreven: P(regen) + P(geen regen)=1. Passen we dit toe op de stormkwestie dan is de kans dat er geen storm is samen met de kans dat er minstens één storm is gelijk aan 1. Aldus verkrijgen we volgende uitdrukking voor de kans op minstens één storm:

$P\left(k\geq 1\right)=1-P(k=0)$

De queeste naar het resultaat heeft zich dus herleid tot de zoektocht naar de kans op 0 stormen.

De olifant in de kamer is hier het feit dat we op gelijk welk moment getroffen kunnen worden door de bliksemse toorn van Zeus in ons aardse dal, en dat kunnen we moeilijk linken aan toevalsexperimenten zoals muntjes gooien en dobbelsteen gooien waarmee de gekende paden der probabiliteit geplaveid zijn. We tasten eerst in het duister, en daarna in het duister van onze zak en vinden een muntje en doen toch een verwoede poging om het voorliggende vraagstuk te herleiden tot het opgooien van een muntje.

We zouden bijvoorbeeld een muntje kunnen opwerpen om per eeuwhelft te bepalen of er een 100-jarige storm zal plaatsvinden. Kop is storm. Dus we willen weten hoeveel kans we hebben om enkel munt te gooien en dan nemen we de complement van het zaakje. Aangezien de kans op succes (=kop gooien = storm) per half jaar 1 op 2 is, is de kans op geen succes 1-1/2. Aangezien we de twee halve eeuwen als onafhankelijke gebeurtenissen beschouwen kunnen we de vermenigvuldigingsregel toepassen, met k als het aantal stormen tijdens de beschouwde periode van 100 jaar, en daarna de complementregel om de kans te bepalen op minstens één storm. Resultaat: 75% kans.

P\left(k=0\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}=0,25

P\left(k\geq 1\right)=1-P\left(k=0\right)=1-0,25=0,75

De vreugde om deze eerste benaderende poging wordt echter snel getemperd door het besef dat deze verdienstelijke poging om de vraagstelling op een zeer toegankelijke wijze te benaderen in al z’n eenvoud voorbijgaat aan het feit dat er meerdere stormen in een eeuwhelft kunnen plaatsvinden. Het noopt ons tot nederigheid en reflectie en het mondt uit in louterende verfijning.

Vinden we 50 jaar te ruim? Dan nemen we toch gewoon een kleiner tijdsinterval? Pakweg één jaar. En we passen de kans aan naar 1 op 100, want we verwachten nog altijd om de honderd jaar gemiddeld één storm, statistische wordt dit trouwens ook de verwachtingswaarde genoemd. De kans op een storm per jaar is equivalent met één gooien met een 100-zijdige dobbelsteen (ja die bestaan, zoek maar op). De complementregel en de vermenigvuldigingsregel leert ons gelijkaardig aan de bovenstaande formule voor het opgooien van het muntje dat de kans op minstens één storm gelijk is aan 63,4%, een flinke reductie van onze eerste benadering.

$P\left(k=0\right)=\left(1-\frac{1}{100}\right)^{100}=0,366$

$P\left(k\geq 1\right)=1-P\left(k=0\right)=1-0,366=0,634$

We gaan er prat op dat we flirten met de exacte kans. Tevreden en misschien vreugdevolg zouden we kunnen zijn om deze mooie benadering maar ergens begint het te knagen in de delen van ons brein waar de wiskunde huist en hunkerend naar exactheid beseffen we dat de tijdintervallen nog verder moeten verkleind worden, tot ze oneindig klein zijn. En dan komt de aha-erlebnis want we stoten zowaar op de definitie van de exponentiële functie exp(x) met x=-1. Hier komt plots het getal van Euler als het ware uit de hemel vallen, onverwacht en verrassend en het laat ons achter met enige verbazing… maar het laat ons ook achter met het exacte antwoord!

$P\left(k=0\right)=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=e^{-1}=\frac{1}{e}=0,367879...$

$P\left(k\geq 1\right)=1-P\left(k=0\right)=1-e^{-1}=0,63212...$

Bijgevolg is de kans om tijdens een periode van 100 jaar een 100-jarige storm mee te maken gelijk aan 63,2%. Het wordt iets complexer wanneer we de kans op een exact aantal stormen willen berekenen, want dan gaan we een ommetje moeten maken via de binomiaalverdeling om met zachtheid te landen in de Poissonverdeling, waarin de exponentiële functie oogstrelend figureert. Het zal je ook zeggen hoe groot de kans is dat er een aantal auto’s passeren op een bepaalde plek per tijdsinterval en hoe groot de kans is dat het water in de koffiemachine morgen op is. Als dat niet uit het leven gegrepen is…

Stormachtige 100-jarige groeten

T.E.

Geplaatst op 13 februari 202113 februari 2021 door Tijs Essel · 1 reactie

Oneindig is de hemel van de wiskunde

Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2ⁿ , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3ⁿ , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2^g3^b5^f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.

Geplaatst op 25 oktober 202025 oktober 2020 door Tijs Essel

De middelpuntvliedende kracht is schijn maar het morsen is echt

“Ik heb nog iets waar je over kan schrijven! Als ik deze emmer draai, waarom is het water dan lager in het midden en hoger aan de randen?” Met deze vraag gaf mijn oudste dochter me een aanzet voor dit stukje. Het draaien zorgt inderdaad voor een afbuiging van het wateroppervlak, welk soort oppervlak zou dit zijn? En welke mysterieuze krachten zorgen voor dit gebogen wateroppervlak?

What is the best, modern explanation for the results of Newton's bucket experiment? - Quora

Moest het wateroppervlakte werkelijk perfect horizontaal zijn, dan zouden we leven op een platte schijf. De wetenschappelijke consensus is echter dat de aarde waar wij op aanmodderen min of meer een bol is, ondanks de verbeten pogingen van organisaties als The Flat Earth Society, om ons te overtuigen van het tegendeel. Deze complottheorie woekert als een taaie distel tussen de andere complottheorieën. Het bewijst des te meer dat de wetenschappelijke methode niet ingebakken zit in onze intuïtie en dat niet iedereen ertoe komt om wetenschappelijke argumenten naar waarde te schatten, zichtzelf te overtuigen en desnoods van mening te veranderen. Ook religies tonen aan dat de mens zich perfect spiritueel en moreel kan laven aan materie die niet noodzakelijk de uitkomst is van een wetenschappelijk onderbouwd model. De evolutie heeft ons gezegend met het instrument intelligentie, maar we zijn allerminst gezegend met een queeste naar waarheid.

Oeps, dat ging even heel snel van een emmer water naar evolutietheorie… Terug bij de les! Een lokaal systeem van een emmer water ligt op zo’n grote afstand van het zwaartepunt van de aarde dat het oppervlak van stilstaand water als horizontaal mag beschouwd worden. Op elk punt ter wereld geldt dat de inwerkende kracht van de zwaartekracht loodrecht staat op het wateroppervlak, gericht naar het zwaartepunt van de aardbol.

Ik verbaasde me vroeger over de bolvorm van zon, sterren en planeten, maar nu besef ik dat het simpelweg een doorslagje is van de werking van de zwaartekracht. Zoals een waterdruppel in gewichtloze toestand bolvormig is, zo zijn ook de planeten bolvormig. En het wateroppervlak van de aarde is in feite een toestand van gelijke potentiële energie. Zoals we bij het vullen van een emmer niet verwonderd zijn over het horizontale wateroppervlak, hoeven we ook niet verwonderd te zijn dat samenklonterende vloeibare massa in het heelal bolvormig wordt.

Door het draaien wordt de watermassa in een roterende beweging gebracht. En dan komen de woorden ‘middelpuntvliegende’ of ‘middelpuntvliedende’ kracht al gauw op het puntje van onze tong liggen. Maar verrassend genoeg bestaat deze kracht niet echt (dit lijkt wel de start van een complottheorie). Deze kracht lijkt te bestaan, maar in feite gehoorzaamt het fenomeen volgzaam de wetten van Newton. Laat ik als voorbeeld hamerslingeren of kogelslingeren nemen, een leuke sport die ook in anderhalvemeter-tijd probleemloos kan beoefend worden. De eerste wet van Newton stelt dat bij het ontbreken van inwerkende kracht het voorwerp in rechte lijn wil voortbewegen. Dat gebeurt wanneer de atleet het kleinood loslaat. Zonder aardse zwaartekracht en luchtwrijving zou de kogel eeuwig in rechte lijn op de zelfde snelheid door het heelal blijven klieven. Om de kogel voldoende basissnelheid te geven wordt de kogel zo snel mogelijk rondgeslingerd, de kracht in de ketting, die we vroeger de middelpuntvliedende kracht zouden genoemd hebben is in feite de kracht nodig om de kogel te laten afbuigen van z’n rechte lijn, een bocht is immers een versnelling haaks op de richting van de beweging. Dit komt regelrecht uit de tweede wet van Newton: puur een verhaal van inertie, dus. De kracht nodig om een massa m op een cirkelvormige baan met straal r met constante hoeksnelheid ω te houden is:

$F=m\omega ^{2}r$

Uit de bocht vliegen is het verlies aan weerstand om deze inertiekracht tegen te gaan. Bij auto’s wordt deze weerstand veroorzaakt door de wrijvingsweerstand van de wielen op het wegdek. De snelheid v van een voertuig in een bocht is gelijk aan de hoeksnelheid ω vermenigvuldigd met de straal r. De inertiekracht wordt herschreven in functie van de snelheid:

$F=\frac{mv ^{2}}{r}$

De bovenstaande formule leert ons dat er 3 oorzaken kunnen zijn om uit de bocht te vliegen. Ten eerste: het verhogen van de massa. Een zware vrachtwagen zal sneller uit de bocht vliegen dan een licht exemplaar. Ten tweede: het toenemen van de snelheid. Hoe sneller je een bocht wil nemen hoe groter de kans op ontsporing, dit effect weegt door want het is een kwadratisch verband. En ten slotte: de straal van de bocht. Hoe kleiner de straal van de bocht hoe groter de kracht. Daarom kan je probleemloos een bocht van een klaverbladknooppunt aan 70 km/u nemen en is het bijna onmogelijk om een klein rond puntje te nemen aan 70 km/u, tenzij je er recht over vlamt.

Wanneer we een waterdruppel beschouwen op het afgebogen wateroppervlak van een roterende emmer dan werkt zowel de horizontale inertiekracht als de zwaartekracht mg in op de beschouwde druppel. Aangezien het wateroppervlak loodrecht staat op de resulterende kracht is de helling dy/dx van het wateroppervlak evenredig is met de afstand x tot aan de rotatie as.

Een wateroppervlak zoeken waarvan de helling in ieder punt is geweten, is wiskundig vertaald een afgeleide functie integreren om de basisfunctie te vinden, hierbij is nog een constante C te bepalen. Dat is normaal want de helling van het wateroppervlak is onafhankelijk van het initiële waterniveau in de emmer, maar het wateroppervlak zelf is dat natuurlijk allerminst. Het besluit is dat het wateroppervlak in de emmer een omwentelingsparaboloïde is.

Meer algemeen zullen horizontale krachten op een watermassa tot gevolg hebben dat het wateroppervlak gebogen wordt. Probeer maar eens een kopje koffie recht te houden in een stevig optrekkende wagen en denk maar aan machtige stormwinden op zee die het wateroppervlak meters hoog de lucht injagen. Maar ook minder spectaculaire pogingen eindigen vaak in gemors. Het wandelen met een kopje koffie van de koffiemachine tot aan je bureau is een proces waarbij het gemiddelde staptempo jammer genoeg flirt met één van de eigenfrequenties van het systeem van een gevuld kopje koffie. Dit betekent dat ook bij het in acht houden van een zekere hoeveelheid voorzichtigheid het systeem toch zeer snel zal leiden tot extreme pieken van vloeistofhoogte. Het initiële niveau laag houden is een slim idee. Andere minder spectaculaire voorzorgsmaatregelen die volgen uit het wetenschappelijk onderzoek zijn niet te snel bewegen en goed kijken naar je koffie… daar hadden we misschien ook zelf kunnen opkomen.

Spilled Coffee: Mathematical Model For Sloshing Beverage Addresses Cup Design, Walking Speed | HuffPost

De enige optie om af te rekenen met klotsende toestanden is het wegnemen van de horizontale kracht. Dit kan door het systeem bovenaan van een scharnier te voorzien. Als we een emmer aan een touw hangen en de emmer nergens tegen laten botsen dan zullen er zich geen horizontale krachten kunnen aangrijpen aan de watermassa. Het scharnier bovenaan is een onderdeel van het systeem dat niet toelaat dat er andere krachten in het systeem kunnen ontstaan dan de trekkracht in het touw, en deze kracht is steeds loodrecht op de emmer. Elke horizontale kracht die inwerkt op het systeem ter hoogte van het scharnier wordt gecompenseerd door de hoek die het systeem inneemt ten opzichte van het scharnier. Doordat er zich op deze manier geen horizontale krachten kunnen ontwikkelen in de watermassa loodrecht op de aslijn van het recipiënt naar het draagscharnier is morsen (quasi) onmogelijk geworden.

Een Spillnot is gebruiksvoorwerp gebaseerd op deze wetenschap. Je zet een kopje koffie op de Spillnot en je draagt alles met het touwtje bovenaan dat dienst doet als scharnier, waardoor er geen horizontale versnellingen ontstaan ter hoogte van het kopje, en bijgevolg geen gemors! Beetje reclame voor zo’n leuk gadget kan geen kwaad hé. Perfect educatief verantwoord en je kan hem altijd komen testen.

Mijn dochter test uitvoerig de Spillnot.

Grote geuten gemorste groeten,

T.E.

Geplaatst op 8 juli 20208 juli 2020 door Tijs Essel · 1 reactie

Waarom testen we niet gewoon iedereen?

Het lijkt een goede ingeving: waarom kunnen we niet gewoon iedereen op Corona testen? Het antwoord is redelijk simpel: er zouden teveel mensen onterecht positief testen. Onterecht? Jazeker: er is immers altijd een kans dat de uitslag van een test verkeerd is, want de test is niet onfeilbaar. Daarom is het enkel relevant om de ‘verdachte’ gevallen uit een risico-groep te testen. En dat kan ook gemakkelijk wiskundig verklaard worden.

We gaan eerst enkele begrippen toelichten die de accuraatheid van een medische test uitdrukken:

De sensitiviteit is de kans op een terecht positieve uitslag. Een positieve uitslag, bij het gegeven dat je besmet bent. Deze kans wordt genoteerd als: P(POS|Covid). Bij de meeste Covid testen ligt dit op ongeveer 71%. Dat is een vrij lage waarde. Dat betekent dat er 30% mensen zijn waarbij de besmetting niet wordt opgemerkt door de test. De zogenoemde vals negatieven.
De specificiteit is de kans op een terechte negatieve uitslag. Een negatieve uitslag, gegeven dat je niet besmet bent, wordt genoteerd als: P(NEG|nietCovid). De specificiteit van de huidige Covid-testen is nog onduidelijk. We kunnen hier optimistisch in zijn en er van uit gaan dat deze 99% bedraagt. Dat wil zeggen dat 1% van de mensen die niet besmet zijn, toch een positief zal testen. Dan zijn dan de vals positieven.
De prevalentie is de kans op besmetting voor een bepaalde populatie, op een bepaald moment. Hierbij dient opgemerkte te worden dat een populatie een totale populatie van een bepaald land kan zijn, maar een populatie kan ook een deelgroep zijn, b.v. alle mensen die koorts hebben, of hoofdpijn hebben of een combinatie. Een groep mensen waarbij de prevalentie dus hoger is dan bij de totale bevolking.

Eerder had ik het theorema van Bayes al eens besproken toen het over de NIPT-test ging (Het theorema van Bayes en de NIPT-test). Toegepast op een Covid-test ziet het theorema van Bayes er als volgt uit:

$P(Covid|POS)=\frac{P(POS|Covid)P(Covid)}{P(POS|Covid)P(Covid)+P(POS|nietCovid)P(nietCovid)}$

De kans op Covid bij een positieve test is de verhouding van de kans op een terecht positief geval (product van sensitiviteit en prevalentie) op de kans op een positief geval bij een gegeven prevalentie. Het theorema van Bayes drukt uit welk gedeelte van alle positieve gevallen terecht is en wat de voorspellende waarde is van de test voor een individuele persoon.

In de onderstaande grafiek is de voorspellende waarde van de test weergegeven in functie van de prevalentie, rekening houdende met een sensitiviteit van 71% en een specificiteit van 99%. Op deze grafiek is duidelijk te zien dat, als we werkelijk iedereen testen bij een prevalentie van 2% (wat we momenteel aannemen voor de totale bevolking), de kans slechts 60% is dat de test terecht is. De aanpak om enkel een risico-groep te testen waarbij de prevalentie hoger ligt stuwt de voorspellende waarde van de test de hoogte in. Bij een prevalentie van 20% (dat wil zeggen een risico-groep waarbij per 100 personen er 20 besmet zijn met het virus) is duidelijk te zien dat de voorspellende waarde stijgt naar 95%.

2020-07-07 07_24_33-corona - Excel

Besluit is alleszins dat het geen enkele zin heeft om met de test die er nu is een gehele bevolking te testen, de meeste mensen behoren immers niet tot een verdachte groep. Uiteraard zijn niet alle parameters exact bekend. Er wordt getest om de prevalentie te meten, en de voorspellende waarde is afhankelijk van die prevalentie. Daarnaast is ook de specificiteit een schatting. Maar een ruwe schatting is in dit geval veel beter dan niets! Het blijft dus een combinatie van wiskunde en gezond verstand.

Waarom testen we niet gewoon iedereen? Daarom dus!

Terecht positieve groeten,

T.E.

Geplaatst op 5 juli 20205 juli 2020 door Tijs Essel

Over structuren en vervormingsenergie

Onlangs kon ik aan de lijve ondervinden dat bepaalde structuren niet ontworpen zijn om sterk of stijf te zijn, maar om zoveel mogelijk energie om te zetten in vervorming. Bepaalde structuren zoals een auto… en energie zoals bij een botsing. Botsen is in feite het omzetten van kinetische energie naar vervormingsenergie. Bij uitbreiding is dit geldig voor alle structuren. De vervormingsenergie is altijd gelijk aan de energie of arbeid (kracht maal vervorming) geleverd door de externe krachten.

Een auto die tegen een muur knalt is iets spectaculairder dan een normaalkracht op een kolom van een structuur, maar in feite is het qua vervormingsenergie helemaal analoog te beschouwen. We kunnen aannemen dat zowel de auto als de kolom een vervormingsgedrag zullen vertonen dat we kunnen benaderen als lineair elastisch gedrag (zie ook: Over structuren en de wet van Hooke). Bij zware botsingen is de kans echter zeer klein dat de auto weer elastisch naar oorspronkelijke toestand gaat, maar bij een lichte ‘bumperkus’ is de vervorming meestal elastisch. Wanneer de vervorming permanent is en de takeldienst dient gebeld te worden dan hebben we een mooi voorbeeld van plastische vervorming.

Hoe weten we nu hoeveel vervormingsenergie er zit opgeslagen in een structuur, bijvoorbeeld in de kolom? Om dit te bepalen gaan we een kracht langzaam toenemend laten aangrijpen op de kolom en bij elke extra verkorting berekenen we de arbeid door deze te vermenigvuldigen met de aangrijpende kracht. Het komt er in feite op neer dat de geleverde arbeid gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek waarin de kracht is weergegeven in functie van de verlenging. Wiskundig gezien levert dit een integraal op, maar wat kennis over de oppervlakte van een driehoek is hier voldoende om tot een uitdrukking te komen van de externe arbeid (U) geleverd op de constructie:

arbeid op kolom $U_{e}=\frac{N\times \Delta L}{2}$

De wet van Hooke heeft het volgende verband tussen verkorting en kracht:

$\Delta L=\frac{N\times L}{EA}$ Door het bovenstaande te substitueren in de uitdrukking van de arbeid kunnen we de de vervormingsenergie in de constructie uitdrukking in functie van de interne krachten:

$U_{e}=U_{i}=\frac{N^{2}L}{2EA}$ Energie is één van de meest fundamentele eenheden in de natuurkunde en een probleem uitdrukken in functie van energie is dan ook een zeer algemene benaderingswijze, waaruit heel veel specifiekere rekenregels voortgekomen zijn. Zeer algemeen gezegd zal een constructie in (stabiel) evenwicht zijn wanneer z’n totale (potentiële) vervormingsenergie een minimum heeft bereikt, zoals ook een bal rolt naar het laagste punt (het lokaal laagste punt). En als we zoeken naar een minimum, dan is het evident dat de partiële afgeleiden niet ver weg zijn…

Ook al is het streven naar minimum potentiële vervormingsenergie een algemeen streven van alle constructies, het zal in veel gevallen niet de meest eenvoudige manier zijn om te komen tot een bevattelijke en handige structurele analyse. De Italiaanse ingenieur Castigliano ontwikkelde een methode om de interne krachten en de doorbuiging te berekenen van elastische systemen. Hij vond dat de verplaatsing in een bepaald punt van een constructie in verband stond met de partieel afgeleide van de vervormingsenergie naar de bijhorende virtuele kracht die werkt in dezelfde richting van de gezochte verplaatsing, wiskundig uitgedrukt ziet dit er als volgt uit:

$\Delta _{i}=\frac{\partial U_{i}}{\partial P_{i}}$ De methode onderzoekt dus hoe de totale vervormingsenergie zal veranderen door de impact van een kracht op een plaats, waar er in het echt helemaal geen externe kracht zal aangrijpen. Dit gegeven maakt dat de hele theorie zich niet zo gemakkelijk laat uitleggen in simpele taal en dat er sprake is van ‘virtuele arbeid’, deze wiskundige wereld staat nogal veraf van de bekistingen en de wapening waar een structureel ingenieur dagelijks mee bezig is. Laat ons nu toch maar even Castigliano toepassen op de bovenstaande uitdrukking van vervormingsenergie:

$\Delta L=\frac{\partial U_{i} }{\partial N}=\frac{\partial }{\partial N}\frac{N^{2}L}{2EA}=\frac{NL}{EA}$ Dat lijkt alvast te kloppen! Het verder in detail uitspitten van deze energiemethode is echter niet mogelijk zonder dat we een heel gamma van formules moeten bovenhalen welke rekening houden met vervormingsenergie door normaalkracht, dwarskracht, buiging en torsie. En algemeen gezien halveert het aantal lezers bij het gebruik van iedere formule…

Het equivalent van een botsing voor een auto is een aardbeving voor een gebouw, waarbij een gebouw op korte tijd zeer grote energie moet absorberen. (zie ook: Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen… ) Zo zal het uiterst belangrijk zijn om te bewaken dat de totale vervormingsenergie die het gebouw kan opnemen voldoende hoog is. Dat kan een geval van leven of dood zijn. Nu we weten dat we de vervormingsenergie gezien kan worden als de oppervlakte onder de spanning-rek-curve is het zeer logisch om te gaan eisen dat er een faalmechanisme moet ontstaan waarbij het staal moet kunnen vloeien en waarbij de ductiliteit (de maximale rek tot breuk, of vervormbaarheid) van het gebruikte staal voldoende hoog moet zijn.

Ook wanneer er geen aardbevingen zijn zal het een groot voordeel zijn wanneer de constructie in grote mate vervormingsenergie kan opslaan vooraleer dat de constructie bezwijkt. Een brug die vervaarlijk begint door te buigen kunnen we nog op tijd ontruimen en ook in een gebouw zal het veiliger blijken wanneer er zich bij overbelasting van bepaalde balken scheuren en overmatige vervorming wordt vastgesteld alvorens zij bezwijken. Daarom is het ook belangrijk dat we een goed zicht hebben op de structuur. cracks-in-beam

Maar scheuren hoeven niet altijd alarmerend te zijn. Er zijn veel oude gebouwen waarbij er een nieuwe evenwichtstoestand is ontstaan door een scheur, zeker bij boogwerking is dit vaak het geval, deze kunnen nog altijd stabiel zijn door het toevoegen van een scharnier (veroorzaakt door de scheur). Dus blinde paniek bij het vaststellen van scheuren is ook niet nodig.

images

Zoals wijzelf ook liever een waarschuwing krijgen dat onze bloeddruk te hoog is, zodat we dit kunnen genezen, zo is het ook een eigenschap van een goed ontwerp dat de constructie de nodige alarmboodschappen kan uitzenden alvorens te bezwijken. En dan is het natuurlijk wel een kwestie van deze signalen niet te negeren.

Virtuele arbeidsgroeten,

T.E.

Geplaatst op 5 juni 202012 juni 2020 door Tijs Essel · 1 reactie

Over structuren en de wet van Hooke

‘Ut tensio sic vis’, zo klinkt de wet van Hooke in het Latijn. Zoals de verlenging is, zo is de kracht. Het drukt uit dat er een evenredigheid is tussen de kracht op een voorwerp en de verlenging. Denk maar aan een veer van een weeghaak. Bij het verdubbelen van de last zal ook de verlenging verdubbelen. De wet van Hooke stipuleert dat alle materialen zich op deze manier gedragen. Een mooie wet, alleen… geen enkel materiaal volgt deze wet!

De wet van Hooke kan men ternauwernood een wet noemen, toch zeker in vergelijking met de quasi algemeen geldende natuurwetten van Newton, z’n eeuwige rivaal. De relatie wordt tegenwoordig echter steeds uitgedrukt als een evenredigheid tussen de spanning (zie Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen) en rek, wat niet de verlenging is maar de relatieve verlenging. Deze begrippen waren nog niet zo vertrouwd in de tijd van Hooke. De wet van Hooke ziet er dan dus als volgt uit: $\varepsilon =\frac{\sigma }{E}$

Maar zoals reeds aangekondigd zijn er geen materialen die zich perfect houden aan deze wet. Alleen al om de simpele reden dat geen enkel materiaal oneindig sterk is. Ieder materiaal heeft z’n specifieke spanning-rek curve maar één ding is zeker: op een zeker moment is er een breuk. Op onderstaande grafiek is het duidelijk dat er bij kleine rekken een lineair gedrag is, dat is het elastisch gebied, maar verder hebben verschillende materialen uiteenlopend gedrag bij oplopende rek, zoals je op onderstaande grafiek kan zien.

Typical-stress-strain-curves-of-polymers-tested-at-different-temperatures-curves-a-c

De rek. Daar moeten we het eerst eens over hebben. Thomas Young deed ooit een vergeefse poging om dit aan de mensheid uit te leggen, jammer genoeg was er geen enkele sterveling op aarde die een jota begreep van wat hij juist bedoelde… “We may express the elasticity of any substance by the weight of a certain column of the same substance, which may be denominated the modulus of its elasticity, and of which the weight is such, that any addition to it would increase it in the same proportion as the weight added would shorten, by its pressure, a portion of the substance of equal diameter.” Toch wordt de elasticiteitsmodulus naar hem genoemd: de Young-modulus.

Hier volgt mijn poging om het bevattelijk uit te leggen: Rek is de mate van relatieve verlenging of verkorting van een materiaal. Wiskundig gezien is een verkorting een negatieve rek, soms wordt ook wel een het begrip stuik gebruikt om een verkorting aan te duiden. De algemene definitie van rek is de verhouding van de verlenging tot de oorspronkelijke lengte:

$\varepsilon =\frac{\Delta L}{L}$

Hieruit volgt dat de rek een dimensieloze eenheid is. Een rek van 1 betekent dat de oorspronkelijke lengte verdubbeld is. Meestal is de relatieve verlenging echter subtieler van aard en wordt de rek uitgedrukt in promille of micron. Soms wordt ook de eenheid ‘S’ (strain) gebruikt om de hoeveelheid rek aan te geven.

De verhouding tussen de spanning en de rek wordt de elasticiteitsmodulus E van een materiaal genoemd, het geeft de weerstand tegen rek aangeeft. Stijve materialen hebben een hoge elasticiteitsmodulus en flexibele materialen een lage. Je kan je zo wel inbeelden dat rubber een zeer lage elasticiteitsmodulus heeft en glas heeft dan weer een hoge elasticiteitsmodulus. Hieronder zie je de de elasticiteitsmodulus (of Young-modulus) uitgezet voor bepaalde materiaalgroepen. In onderstaande grafiek wordt de elasticiteitsmodulus (Young’s Modulus) uitgezet ten opzichte van het soortelijk gewicht van de materialen, zo zie dat grosso modo zwaardere materialen eerder stijver zijn.

Young Modulus

We moeten dus vaststellen dat de wet van Hooke in feite meer een soort van vereenvoudiging is van het gedrag van materialen bij kleine rekken, maar dat de spanning-rek curve tot breuk per materiaal sterk kan verschillen. Glas zal zoals wel bekend plots breken, staal kan behoorlijk vervormen vooraleer er breuk is. Het gedrag van een materiaal na het elastisch gebied wordt het plastisch gebied genoemd. Het punt waarop een materiaal het elastisch gebied verlaat wordt het vloeipunt genoemd. Dat glas plots breekt heeft te maken met het ontbreken van een plastisch deel van de curve, een eigenschap van brosse materialen.

stress strain

En mocht je nu denken dat we vooral sterke en stijve materialen nodig hebben om veilige gebouwen te maken… dan heb je het helemaal mis! En dat heeft dan weer alles te maken met vervormingsenergie. Waarover later uiteraard meer…

Tot breuk uitgerekte groeten,

T.E.

In deze reeks:

Over structuren en de derde wet van Newton

Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen

P.S.

Er wordt in de wandelgangen gefluisterd dat het, mede door het toedoen van de niet aflatende ijver van Newton om de herinnering aan Hooke zoveel mogelijk uit te wissen, geen portretten zijn overgebleven van de arme man. Het portret hieronder is een hedendaagse poging op basis van de overgeleverde geschreven info.

13_Portrait_of_Robert_Hooke

Geplaatst op 8 maart 20208 maart 2020 door Tijs Essel · 1 reactie

Ook voor Coronavirus-data geldt dat een getal meestal begint met het cijfer 1, 2 of 3, de wet van Benford volgend

Als je de lijst van Corona-besmettingen per land overloopt valt het je niet meteen op, maar de meeste getallen beginnen met 1, 2 of 3. En dat is toch bizar, want we hebben toch 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer, met bijhorende kans van 1 op 9 (11%) Klopt niet. En er is meer: bijna alles om ons heen volgt deze wetmatigheid: de kans dat een getal begint met ‘1’ is 30%, de kans op een 9 slechts een kleine 5%. Neem maar de proef op de som en turf de getallen in je krant: je zal zien dat meer dan de helft van de getallen start met 1, 2 of 3. Ik vind dit waanzinnig! Het is de fysische wereld die spartelt in het keurslijf van ons positiestelsel.

2020-03-08 09_29_53-Benford.xlsx - Excel

Ik poneerde dit gisteren bij een vriend en we namen samen de proef op de som: we namen de krant en ik turfde het aantal keer dat een getal met een bepaald cijfer begon. En na enkele pagina’s van De Tijd doorploegd te hebben op zoek naar getallen was het overduidelijk: hoe hoger het cijfer hoe minder kans dat het een startcijfer is. Hieronder de uitslag waaruit overduidelijk blijkt dat de kans op het eerste cijfer niet gelijk verdeeld is.

turven De Tijd

We hebben daarna zowel het aantal inwoners als de oppervlakte van elk land op de zelfde manier geanalyseerd en we komen tot de zelfde verrassende vaststelling dat het cijfer 1 het meest voorkomt of het nu gaat over een aantal inwoners of een oppervlakte. Het maakt zelfs niet uit in welke eenheid de oppervlakte wordt beschouwd vierkante km, vierkante mijl, hectares,… de uitkomst zal eenzelfde beeld geven.

opp inwoners per land - benford

Ook ik vond dat op het eerste zicht verrassend en zelfs verbluffend: hoe is het mogelijk? Het fenomeen blijkt beschreven te zijn door de wet van Benford, en dat is wat wikipedia ons vertelt:

“De wet van Benford beschrijft de frequentieverdeling van het begincijfer van getallen in grote dataverzamelingen waarin een beperkte mate van stochasticiteit optreedt. De wet van Benford werd in 1881 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige en astronoom Simon Newcomb, maar kreeg grote bekendheid door de herontdekking en publicaties in 1938 van Frank Benford, een fysicus die zijn hele leven bij het Amerikaanse bedrijf General Electric heeft gewerkt.”

De wet van Benford drukt op volgende wijze uit wat de kans is op een startcijfer ‘d’:

$p(d)=log(d+1)-log(d)$

Toegepast op het cijfer ‘1’ geeft dit:

$p(1)=log(2)-log(1)=0.301...$

d	1	2	3	4	5	6	7	8	9
kans (%)	30,1	17,6	12,5	9,7	7,9	6,7	5,8	5,1	4,6

Hoe kunnen we dit verklaren? Er lijkt niet echt een eenvoudige wiskundige verklaring te zijn. Wat we wel kunnen aantonen is dat als we een frequentieverdeling beschouwen van de startcijfers die onafhankelijk moet zijn van de gebruikte eenheid, we op een logaritmische frequentieverdeling komen, zoals hierboven beschreven. Concreet wil dat zeggen dat we er van uitgaan dat de eenheid voor bepaalde grootheden geen invloed heeft op het resultaat. Want het is de mens die heeft uitgevonden hoelang een meter is. Daar kan de natuur of de werkelijkheid der dingen zich niets van aantrekken.

Eens je beseft dat het switchen van de ene eenheid naar een andere in feite een vermenigvuldiging is, kan je het fenomeen begrijpen door er een cirkelvormige rekenlat bij te halen. Jammer genoeg heb ik er geen in bezit, maar op een Breitling Navitimer zijn de buitenste rijen getallen die je kan verdraaien ten opzichte van elkaar eigenlijk een rekenlat. Wat kan je daarmee doen? Getallen vermenigvuldigen door te draaien, zie ook: De geheimen van grootvaders rekenlat. Graag breng ik je aandacht op het feit dat meer dan de helft van de cirkel getallen zijn die beginnen met een 1, 2 of 3. Dus hoe meer we willekeurige getallen gaan vermenigvuldigen hoe meer we zullen voldoen aan de wet van Benford. En we moeten hierbij ook opmerken dat we meeste natuurwetten gebaseerd zijn op een vermenigvuldiging, denk maar aan F=ma, de gravitatiewet, wetten van Maxwel,…

Breitling-Navitimer-Rattrapante.--600x406

Een test die je eenvoudig zelf kunt doen is willekeurig gekozen getallen A, B en C vermenigvuldigen op een rekenmachine en turven wat de frequentieverdeling is van uitkomst AxBxC, en na een tijdje zal de wet van Benford zich aan je openbaren: cijfer 1 zal beduidend meer voorkomen dan de andere cijfers.

Geldt de wet voor alle reeksen van getallen? Nee, dat ook weer niet. Om dergelijke verdeling te hebben moeten de gegevens over meerdere grootte-ordes gespreid zijn. Dus de lengtes van personen vallen hier bijvoorbeeld niet onder. Ook een lijst van hoogste bergtoppen niet, maar een lijst van alle bergen op aarde dan weer wel.

Het is contra-intuïtief omdat het het begrip ‘ad random’ een beetje op z’n kop zet. Als je getallen door een computer ad random laat bepalen dan zullen ze niet aan de wet van Benford voldoen. Het zijn dan ook geen werkelijke dingen die gemeten of geteld kunnen worden, maar enkel een getal genomen uit een verzameling van getallen, zoals een lotto-trekking. Als je op een bepaald moment een aantal gegevens moet verzinnen, b.v. facturen of in een wetenschappelijk onderzoek, kan je maar beter zorgen dat deze voldoen aan de wet van Benford. Want je zou niet de eerste fraudeur zijn die tegen de lamp loopt doordat z’n data zo verzonnen is dat alle startcijfers gelijk verdeeld voorkomen.

Tot slot terug naar het Corona-virus. Een prachtig voorbeeld van exponentiële groei in de huidige fase. Zie ook: Dromen over het getal e. Wanneer je een bedrag laat opbrengen op de bank zal het totaal bedrag groeien. Maar om van 100 euro naar 200 euro te groeien moet het bedrag verdubbelen (groei: 50%), maar daarentegen om te groeien van 800 euro naar 900 euro hoeft het bedrag maar te groeien met 12,5%. Daarom blijft het totaalbedrag langer ‘hangen’ tussen 100 en 200 euro en groeit het sneller door van 800 naar 900 euro. Wat we terugvinden in de frequentieverdeling van alle bedragen die op de bank staan, daarvan zal 30% ook starten met een ‘1’ ! Ook voor het aantal Corona-besmettingen is het een verdubbeling om van 1000 naar 2000 besmettingen te gaan, maar slecht een kleine groei om van 8000 naar 9000 besmettingen te gaan. En dat raakt volgens mij de ziel van deze mooie wetmatigheid.

Getallen die de Benford-wet volgen zijn echt en staan met beide voeten in de werkelijkheid.

Het is op dit moment (begin maart 2020) nog koffiedik kijken hoeveel het maximale aantal besmettingen per land zal zijn, maar één ding weten wel wel: het zal voldoen aan de wet van Benford.

En in tijden van onzekerheid, is dit misschien een lichtpuntje.

Benford-verdeelde groeten aan iedereen,

T.E.

Geplaatst op 18 maart 20192 april 2019 door Tijs Essel · 1 reactie

Bladschikken voor gevorderden met de gulden snede

De gulden snede staat al eeuwen bekend als de perfecte esthetische verhouding. Er zijn heel wat gebouwen die volgens deze perfecte ratio gebouwd zijn. De Taj Mahal, het Parthenon, de Notre Dame in Parijs, overal zie je de gulden snede terugkomen. Maar wat wonderlijk is, is dat deze gulden snede ook in de natuur terugkomt. Bij veel planten en bloemen zijn de blaadjes geschikt volgens de gulden hoek, wat het equivalent is voor de gulden snede bij hoeken.

1-NGNon6GsqrUSrzMsF9vrEw

Mijn trans-Alpijnse zus heeft zonet een boek gelezen over de gulden snede: ‘La sezione aurea’. In het Italiaans klinkt dat zoveel mooier dan in het Nederlands, waar ‘gulden’ klinkt alsof het gaat om iets dat wat verguld is en kitsch, en snede is iets wat wij hier vooral associëren met een snee brood of het sneetje kaas dat we erop leggen. Een kitcherige boterham. Weg mystiek.

De gulden snede is de verhouding van twee lijnstukken waarbij het grootste zich verhoudt tot het kleinste, zoals de som van beiden zich verhouden tot het grootste lijnstuk.

$\varphi =\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$
Hieruit volgt de volgende uitdrukking:
$\varphi =1+\frac{1 }{\varphi }$ Beide leden vermenigvuldigen met $\varphi$ geeft de volgende kwadratische vergelijking:
$\varphi ^{2}-\varphi -1=0$
met als positieve oplossing:
$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$
Een benaderende waarde voor de gulden snede is dus 1,618.

Mijn zus was vooral verwonderd over het verband tussen de gulden snede en de fyllotaxis. Dat heb ik toch eens moeten opzoeken, en dat blijkt de schikking van de blaadjes te zijn. Bladschikking blijkt voor planten van primordiaal belang te zijn. De fotosynthese is een proces waarbij licht moet opgevangen worden om koolstofdioxide (ook wel gekend als C02) om te zetten in koolhydraten. Een plant heeft er dus alle belang bij om z’n blaadjes zo te schikken dat ze zoveel mogelijk licht opvangen, en dat met een zo gemakkelijk mogelijke opdracht. In de DNA zou ergens kunnen de volgende opdracht weggeschreven zijn: schik het volgende blaadje onder een hoek $\theta$ van het vorige blaadje.

Wat zou die hoek kunnen zijn? Als we $\theta$ =180° nemen, zien we al snel dat dit helemaal geen goede keuze is, want het derde blad komt boven het eerste blad te liggen. Ook 120° is geen goed idee, want na drie blaadjes ligt het vierde knal op het eerste blaadje, wat uiteraard niet efficiënt is voor de fotosynthese van de plant. We merken dat alle getallen die een gemakkelijke breuk vormen (360°/180°=2 en 360°/120°=3) geen goede oplossing zijn voor de bladschikking. Bij uitbreiding zijn alle rationele getallen vroeg of laat overlappend met vorige geschikte blaadjes. We zoeken dus een getal dat zich zo irrationeel mogelijk gedraagt.

Misschien is $\pi$ een goede keuze? Nee, want 22/7=3,142.. is al een zeer dichte benadering. Dat wil zeggen dat $\pi$ al veel te dicht aan het flirten is met de rationele getallen om bruikbaar te zijn voor een nuttige bladschikking. Dit kan men goed zien als we de enkelvoudige kettingbreuk van $\pi$ uitzetten:
$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{...}}}}}$ Als we de kettingbreuk afbreken bij 7 dan krijgen we de verhouding 22/7. Hele grote getallen zorgen in een kettingbreuk voor een goede benadering met rationele getallen. Zo is 355/113=3.14159292… een zeer goede benadering voor $\pi$ . Dit komt omdat het volgende getal in de kettingbreuk een heel groot getal is: 292.

Als grote getallen in een kettingbreuk leiden tot getallen die zich gemakkelijk laten benaderen door een rationeel getal, kunnen we dus ook omgekeerd zeggen dat een kettingbreuk met kleine getallen zal leiden tot een zeer irrationeel getal. En het meest irrationele getal dat we kunnen bekomen is een kettingbreuk met alleen maar eentjes:
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}=?$
Het zal je niet verwonderen dat deze uitdrukking in deze tekst die handelt over de gulden snede effectief perfect gelijk is aan de gulden snede:
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}=\varphi$

Terug naar de plant met de DNA opdracht: schik de blaadjes volgens de gulden hoek. De gulden hoek wordt uitgedrukt als:
$\frac{360^{\circ}}{\varphi^{2} }\approx 137,5^{\circ}$
Dat is de kleinste hoek van twee hoeken die een volledige cirkel verdelen in twee hoeken volgens de gulden snede: 137,5°+ 222,5°=360° en 222,5/137.5=1,1618…

Hieronder zie je de eerste 5 blaadjes van een plant geschikt volgens de gulden snede, de blaadjes bevinden zich telkens een hoek 137,5° verder van elkaar. Of 222,5° in tegenwijzerzin.

Zo gaat het door en door en we verkrijgen telkens een zo minimale overlap met de vorige blaadjes.

Ook bij de schikking van de zaadjes in een zonnebloem gebeurt iets gelijkaardig. De zaadjes zijn allemaal geschikt volgens de gulden hoek. Dit levert immers de meeste zaadjes op een zo klein mogelijke oppervlak op. Hieronder kan je zien dat een kleine variatie van de hoek al een veel minder gunstige schikking oplevert van de zaadjes. Sunflower-seed-golden-angle-diagram.001.png labimg_870_Sunflower

Als je je nu de bedenking maakt: amai hoe kan dat? Dan moet je maar denken aan het feit dat alle minder gunstige variaties in de natuur met minder gunstige hoeken het niet hebben overleefd ten opzichte van de planten met een gunstigere schikking. Wat we in de natuur vinden is het product van een proces van miljoenen jaren variatie, overerving en selectie. (lees ook: Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?) Je zou het sommige mensen niet aangeven, maar ook die zijn het product van miljoenen jaren van finetuning.

Oh ja en dan hebben we ook nog de wonderbaarlijke Fibonacci getallen: 1,1,2,3,5,8,13,… waarvoor geldt dat het volgende getal telkens de som is van de twee vorige getallen. Er zijn in de natuur ook veel Fibonacci getallen te vinden… Mysterieus van de natuur? Helemaal niet want laten we eens de gulden snede benaderen door de kettingbreuk af te breken dan krijgen we volgende benaderingen:
$1\rightarrow 2\rightarrow\frac{3}{2}(=1,5)\rightarrow\frac{5}{3}(=1,66...)\rightarrow\frac{8}{5}(=1,6)\rightarrow\frac{13}{8}(=1,625)$
Twee opeenvolgende Fibonacci getallen blijken dus een steeds betere benadering van de gulden snede te zijn naarmate we verder gaan in de Fibonacci rij:
$\lim_{n \to \infty }\frac{f_{n+1}}{f_{n}}=\varphi$
De natuur vond immers ook dat, als we dan toch getallen of een verhouding gebruiken in het bladschikken of het zaadschikken, we maar beter Fibonacci getallen kunnen gebruiken.

Je hoeft trouwens niet met de eerste Fibonacci getallen 1 en 1 te starten om uit te komen op de gulden snede. Neem eender welke twee getallen en tel ze samen en maak dan telkens de som van de laatste twee getallen en je komt sowieso altijd uit op de gulden snede. Als je pakweg 37 en 11 neemt zal dit ook een reeks vormen waarvan de verhoudingen op de limiet de gulden snede zijn. Ik heb het niet nagegaan, maar het moet wel gewoon altijd lukken. Dat is niet echt een straf wiskundig bewijs, maar dat laat ik over aan anderen.

Nu ik erover nadenk. Net omdat de gulden snede het meest irrationele getal is dat we kunnen bedenken zal het waarschijnlijk totaal geen streling voor het oor zijn als we twee klanken zouden laten samenklinken waarvan de verhouding van de frequenties gelijk is aan de gulden snede. Want enkel eenvoudige verhoudingen van gehele getallen zijn harmonische tweeklanken. (zie ook: Alle piano’s zijn een beetje vals). Dat is toch wat anders dan je zou verwachten van deze sectio divina, of goddelijke verhouding.

We kunnen besluiten dat de gulden snede hoogstwaarschijnlijk leidt tot het meest irritante, dissonante en valse interval in de hele muziekwereld. Geen idee of dat ook in het boek van mijn zus stond. Ik hoor het wel binnenkort!

Zorgvuldig in het lente-zonlicht geschikte groeten,

T.E.

Geplaatst op 21 februari 20194 maart 2019 door Tijs Essel · 1 reactie

De geheimen van grootvaders rekenlat

Om te rekenen hebben we tegenwoordig rekenmachines en smartphones ter beschikking, maar er is een tijd geweest, nog niet eens zo lang geleden, dat alle bewerkingen met getallen manueel moesten gebeuren. Met pen, papier en veel monnikengeduld geraak je wel ergens, maar in grootvaders tijd hadden ze als hulpmiddel een rekenlat. Ik vroeg me al lang af hoe zo’n ding werkt, en ik heb me er één aangeschaft, ter ontsluiering van z’n geheimen.

20190228_215417

Iedereen heeft wel eens twee kinderen horen bekvechten, waarbij de ene beweert wel duizend knikkers te hebben en waarbij de andere met hoongelach de andere duidelijk maakt dat hij er nog veel meer heeft: wel honderd! Waarbij knikkers inwisselbaar zijn in om het even wat, naargelang het onderwerp van de discussie. Het door elkaar haspelen van grootte-ordes is nu eenmaal hilarisch. Reeds in de lagere school leren we hoeveel nulletjes we moeten bijvoegen om een getal te vermenigvuldigen met honderd of duizend. Mijn dochter geeft me zonder verpinken de antwoorden: om met tien, honderd of duizend te vermenigvuldigen moet je respectievelijk één, twee en drie nulletjes toevoegen aan het getal. Zeer interessant want het vermenigvuldigen met veelvouden van 10 is dus in feite equivalent aan het optellen van nulletjes. We hebben dus van een vermenigvuldiging een optelling gemaakt…

Ik ben me er ter dege van bewust dat het optellen van nulletjes om tienduizend met pakweg een miljoen te vermenigvuldigen niet echt rocket science is, maar de dualiteit tussen optellen en vermenigvuldigen is het principe dat aan de basis ligt van de werking van een rekenlat. Er moet enkel nog een abstractiesausje over en het geheel moet nog wat gekruid worden met een ‘moeilijk woord’, maar het concept zal blijven dat we grootte-ordes van getallen optellen om ze te vermenigvuldigen. De bekvechtende kinderen van daarnet hadden het over grootte-ordes van tien. Honderd. Duizend. Miljoen. Miljard. En ga maar door… Het is duidelijk dat tien een centrale rol speelt in dit geval. De grootte orde van tienduizend is 4 en de grootte orde van een miljoen is 6. Het vermenigvuldigen van tienduizend en een miljoen is dus equivalent aan het optellen van de grootte ordes: 4+6=10.

Het abstractiesausje zullen we opdienen in twee gangen samen met twee vragen. De eerste vraag is: heeft elk getal een grootte orde? Affirmatief! Zoals je 10 kunt verheffen tot de 2de macht om 100 te bekomen, kan je perfect 10 verheffen tot de macht 2,5. Verheffen betekent letterlijk ‘naar een hoger niveau brengen’. Het antwoord op 10 tot de macht 2,5 is trouwens 316,227766… Het gaat alleszins serieus hard als we beginnen met verheffen, 10 tot de macht 80 is een schatting van het totaal aantal atomen in het heelal. We kunnen dus redelijk wat omspannen met 80 grootte-ordes van 10. Het aantal atomen in een mol: grootte-orde 23 (zie ook het stukje: Over een lepeltje, oceanen en moleculen). ‘Googol’ is de aanduiding voor de 100ste macht van 10, daar komt trouwens de naam Google vandaan.

$googol=10^{100}$

Een ‘googolplex’ is 10 tot de macht googol, en we blijven ons wiskundehartje verheffen want een ‘googolplexian’ is dan weer 10 tot de macht googolplex. Letterlijk niet te bevatten want er zijn niet genoeg atomen in het heelal om te voorzien in alle nullen en ik kan dan ook met recht en rede zeggen dat dit ons veel te ver leidt. Als je nog harder wil gaan dan het machtsverheffen, moet je zeker eens zoeken (Googelen bijvoorbeeld) naar het ‘getal van Graham’.

De tweede vraag is: kan een ander getal dan 10 gebruikt worden als het grondtal voor de grootte-orde? En ook hier is het antwoord eveneens positief. Natuurlijk kan je dat. Het binair talstelsel is een mooi voorbeeld, waarbij het grondtal 2 is. (zie ook: Schaakmat voor koning Shirham) Maar waarom het gemakkelijk maken als het ook moeilijk kan? Waarom nemen we niet gewoon het grondtal e? (zie ook: Dromen over het getal e) Hiermee kunnen we zeer goed continue groei wiskundig omschrijven. En in de natuur zijn er nogal wat zaken die volgens dat principe werken, ik denk maar aan de afname van radioactiviteit. Als we e nemen als grondtal dan zal de x-de macht van e de continue 100%-groei weergeven in een tijdspanne x. Maar zoals we alle getallen kunnen uitdrukken als machten van 10 of 2, kunnen we evengoed alle getallen uitdrukken als een macht van e. Uiteraard mag dit niemand ervan weerhouden om nog een ander grondtal te nemen, gewoon om tegen tjok te zijn. (zie ook: De ontplooiing van het verhaal van ‘tegen tjok’ rolmodel Britney Gallivan).

Na deze flexibiliteit naar grootte-orde en naar grondtal, is het dringend tijd voor het kruiden van het geheel met een moeilijk woorden. We hebben steeds gesproken over de grootte-orde van een getal op basis van een grondtal. Zo is de grootte-orde van 1000 op basis van grondtal 10 gelijk aan 3. En is de grootte-orde van 16 op basis van grondtal 2 gelijk aan 4. Vanaf nu gaan we grootte-orde vervangen door ‘logaritme’. Laten we nu bovenstaande voorbeelden nemen dan zeggen we dat de logaritme met grondtal 10 van 1000 gelijk is aan 3. Notatie:

$log_{10}1000=3$

en de logaritme met grondtal 2 van 16 gelijk is aan 4. Notatie:

$log_{2}16=4$

Meer algemeen geldt de volgende definitie:

$y=log_{a}(x)\Leftrightarrow x=a^{y}$

Wanneer we als grondtal e nemen, wordt de uitdrukking y=ln(x) gebruikt. ‘ln’ staat voor logarithmus naturalis.

We hadden ontdekt dat we grootte-ordes van getallen kunnen optellen als equivalent om te vermenigvuldigen. Dat wordt met logaritmes als volgt uitgedrukt:

$log(A)+log(B)=log(AB)$

Het is een algemene uitdrukking van het voorbeeld dat we reeds aanhaalden:

$log_{10}(10^{4})+log_{10}(10^{6})=log_{10}(10^{10})$

$4+6=10$

OK. So far so good. Logaritmes zijn dus een ander woord voor grootte-orde, maar wanneer gaan we nu beginnen schuiven met de rekenlat? Wat gebeurt er eigenlijk wanneer we schuiven met een gewone lat? Zoals hieronder afgebeeld kan je door te schuiven met een normale lat een optelling uitvoeren. Hieronder zie een optelling 6+4, je legt de nul-waarde van de tweede lat bij zes, en bij het getal 4 kunnen we aflezen dat de som van 6+4 gelijk is aan tien.

Nu komt de aap uit de mouw! In plaats van een gewone schaal op een lat nemen we een logaritmische schaal, waarbij gelijke afstanden overeenkomen met gelijke verhoudingen. Nu zal er waarschijnlijk ergens een belletje rinkelen of zelfs een halve beiaard want dat is ook hoe de frequenties achter de toetsen van de piano werken (Alle piano’s zijn een beetje vals) en ook hoe de versnellingen op een fiets werken (De derailleur dirigeert de dans van tandwielen en trapcadans). Je zou je a fortiori kunnen afvragen of er meer is in het leven dan logaritmes…

Hieronder, op een echte rekenlat, zie je dat alle getallen die zich verhouden met een zelfde factor even ver van mekaar staan. De getallen 2, 4 en 8 liggen op zelfde tussenafstand. Alsook de getallen 1, 3 en 9. Door op de ene lat 1 (dat is voor alle getallen grootte-orde 0) gelijk te leggen met een getal op de andere lat (hier 2), vind je voor alle getallen de vermenigvuldiging met 2. In het voorbeeld hieronder wordt 2 vermenigvuldigd met 3, en wonder boven wonder dat is 6!

sliderule

Een vermenigvuldiging:

$2\times 3=6$

wordt dus hocus pocus op een rekenlat een optelling:

$log(2)+log(3)=log(6))$

Uiteraard kan je nog veel meer met een rekenlat, maar het basis-principe zijn de logaritmische schalen die er voor zorgen dat er zich bij elke schuifbeweging een vermenigvuldiging voltrekt. En zo hebben onze grootvaders zich uren over hun rekenlat gebogen om te rekenen, of dat hebben ze ons tenminste wijsgemaakt…

Googolplexian groeten,

T.E.

miss slide rule