Geplaatst op door Tijs Essel

Hoe groot is de kans dat je tijdens 100 jaar een 100-jarige storm meemaakt?

Een 100-jarige storm is een gebeurtenis die gemiddeld gezien één keer om de 100 jaar voorkomt. Is het antwoord op bovenstaande vraag dan niet simpelweg dat je gedurende 100 jaar met zekerheid een 100-jarige storm zal meemaken? Zoals een lezer die enige ervaring heeft met spanningsbogen en retorische vragen in dit soort van teksten al vermoedt, is het antwoord volmondig: nee. Laten we starten met een wonderbaarlijke tocht naar de exacte kans.

Een 100-jarige storm is een storm met een terugkeerperiode van 100 jaar, dat wil zeggen dat ze gemiddeld om de 100 jaar zal plaatsvinden. Na een kortstondige overpeinzing kom je al snel tot het besef dat er een kans bestaat dat een persoon op zijn 100ste verjaardag de 100-jarige storm niet heeft meegemaakt. Men kan zich gemakkelijk inbeelden dat er een 100-jarige storm over het land raasde net voor z’n geboorte en net na z’n 100ste verjaardag. Hieruit kunnen we alvast besluiten dat de kans op het meemaken van een storm al zeker kleiner zal zijn dan 100%. Hiermee hebben we wellicht een open deur ingetrapt.

Er komt een voortschrijdend inzicht dat er ook een kans is dat er zich meerdere stormen kunnen voordoen in 100 jaar. Eentje aan het begin en eentje aan het einde bijvoorbeeld, dat is niet ondenkbeeldig. Weliswaar met kleiner wordende kans kunnen zich, als het geluk wat tegen zit, ook meer dan 2 stormen nestelen in de eeuw die we onder de loep nemen. We komen tot het besef dat we beter moeten definiëren wat we willen berekenen. In feite willen we weten wat de kans is dat er minstens één storm zal plaatsvinden tijdens 100 jaar.

We halen de complementregel van onder het statistische stof. Die regel klinkt veel ingewikkelder dan wat ze is. De complementregel zegt bijvoorbeeld dat het ofwel regent ofwel niet regent, nu we toch bezig zijn met open deuren in te trappen… En de som van beide kansen is 1. Symbolisch uitgeschreven: P(regen) + P(geen regen)=1. Passen we dit toe op de stormkwestie dan is de kans dat er geen storm is samen met de kans dat er minstens één storm is gelijk aan 1. Aldus verkrijgen we volgende uitdrukking voor de kans op minstens één storm:

De queeste naar het resultaat heeft zich dus herleid tot de zoektocht naar de kans op 0 stormen.

De olifant in de kamer is hier het feit dat we op gelijk welk moment getroffen kunnen worden door de bliksemse toorn van Zeus in ons aardse dal, en dat kunnen we moeilijk linken aan toevalsexperimenten zoals muntjes gooien en dobbelsteen gooien waarmee de gekende paden der probabiliteit geplaveid zijn. We tasten eerst in het duister, en daarna in het duister van onze zak en vinden een muntje en doen toch een verwoede poging om het voorliggende vraagstuk te herleiden tot het opgooien van een muntje.

We zouden bijvoorbeeld een muntje kunnen opwerpen om per eeuwhelft te bepalen of er een 100-jarige storm zal plaatsvinden. Kop is storm. Dus we willen weten hoeveel kans we hebben om enkel munt te gooien en dan nemen we de complement van het zaakje. Aangezien de kans op succes (=kop gooien = storm) per half jaar 1 op 2 is, is de kans op geen succes 1-1/2. Aangezien we de twee halve eeuwen als onafhankelijke gebeurtenissen beschouwen kunnen we de vermenigvuldigingsregel toepassen, met k als het aantal stormen tijdens de beschouwde periode van 100 jaar, en daarna de complementregel om de kans te bepalen op minstens één storm. Resultaat: 75% kans.

De vreugde om deze eerste benaderende poging wordt echter snel getemperd door het besef dat deze verdienstelijke poging om de vraagstelling op een zeer toegankelijke wijze te benaderen in al z’n eenvoud voorbijgaat aan het feit dat er meerdere stormen in een eeuwhelft kunnen plaatsvinden. Het noopt ons tot nederigheid en reflectie en het mondt uit in louterende verfijning.

Vinden we 50 jaar te ruim? Dan nemen we toch gewoon een kleiner tijdsinterval? Pakweg één jaar. En we passen de kans aan naar 1 op 100, want we verwachten nog altijd om de honderd jaar gemiddeld één storm, statistische wordt dit trouwens ook de verwachtingswaarde genoemd. De kans op een storm per jaar is equivalent met één gooien met een 100-zijdige dobbelsteen (ja die bestaan, zoek maar op). De complementregel en de vermenigvuldigingsregel leert ons gelijkaardig aan de bovenstaande formule voor het opgooien van het muntje dat de kans op minstens één storm gelijk is aan 63,4%, een flinke reductie van onze eerste benadering.

We gaan er prat op dat we flirten met de exacte kans. Tevreden en misschien vreugdevolg zouden we kunnen zijn om deze mooie benadering maar ergens begint het te knagen in de delen van ons brein waar de wiskunde huist en hunkerend naar exactheid beseffen we dat de tijdintervallen nog verder moeten verkleind worden, tot ze oneindig klein zijn. En dan komt de aha-erlebnis want we stoten zowaar op de definitie van de exponentiële functie exp(x) met x=-1. Hier komt plots het getal van Euler als het ware uit de hemel vallen, onverwacht en verrassend en het laat ons achter met enige verbazing… maar het laat ons ook achter met het exacte antwoord!

Bijgevolg is de kans om tijdens een periode van 100 jaar een 100-jarige storm mee te maken gelijk aan 63,2%. Het wordt iets complexer wanneer we de kans op een exact aantal stormen willen berekenen, want dan gaan we een ommetje moeten maken via de binomiaalverdeling om met zachtheid te landen in de Poissonverdeling, waarin de exponentiële functie oogstrelend figureert. Het zal je ook zeggen hoe groot de kans is dat er een aantal auto’s passeren op een bepaalde plek per tijdsinterval en hoe groot de kans is dat het water in de koffiemachine morgen op is. Als dat niet uit het leven gegrepen is…

Stormachtige 100-jarige groeten

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Kleuren bestaan enkel in ons hoofd

Deze morgen was er een enorm lange rij bij de bakker die me onverwacht wat tijd gaf om rond te kijken. De winterzon wedijverde met het gouden logo van de bakkerij en het viel me op dat, wanneer ik afwisselend met mijn linkeroog en mijn rechteroog keek, het kleur van het logo lichtjes leek te veranderen. En toen besefte ik het weer: kleuren bestaan niet. De prachtige kleurengloed van een zonsondergang, bestaat niet. Korenbloemblauw, appelblauwzeegroen en scharlakenrood: prachtige kleuren, maar ze bestaan enkel in ons hoofd.

Alles om ons heen heeft kleur. We laven ons aan het vele groen tijdens een wandeling in de natuur, dromen weg bij de witte wolken die voorbijdrijven aan de blauwe hemel en in juni bloeien rozenstruiken in de meest prachtige en krachtige kleuren. Ontkennen dat kleuren bestaan is allerminst een geloofwaardig statement op het eerste zicht. Maar ook op het tweede, derde en zoveelste zicht kunnen we alleen maar vaststellen dat de realiteit zich aan onze ogen openbaart via kleuren.

Maar hoe zouden we dan kleuren kunnen definiëren? De evidente manier om deze poging tot een goed eind te brengen is wellicht de kleuren te definiëren via hun golflengte. Slechts een zeer beperkt spectrum van elektromagnetische straling is zichtbaar voor ons. Enkel een handjevol golflengtes tussen de 450 nm (violet) en 700 nm (rood) kunnen we onderscheiden. We zijn stekeblind voor de kortere golflengtes zoals gammastralen, X-stralen, en ultraviolet en we zijn zo blind als een mol voor de langere golflengtes zoals infrarood straling, micro- en radiogolven. De golflengtes die wij als zichtbaar licht zien komen niet toevallig overeen met de golflengtes waarbij het zonlicht het meest intensief is. Dat is handig voor onze zaakjes hier op aarde die het daglicht mogen en moeten zien. Het zou ons evolutionair niet vooruit hebben geholpen mochten we X-stralen of radiogolven kunnen zien, wat niet gezegd kan worden van een rode appel in een groene boom.

Nu de kleuren min of meer netjes gedefinieerd zijn, kunnen we toch niet meer stellen dat deze niet bestaan? O ja, Dat kunnen we zeker! De kleuren zijn enkel een soort legende die onze hersenen gekoppeld hebben aan het strookje zichtbaar licht. Stel dat je op een gegeven dag het genoegen hebt om te kunnen communiceren met intelligent buitenaards leven en je probeert uit te leggen wat kleur is. Je zou kunnen uitleggen dat je gevoelig bent voor elektromagnetische staling tussen 450 nm en 700 nm, maar op geen enkele wijze zou je kunnen uitleggen wat rood, groen of blauw is. Het is volstrekt ontoereikend om rood uit te leggen als elektromagnetische straling van 700 nm, want het intelligent buitenaards leven zou evengoed volledig blind kunnen zijn op deze golflengte of deze golflengte als een compleet andere manier ervaren. We kunnen niet uitleggen wat rood is, en dat is simpelweg omdat kleuren niet bestaan. Rood, blauw en groen zijn enkel sensaties in ons hoofd.

Bij het afspeuren van het heelal beperken we ons al lang niet meer tot het zichtbaar licht, om bepaalde waarnemingen voor te stellen gaan we kleuren koppelen aan bepaalde frequenties die voor ons niet zichtbaar zijn. Zo is er het beeld van de kosmische achtergrondstraling, de nagloed van de oerknal, dit zijn in feite radiogolven die zichtbaar gemaakt worden door middel van een kleurcode. Is dit beeld minder echt dan het beeld dat we in ons hoofd maken van zichtbaar licht? Dat kun je bezwaarlijk stellen. Het is even imaginair als het blauw van de lucht.

De radiogolven van de kosmische achtergrondstraling zichtbaar gemaakt voor onze ogen

Ik wil absoluut niet de pret bederven, maar ook al zouden we kunnen ‘zien’ op alle mogelijke frequenties van elektromagnetische straling, dan nog zouden we enkel de 5% normale materie zien. De rest is donkere energie en donkere materie. Om die te kunnen ‘zien’ gaan we uit een ander vaatje moeten tappen dan simpelweg detectie van elektromagnetische straling. Donkere materie in het heelal is echt een beetje zoals de olifant in de kamer, het overgrote deel van alle massa is donkere materie. Men tast nog altijd in het duister (pun intended) wat de samenstelling van deze materie betreft, maar ik heb in de wandelgangen horen vallen dat neutrino’s er misschien iets mee te maken zouden kunnen hebben…

Het feit dat kleuren niet bestaan ligt misschien aan de basis van het feit ik een liefhebber ben van zwart-wit fotografie. Zwart-wit foto’s geven immers enkel de lichtintensiteit weer, een perfect wetenschappelijk gedefinieerde parameter, zonder zich in te laten met de volstrekt subjectieve en imaginaire wereld van de kleuren. Een zwart-wit foto is in feite veel universeler dan een kleurenfoto. Op het netvlies van onze ogen zitten staafjes en kegeltjes die lichtgevoelig zijn en de lichtintensiteit doorgeven aan onze hersenen. De kegeltjes op ons netvlies zien de wereld in feite ook in zwart-wit, maar doordat er 3 soorten fotoreceptoren zijn op deze kegeltjes, die alledrie werken op een andere golflengte, mixt onze hersenen deze info tot een kleur. Dit kunnen we omdat we volleerde trichromaten zijn.

Een beetje vergelijkbaar met RGB-kleurencode die gebruikt wordt in veel digitale kleurtoepassingen. Alle kleuren worden gedefinieerd als een combinatie van Rood, Groen en Blauw waarbij er 256 gradaties van intensiteit zijn, die met twee hexadecimale symbolen kunnen worden uitgedrukt van 00 (=0) tot FF (=255). Zo is #000000 de code voor zwart en #FFFFFF de code voor wit. Grijstinten zullen telkens bestaan uit 3 zelfde delen zoals #C0C0C0 (zilver), zodat geen enkele kleur de bovenhand neemt. Bijgevolg is de RGB code van rood #FF0000, groen #00FF00 en blauw #0000FF en alle andere kleuren zijn combinaties van deze 3 kleuren.

Maar al deze fijne weetjes over kleurcodes veranderen niets aan het feit dat de fysieke wereld volledig kleurloos is, en dat kleur enkel een truukje is van onze hersenen om wat ‘kleur’ te geven aan de bundel elektromagnetische stralen met golflengtes die wij zien als zichtbaar licht. Laten we echter niet ontgoocheld zijn door deze demystificatie van de kleurenpracht rondom ons heen, maar des te meer bewondering hebben voor het prachtig instrument dat onze hersenen zijn om van golflengtes kleuren te kunnen maken. Ronduit psychedelisch!

En ook al zijn de kleuren van een regenboog slechts een illusie, het is een illusie die we delen met onze medemens en die we samen kunnen koesteren.

Veel groeten in allerlei zichtbare en onzichtbare golflengtes,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Oneindig is de hemel van de wiskunde

Twee evenwijdige rechten zullen mekaar nooit ontmoeten. Dat is de trieste realiteit. “Het waren twee koningskinderen – Zij hadden elkander zo lief- Zij konden bijeen niet komen”. Behalve als ze in oneindig geloven, want daar zullen ze mekaar ontmoeten. “Adieu mijne zuster en broeder – Ik vare naar t’hemelrijk.” Oneindig is dus een beetje als de hemel voor wiskunde. Als we op een open nacht de sterrenhemel bewonderen, overkomt ons ook een gevoel van oneindigheid. We vragen ons af of het heelal oneindig groot zou zijn, zou de fysieke realiteit rondom ons echt oneindig kunnen zijn? Want oneindig is echt wel een heel vreemd beestje met rare eigenschappen, dat bleek al bij een bezoekje aan Hilbert’s oneindige hotel…

David Hilbert was een Duitse wiskundige die de wereld liet kennis maken met z’n hotel met oneindig veel kamers. Het paradoxale aan dit hotel was dat, alhoewel alle kamers volgeboekt waren, men toch steeds een plaatsje vond voor een extra gast. Dat was wel een beetje gedoe, want die ene gast kreeg kamer 1 en de rest moest verhuizen naar de volgende kamer en dat ging vlotjes want er waren dan ook oneindig kamers. Ook toen er een groep van n gasten aankwam werd er plaats gevonden, want dan verhuisde iedereen naar z’n oorspronkelijke kamernummer + n. Alle hotelgasten waren gelukkig met hun nieuwe kamer.

De volgende avond kwam een bus met oneindig veel gasten toe aan het hotel. Ook dit vormde geen probleem. Alle gasten werden gevraagd om te verhuizen naar een kamer met het dubbele kamernummer; zo bleven alle oneven kamers over om de gasten van uit de bus ter herbergen. So far so good. Alle hotelgasten hadden na wat gerommel op de gang uiteindelijk een nieuwe kamer en sliepen als oneindig veel roosjes.

De avond daarna werd het wat drukker. Er kwam niet één bus met oneindig veel gasten het (waarschijnlijk oneindige) parkeerterrein van het hotel oprijden, maar er boden zich oneindig veel bussen aan met telkens oneindig veel gasten aan boord. Wat nu gedaan? Gelukkig was de man aan de receptie koelbloedig. Hij zuchtte even, sloot z’n ogen, dacht even na, en opende ze opnieuw met een lichte glimlach. Hij sommeerde alle gasten nu om te verhuizen van hun kamer n naar kamer 2n , en dan loodste hij de eerste bus met gasten op zitplaats n naar alle kamers 3n , en de volgende bus naar alle machten van 5. En zo ging hij vervolgens alle priemgetallen af, en dat zijn er gelukkig oneindig veel. Zo vond iedereen een unieke kamer, want alle kamers zijn slechts op één manier te ontbinden in priemgetallen, en kon de nacht starten voor alle reizigers die op de oneindige vele bussen zaten en ze droomden oneindig veel dromen.

Tot nu toe hebben we nog maar een glimp opgevangen van dit paradox. Want het hotel kan nog veel lagen van oneindig aan! En daar kwamen ze al aan de volgende avond: oneindig veel ferry’s (f) vol met oneindig veel bussen (b) met uiteraard oneindig veel gasten (g). En ook deze kregen allen een plaats in het hotel in kamer 2g3b5f , het kamernummer voor zitje nr g in bus nr b op ferry nr f. Opnieuw spielerei met de unieke factorisatie met priemgetallen. Slaapwel iedereen en laat ze maar komen de volgende dimensies van oneindig! Hier schiet fantasie (oneindig veel containerschepen vol met oneindig hoog gestapelde ferry’s) en voorstellingvermogen al gauw te kort om het ware gelaat van oneindig te aanschouwen. Het hotel dat volgeboekt was blijkt oneindig veel kamers over te hebben.

Als het heelal echt oneindig is, komen die twee rechten dan effectief ooit elkaar tegen en gelden dan alle eigenschappen van Hilbert’s hotel ook voor het heelal? En nog een confronterende eigenschap heeft te maken met kansberekening, denk maar aan het verhaal van die aap die ooit Hamlet van Shakespeare zal schrijven wanneer hij oneindig lang aan een typemachine zit. Hoe groot is de kans dat er ergens een planeet bestaat die als twee druppels water op de aarde gelijkt? Heel enorm klein? Geen probleem voor een oneindig heelal: het zal toch bestaan. En op die planeet wonen toevallig dezelfde mensen als hier op aarde? Kleine kans? In een oneindig heelal zal het toch bestaan, je kan jezelf tegenkomen. Dat vind ik een zeer speciaal gevolg van een oneindig heelal, het komt er in feite op neer dat als het kan, het ook zal zijn. Als het kan, dan is het. Descartes revisited: ‘ik kan dus ik ben’.

Dat zou ik echt zo verbazingwekkend vinden dat ik het toch maar hou op een eindig heelal. Wat ook bijzonder is want dan bestaat er ergens een getal waarmee we alle, pakweg, elektronen, kunnen tellen. Misschien een waanzinnig groot getal, een onvoorstelbaar krankzinnig groot getal. Maar ook dat is relatief, wat hoe groot dat getal ook is, je kan het in gedachten altijd groter maken. Je kan het getal bij zichzelf optellen. Herhaald optellen is vermenigvuldigen, herhaald vermenigvuldigen is kwadrateren, herhaald kwadrateren wordt een tetratie genoemd. En dit spelletje kan oneindig verder gaan, want ook een tetratie kan je herhalen en ga zo maar door… tot zover je wil! Zo komen we tot duizelingwekkende grote getallen. Er bestaan getallen die niet te vatten zijn zonder dat je een zwart gat zou creëren van je hoofd van alle informatie die bijeen zit. TREE(x) is zo’n functie die naar adem doet happen. TREE(1)=1 en TREE(2)=3, maar TREE(3) is zo kolossaal groot dat er onvoldoende (zichtbaar) heelal is om het weer te kunnen geven. Het is zo waanzinnig groot dat ook wiskundigen onvoldoende adem hebben om de waanzinnige grootte van het getal te benoemen, maar het is zeker niet oneindig!

En dan, dames en heren, zijn we nog verreweg van oneindig. Hoe groot TREE(3) ook is, in vergelijking met oneindig is het quasi nul. Ik zei het al: een heel vreemd beestje.

Oneindig goed, al goed.

TREE(googolplex) groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De puntjes op de i van de wetenschappelijke methode

Willens nillens hebben we onze oren moeten spitsen in de richting van wetenschappers die ons hebben geadviseerd in het nemen van maatregelen tegen de woekerende pandemie. Diezelfde wetenschappers hebben het vertrouwen in hen niet geschaad door op de proppen te komen met een verlossende oplossing in de vorm van een vaccin. Een uitgelezen moment om de loftrompet te steken over deze wetenschappers en meer algemeen over de wetenschappelijke methode die zij hanteren. Tijd om, in deze post-truth-era waarin de eerste beste social-media amateur-commentator overloopt van zelfzekerheid terwijl de experts volop twijfelen, de puntjes van de wetenschappelijke methode nog eens op de i te zetten.

Meer en meer lijkt iedereen over alles z’n mening klaar te hebben. Dat kan een positieve zaak zijn wanneer deze mening enigszins onderbouwd is, maar veelal blijkt de betreffende mening een product van de onderbuik te zijn. Een holle excretie die niet gehinderd werd door enige kennis ter zake. Het wordt nog driester wanneer blijkt dat sommigen zich ook over feiten een mening denken te moeten vormen. Het poneren van een wetenschappelijk feit lijkt tegenwoordig veel van z’n potentieel om een discussie in een definitieve plooi te leggen te zijn verloren, want de miniemste onzekerheid in het bouwwerk der wetenschap wordt naar voor geschoven om dit bouwwerk te laten instorten. Ten onrechte, want die twijfel is juist de cement waarmee de gehele wetenschap is opgebouwd.

Graag wil ik van de gelegenheid gebruik maken om theoretisch natuurkundige Carlo Rovelli te citeren. Hij verwoordt de wetenschappelijke methode uitstekend: “Het wetenschappelijk denken onderzoekt de wereld en overdenkt haar opnieuw, ze verschaft ons steeds betere beelden van de wereld en leert ons om er op doeltreffender wijze over na te denken. De wetenschap is een voortdurende exploratie van vormen van denken. Haar kracht is haar visionaire vermogen om vooropgezette ideeën omver te werpen, om nieuwe gebieden van de werkelijkheid te ontsluiten en om nieuwe en effectievere beelden van de wereld te construeren. De onzekerheid waarin we leven, de onbestendigheid die boven de afgrond zweeft van onze immense onwetendheid, maakt het leven niet zinloos, maar juist zeer waardevol.”

Wat me vooral aanspreekt is het bescheiden karakter van het wetenschappelijk denken over z’n eigen denkbeelden. De wetenschap levert ons geen zekerheden, ook al wordt dit soms graag zo voorgesteld. Ze is niet betrouwbaar omdat ze zekere antwoorden geeft, maar is betrouwbaar omdat ze de beste antwoorden verschaft die we op dit moment hebben. Juist het feit dat ze zelf de kennis voortdurend in twijfel trekt garandeert ons dat de antwoorden die ze geeft de beste zijn die ons ter beschikking zijn. Toen Einstein ontdekte dat de wetten van Newton niet helemaal klopten was dat op geen enkele wijze een blaam voor de wetenschappelijke methode, maar in tegendeel het bewijs dat de wetenschap effectief in staat is om de beste mogelijke antwoorden altijd opnieuw in vraag te stellen, zelfs wanneer deze voortvloeiden uit een monument als Newton, met een theorie die heel lang het beste antwoord was op vragen over zwaartekracht.

Kan de wetenschap alles verklaren? Bijlange niet. Nog niet, maar evengoed misschien zelfs nooit. Maar waarom zouden we niet niet blijven zoeken?

Wetenschap is het beste antwoord. Niet meer. Maar ook niet minder.

De beste groeten, niet meer, maar ook niet minder.

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De middelpuntvliedende kracht is schijn maar het morsen is echt

“Ik heb nog iets waar je over kan schrijven! Als ik deze emmer draai, waarom is het water dan lager in het midden en hoger aan de randen?” Met deze vraag gaf mijn oudste dochter me een aanzet voor dit stukje. Het draaien zorgt inderdaad voor een afbuiging van het wateroppervlak, welk soort oppervlak zou dit zijn? En welke mysterieuze krachten zorgen voor dit gebogen wateroppervlak?

What is the best, modern explanation for the results of Newton's bucket experiment? - Quora

Moest het wateroppervlakte werkelijk perfect horizontaal zijn, dan zouden we leven op een platte schijf. De wetenschappelijke consensus is echter dat de aarde waar wij op aanmodderen min of meer een bol is, ondanks de verbeten pogingen van organisaties als The Flat Earth Society, om ons te overtuigen van het tegendeel. Deze complottheorie woekert als een taaie distel tussen de andere complottheorieën. Het bewijst des te meer dat de wetenschappelijke methode niet ingebakken zit in onze intuïtie en dat niet iedereen ertoe komt om wetenschappelijke argumenten naar waarde te schatten, zichtzelf te overtuigen en desnoods van mening te veranderen. Ook religies tonen aan dat de mens zich perfect spiritueel en moreel kan laven aan materie die niet noodzakelijk de uitkomst is van een wetenschappelijk onderbouwd model. De evolutie heeft ons gezegend met het instrument intelligentie, maar we zijn allerminst gezegend met een queeste naar waarheid.

Oeps, dat ging even heel snel van een emmer water naar evolutietheorie… Terug bij de les! Een lokaal systeem van een emmer water ligt op zo’n grote afstand van het zwaartepunt van de aarde dat het oppervlak van stilstaand water als horizontaal mag beschouwd worden. Op elk punt ter wereld geldt dat de inwerkende kracht van de zwaartekracht loodrecht staat op het wateroppervlak, gericht naar het zwaartepunt van de aardbol.

Ik verbaasde me vroeger over de bolvorm van zon, sterren en planeten, maar nu besef ik dat het simpelweg een doorslagje is van de werking van de zwaartekracht. Zoals een waterdruppel in gewichtloze toestand bolvormig is, zo zijn ook de planeten bolvormig. En het wateroppervlak van de aarde is in feite een toestand van gelijke potentiële energie. Zoals we bij het vullen van een emmer niet verwonderd zijn over het horizontale wateroppervlak, hoeven we ook niet verwonderd te zijn dat samenklonterende vloeibare massa in het heelal bolvormig wordt.

Door het draaien wordt de watermassa in een roterende beweging gebracht. En dan komen de woorden ‘middelpuntvliegende’ of ‘middelpuntvliedende’ kracht al gauw op het puntje van onze tong liggen. Maar verrassend genoeg bestaat deze kracht niet echt (dit lijkt wel de start van een complottheorie). Deze kracht lijkt te bestaan, maar in feite gehoorzaamt het fenomeen volgzaam de wetten van Newton. Laat ik als voorbeeld hamerslingeren of kogelslingeren nemen, een leuke sport die ook in anderhalvemeter-tijd probleemloos kan beoefend worden. De eerste wet van Newton stelt dat bij het ontbreken van inwerkende kracht het voorwerp in rechte lijn wil voortbewegen. Dat gebeurt wanneer de atleet het kleinood loslaat. Zonder aardse zwaartekracht en luchtwrijving zou de kogel eeuwig in rechte lijn op de zelfde snelheid door het heelal blijven klieven. Om de kogel voldoende basissnelheid te geven wordt de kogel zo snel mogelijk rondgeslingerd, de kracht in de ketting, die we vroeger de middelpuntvliedende kracht zouden genoemd hebben is in feite de kracht nodig om de kogel te laten afbuigen van z’n rechte lijn, een bocht is immers een versnelling haaks op de richting van de beweging. Dit komt regelrecht uit de tweede wet van Newton: puur een verhaal van inertie, dus. De kracht nodig om een massa m op een cirkelvormige baan met straal r met constante hoeksnelheid ω te houden is:

Uit de bocht vliegen is het verlies aan weerstand om deze inertiekracht tegen te gaan. Bij auto’s wordt deze weerstand veroorzaakt door de wrijvingsweerstand van de wielen op het wegdek. De snelheid v van een voertuig in een bocht is gelijk aan de hoeksnelheid ω vermenigvuldigd met de straal r. De inertiekracht wordt herschreven in functie van de snelheid:

De bovenstaande formule leert ons dat er 3 oorzaken kunnen zijn om uit de bocht te vliegen. Ten eerste: het verhogen van de massa. Een zware vrachtwagen zal sneller uit de bocht vliegen dan een licht exemplaar. Ten tweede: het toenemen van de snelheid. Hoe sneller je een bocht wil nemen hoe groter de kans op ontsporing, dit effect weegt door want het is een kwadratisch verband. En ten slotte: de straal van de bocht. Hoe kleiner de straal van de bocht hoe groter de kracht. Daarom kan je probleemloos een bocht van een klaverbladknooppunt aan 70 km/u nemen en is het bijna onmogelijk om een klein rond puntje te nemen aan 70 km/u, tenzij je er recht over vlamt.

Wanneer we een waterdruppel beschouwen op het afgebogen wateroppervlak van een roterende emmer dan werkt zowel de horizontale inertiekracht als de zwaartekracht mg in op de beschouwde druppel. Aangezien het wateroppervlak loodrecht staat op de resulterende kracht is de helling dy/dx van het wateroppervlak evenredig is met de afstand x tot aan de rotatie as.

Een wateroppervlak zoeken waarvan de helling in ieder punt is geweten, is wiskundig vertaald een afgeleide functie integreren om de basisfunctie te vinden, hierbij is nog een constante C te bepalen. Dat is normaal want de helling van het wateroppervlak is onafhankelijk van het initiële waterniveau in de emmer, maar het wateroppervlak zelf is dat natuurlijk allerminst. Het besluit is dat het wateroppervlak in de emmer een omwentelingsparaboloïde is.

Meer algemeen zullen horizontale krachten op een watermassa tot gevolg hebben dat het wateroppervlak gebogen wordt. Probeer maar eens een kopje koffie recht te houden in een stevig optrekkende wagen en denk maar aan machtige stormwinden op zee die het wateroppervlak meters hoog de lucht injagen. Maar ook minder spectaculaire pogingen eindigen vaak in gemors. Het wandelen met een kopje koffie van de koffiemachine tot aan je bureau is een proces waarbij het gemiddelde staptempo jammer genoeg flirt met één van de eigenfrequenties van het systeem van een gevuld kopje koffie. Dit betekent dat ook bij het in acht houden van een zekere hoeveelheid voorzichtigheid het systeem toch zeer snel zal leiden tot extreme pieken van vloeistofhoogte. Het initiële niveau laag houden is een slim idee. Andere minder spectaculaire voorzorgsmaatregelen die volgen uit het wetenschappelijk onderzoek zijn niet te snel bewegen en goed kijken naar je koffie… daar hadden we misschien ook zelf kunnen opkomen.

Spilled Coffee: Mathematical Model For Sloshing Beverage Addresses Cup Design, Walking Speed | HuffPost

De enige optie om af te rekenen met klotsende toestanden is het wegnemen van de horizontale kracht. Dit kan door het systeem bovenaan van een scharnier te voorzien. Als we een emmer aan een touw hangen en de emmer nergens tegen laten botsen dan zullen er zich geen horizontale krachten kunnen aangrijpen aan de watermassa. Het scharnier bovenaan is een onderdeel van het systeem dat niet toelaat dat er andere krachten in het systeem kunnen ontstaan dan de trekkracht in het touw, en deze kracht is steeds loodrecht op de emmer. Elke horizontale kracht die inwerkt op het systeem ter hoogte van het scharnier wordt gecompenseerd door de hoek die het systeem inneemt ten opzichte van het scharnier. Doordat er zich op deze manier geen horizontale krachten kunnen ontwikkelen in de watermassa loodrecht op de aslijn van het recipiënt naar het draagscharnier is morsen (quasi) onmogelijk geworden.

Een Spillnot is gebruiksvoorwerp gebaseerd op deze wetenschap. Je zet een kopje koffie op de Spillnot en je draagt alles met het touwtje bovenaan dat dienst doet als scharnier, waardoor er geen horizontale versnellingen ontstaan ter hoogte van het kopje, en bijgevolg geen gemors! Beetje reclame voor zo’n leuk gadget kan geen kwaad hé. Perfect educatief verantwoord en je kan hem altijd komen testen.

Spillnot - B8R07448 | Philip Harris
Mijn dochter test uitvoerig de Spillnot.

Grote geuten gemorste groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Waarom testen we niet gewoon iedereen?

Het lijkt een goede ingeving: waarom kunnen we niet gewoon iedereen op Corona testen? Het antwoord is redelijk simpel: er zouden teveel mensen onterecht positief testen. Onterecht? Jazeker: er is immers altijd een kans dat de uitslag van een test verkeerd is, want de test is niet onfeilbaar. Daarom is het enkel relevant om de ‘verdachte’ gevallen uit een risico-groep te testen. En dat kan ook gemakkelijk wiskundig verklaard worden.

We gaan eerst enkele begrippen toelichten die de accuraatheid van een medische test uitdrukken:

  • De sensitiviteit is de kans op een terecht positieve uitslag. Een positieve uitslag, bij het gegeven dat je besmet bent. Deze kans wordt genoteerd als: P(POS|Covid). Bij de meeste Covid testen ligt dit op ongeveer 71%. Dat is een vrij lage waarde. Dat betekent dat er 30% mensen zijn waarbij de besmetting niet wordt opgemerkt door de test. De zogenoemde vals negatieven.
  • De specificiteit is de kans op een terechte negatieve uitslag. Een negatieve uitslag, gegeven dat je niet besmet bent, wordt genoteerd als: P(NEG|nietCovid). De specificiteit van de huidige Covid-testen is nog onduidelijk. We kunnen hier optimistisch in zijn en er van uit gaan dat deze 99% bedraagt. Dat wil zeggen dat 1% van de mensen die niet besmet zijn, toch een positief zal testen. Dan zijn dan de vals positieven.
  • De prevalentie is de kans op besmetting voor een bepaalde populatie, op een bepaald moment. Hierbij dient opgemerkte te worden dat een populatie een totale populatie van een bepaald land kan zijn, maar een populatie kan ook een deelgroep zijn, b.v. alle mensen die koorts hebben, of hoofdpijn hebben of een combinatie. Een groep mensen waarbij de prevalentie dus hoger is dan bij de totale bevolking.

Eerder had ik het theorema van Bayes al eens besproken toen het over de NIPT-test ging (Het theorema van Bayes en de NIPT-test). Toegepast op een Covid-test ziet het theorema van Bayes er als volgt uit:

De kans op Covid bij een positieve test is de verhouding van de kans op een terecht positief geval (product van sensitiviteit en prevalentie) op de kans op een positief geval bij een gegeven prevalentie. Het theorema van Bayes drukt uit welk gedeelte van alle positieve gevallen terecht is en wat de voorspellende waarde is van de test voor een individuele persoon.

In de onderstaande grafiek is de voorspellende waarde van de test weergegeven in functie van de prevalentie, rekening houdende met een sensitiviteit van 71% en een specificiteit van 99%. Op deze grafiek is duidelijk te zien dat, als we werkelijk iedereen testen bij een prevalentie van 2% (wat we momenteel aannemen voor de totale bevolking), de kans slechts 60% is dat de test terecht is. De aanpak om enkel een risico-groep te testen waarbij de prevalentie hoger ligt stuwt de voorspellende waarde van de test de hoogte in. Bij een prevalentie van 20% (dat wil zeggen een risico-groep waarbij per 100 personen er 20 besmet zijn met het virus) is duidelijk te zien dat de voorspellende waarde stijgt naar 95%.

2020-07-07 07_24_33-corona - Excel

Besluit is alleszins dat het geen enkele zin heeft om met de test die er nu is een gehele bevolking te testen, de meeste mensen behoren immers niet tot een verdachte groep. Uiteraard zijn niet alle parameters exact bekend. Er wordt getest om de prevalentie te meten, en de voorspellende waarde is afhankelijk van die prevalentie. Daarnaast is ook de specificiteit een schatting. Maar een ruwe schatting is in dit geval veel beter dan niets! Het blijft dus een combinatie van wiskunde en gezond verstand.

Waarom testen we niet gewoon iedereen? Daarom dus!

Terecht positieve groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Over structuren en vervormingsenergie

Onlangs kon ik aan de lijve ondervinden dat bepaalde structuren niet ontworpen zijn om sterk of stijf te zijn, maar om zoveel mogelijk energie om te zetten in vervorming. Bepaalde structuren zoals een auto… en energie zoals bij een botsing. Botsen is in feite het omzetten van kinetische energie naar vervormingsenergie. Bij uitbreiding is dit geldig voor alle structuren. De vervormingsenergie is altijd gelijk aan de energie of arbeid (kracht maal vervorming) geleverd door de externe krachten.

Een auto die tegen een muur knalt is iets spectaculairder dan een normaalkracht op een kolom van een structuur, maar in feite is het qua vervormingsenergie helemaal analoog te beschouwen. We kunnen aannemen dat zowel de auto als de kolom een vervormingsgedrag zullen vertonen dat we kunnen benaderen als lineair elastisch gedrag (zie ook: Over structuren en de wet van Hooke). Bij zware botsingen is de kans echter zeer klein dat de auto weer elastisch naar oorspronkelijke toestand gaat, maar bij een lichte ‘bumperkus’ is de vervorming meestal elastisch. Wanneer de vervorming permanent is en de takeldienst dient gebeld te worden dan hebben we een mooi voorbeeld van plastische vervorming.

Hoe weten we nu hoeveel vervormingsenergie er zit opgeslagen in een structuur, bijvoorbeeld in de kolom? Om dit te bepalen gaan we een kracht langzaam toenemend laten aangrijpen op de kolom en bij elke extra verkorting berekenen we de arbeid door deze te vermenigvuldigen met de aangrijpende kracht. Het komt er in feite op neer dat de geleverde arbeid gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek waarin de kracht is weergegeven in functie van de verlenging. Wiskundig gezien levert dit een integraal op, maar wat kennis over de oppervlakte van een driehoek is hier voldoende om tot een uitdrukking te komen van de externe arbeid (U) geleverd op de constructie:

arbeid op kolom

De wet van Hooke heeft het volgende verband tussen verkorting en kracht:

Door het bovenstaande te substitueren in de uitdrukking van de arbeid kunnen we de de vervormingsenergie in de constructie uitdrukking in functie van de interne krachten:

Energie is één van de meest fundamentele eenheden in de natuurkunde en een probleem uitdrukken in functie van energie is dan ook een zeer algemene benaderingswijze, waaruit heel veel specifiekere rekenregels voortgekomen zijn. Zeer algemeen gezegd zal een constructie in (stabiel) evenwicht zijn wanneer z’n totale (potentiële) vervormingsenergie een minimum heeft bereikt,  zoals ook een bal rolt naar het laagste punt (het lokaal laagste punt). En als we zoeken naar een minimum, dan is het evident dat de partiële afgeleiden niet ver weg zijn…

Ook al is het streven naar minimum potentiële vervormingsenergie een algemeen streven van alle constructies, het zal in veel gevallen niet de meest eenvoudige manier zijn om te komen tot een bevattelijke en handige structurele analyse. De Italiaanse ingenieur Castigliano ontwikkelde een methode om de interne krachten en de doorbuiging te berekenen van elastische systemen. Hij vond dat de verplaatsing in een bepaald punt van een constructie in verband stond met de partieel afgeleide van de vervormingsenergie naar de bijhorende virtuele kracht die werkt in dezelfde richting van de gezochte verplaatsing, wiskundig uitgedrukt ziet dit er als volgt uit:

De methode onderzoekt dus hoe de totale vervormingsenergie zal veranderen door de impact van een kracht op een plaats, waar er in het echt helemaal geen externe kracht zal aangrijpen. Dit gegeven maakt dat de hele theorie zich niet zo gemakkelijk laat uitleggen in simpele taal en dat er sprake is van ‘virtuele arbeid’, deze wiskundige wereld staat nogal veraf van de bekistingen en de wapening waar een structureel ingenieur dagelijks mee bezig is. Laat ons nu toch maar even Castigliano toepassen op de bovenstaande uitdrukking van vervormingsenergie:

Dat lijkt alvast te kloppen! Het verder in detail uitspitten van deze energiemethode is echter niet mogelijk zonder dat we een heel gamma van formules moeten bovenhalen welke rekening houden met vervormingsenergie door normaalkracht, dwarskracht, buiging en torsie. En algemeen gezien halveert het aantal lezers bij het gebruik van iedere formule… 

Het equivalent van een botsing voor een auto is een aardbeving voor een gebouw, waarbij een gebouw op korte tijd zeer grote energie moet absorberen. (zie ook: Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen… ) Zo zal het uiterst belangrijk zijn om te bewaken dat de totale vervormingsenergie die het gebouw kan opnemen voldoende hoog is. Dat kan een geval van leven of dood zijn. Nu we weten dat we de vervormingsenergie gezien kan worden als de oppervlakte onder de spanning-rek-curve is het zeer logisch om te gaan eisen dat er een faalmechanisme moet ontstaan waarbij het staal moet kunnen vloeien en waarbij de ductiliteit (de maximale rek tot breuk, of vervormbaarheid) van het gebruikte staal voldoende hoog moet zijn.

Ook wanneer er geen aardbevingen zijn zal het een groot voordeel zijn wanneer de constructie in grote mate vervormingsenergie kan opslaan vooraleer dat de constructie bezwijkt. Een brug die vervaarlijk begint door te buigen kunnen we nog op tijd ontruimen en ook in een gebouw zal het veiliger blijken wanneer er zich bij overbelasting van bepaalde balken scheuren en overmatige vervorming wordt vastgesteld alvorens zij bezwijken. Daarom is het ook belangrijk dat we een goed zicht hebben op de structuur. cracks-in-beam

Maar scheuren hoeven niet altijd alarmerend te zijn. Er zijn veel oude gebouwen waarbij er een nieuwe evenwichtstoestand is ontstaan door een scheur, zeker bij boogwerking is dit vaak het geval, deze kunnen nog altijd stabiel zijn door het toevoegen van een scharnier (veroorzaakt door de scheur). Dus blinde paniek bij het vaststellen van scheuren is ook niet nodig.

images

Zoals wijzelf ook liever een waarschuwing krijgen dat onze bloeddruk te hoog is, zodat we dit kunnen genezen, zo is het ook een eigenschap van een goed ontwerp dat de constructie de nodige alarmboodschappen kan uitzenden alvorens te bezwijken. En dan is het natuurlijk wel een kwestie van deze signalen niet te negeren.

Virtuele arbeidsgroeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Over structuren en de wet van Hooke

‘Ut tensio sic vis’, zo klinkt de wet van Hooke in het Latijn. Zoals de verlenging is, zo is de kracht. Het drukt uit dat er een evenredigheid is tussen de kracht op een voorwerp en de verlenging. Denk maar aan een veer van een weeghaak. Bij het verdubbelen van de last zal ook de verlenging verdubbelen. De wet van Hooke stipuleert dat alle materialen zich op deze manier gedragen. Een mooie wet, alleen… geen enkel materiaal volgt deze wet!

kx-law-Hooke-F-force-length-displacement

De wet van Hooke kan men ternauwernood een wet noemen, toch zeker in vergelijking met de quasi algemeen geldende natuurwetten van Newton, z’n eeuwige rivaal. De relatie wordt tegenwoordig echter steeds uitgedrukt als een evenredigheid tussen de spanning (zie Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen) en rek, wat niet de verlenging is maar de relatieve verlenging. Deze begrippen waren nog niet zo vertrouwd in de tijd van Hooke. De wet van Hooke ziet er dan dus als volgt uit:

Maar zoals reeds aangekondigd zijn er geen materialen die zich perfect houden aan deze wet. Alleen al om de simpele reden dat geen enkel materiaal oneindig sterk is. Ieder materiaal heeft z’n specifieke spanning-rek curve maar één ding is zeker: op een zeker moment is er een breuk. Op onderstaande grafiek is het duidelijk dat er bij kleine rekken een lineair gedrag is, dat is het elastisch gebied, maar verder hebben verschillende materialen uiteenlopend gedrag bij oplopende rek, zoals je op onderstaande grafiek kan zien.

Typical-stress-strain-curves-of-polymers-tested-at-different-temperatures-curves-a-c

De rek. Daar moeten we het eerst eens over hebben. Thomas Young deed ooit een vergeefse poging om dit aan de mensheid uit te leggen, jammer genoeg was er geen enkele sterveling op aarde die een jota begreep van wat hij juist bedoelde… “We may express the elasticity of any substance by the weight of a certain column of the same substance, which may be denominated the modulus of its elasticity, and of which the weight is such, that any addition to it would increase it in the same proportion as the weight added would shorten, by its pressure, a portion of the substance of equal diameter.” Toch wordt de elasticiteitsmodulus naar hem genoemd: de Young-modulus.

Hier volgt mijn poging om het bevattelijk uit te leggen: Rek is de mate van relatieve verlenging of verkorting van een materiaal. Wiskundig gezien is een verkorting een negatieve rek, soms wordt ook wel een het begrip stuik gebruikt om een verkorting aan te duiden. De algemene definitie van rek is de verhouding van de verlenging tot de oorspronkelijke lengte:

Hieruit volgt dat de rek een dimensieloze eenheid is. Een rek van 1 betekent dat de oorspronkelijke lengte verdubbeld is. Meestal is de relatieve verlenging echter subtieler van aard en wordt de rek uitgedrukt in promille of micron. Soms wordt ook de eenheid ‘S’ (strain) gebruikt om de hoeveelheid rek aan te geven.

De verhouding tussen de spanning en de rek wordt de elasticiteitsmodulus E van een materiaal genoemd, het geeft de weerstand tegen rek aangeeft. Stijve materialen hebben een hoge elasticiteitsmodulus en flexibele materialen een lage. Je kan je zo wel inbeelden dat rubber een zeer lage elasticiteitsmodulus heeft en glas heeft dan weer een hoge elasticiteitsmodulus. Hieronder zie je de de elasticiteitsmodulus (of Young-modulus) uitgezet voor bepaalde materiaalgroepen. In onderstaande grafiek wordt de elasticiteitsmodulus (Young’s Modulus) uitgezet ten opzichte van het soortelijk gewicht van de materialen, zo zie dat grosso modo zwaardere materialen eerder stijver zijn.

Young Modulus

We moeten dus vaststellen dat de wet van Hooke in feite meer een soort van vereenvoudiging is van het gedrag van materialen bij kleine rekken, maar dat de spanning-rek curve tot breuk per materiaal sterk kan verschillen. Glas zal zoals wel bekend plots breken, staal kan behoorlijk vervormen vooraleer er breuk is. Het gedrag van een materiaal na het elastisch gebied wordt het plastisch gebied genoemd. Het punt waarop een materiaal het elastisch gebied verlaat wordt het vloeipunt genoemd. Dat glas plots breekt heeft te maken met het ontbreken van een plastisch deel van de curve, een eigenschap van brosse materialen.

stress strain

En mocht je nu denken dat we vooral sterke en stijve materialen nodig hebben om veilige gebouwen te maken… dan heb je het helemaal mis! En dat heeft dan weer alles te maken met vervormingsenergie. Waarover later uiteraard meer…

Tot breuk uitgerekte groeten,

T.E.

In deze reeks:

Over structuren en de derde wet van Newton

Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen

P.S.

Er wordt in de wandelgangen gefluisterd dat het, mede door het toedoen van de niet aflatende ijver van Newton om de herinnering aan Hooke zoveel mogelijk uit te wissen, geen portretten zijn overgebleven van de arme man. Het portret hieronder is een hedendaagse poging op basis van de overgeleverde geschreven info.

 

13_Portrait_of_Robert_Hooke

Geplaatst op door Tijs Essel · 1 reactie

Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen

Er wordt niet enkel in wetenschappelijke kringen over spanning gesproken. Spanningen kunnen hoog oplopen tussen mensen of landen. Een boek kan spannend zijn. Ons dagelijks leven zit uiteraard ook vol stress (of spanning). We geven aan dat het een toestand is die in extremis kan leiden tot ruzie, oorlog, ontknoping of een zenuwinzinking… Een zwaar belastende job geeft je veel stress. De analogie voor materialen is zeer gelijklopend: een zwaar belast materiaal zal onder hoge spanning staan, totdat de spanning te hoog oploopt en het materiaal bezwijkt.

main-qimg-11a13227b43cff2cde6b30cc92816448

Als voorproefje voor dit schrijven had ik verkondigd dat krachten niet bestaan in realiteit (Over structuren en de derde wet van Newton), dat zal ik hier zeker niet ontkrachten, wel toelichten. Krachten bestaan niet in de zin dat een krachtvector een wiskundige constructie is zoals een rechte of een lijnstuk en daardoor geen breedte heeft en daarmee moeilijk verzoenbaar is met de werkelijkheid die zich in alle ruimtelijkheid voor ons ontplooit. In deze werkelijkheid is de spanning die optreedt in materialen een veel betere maatstaf van de toestand van een materiaal dan kracht. Bouwkundigen zullen daarom aan het einde van het verhaal vooral geïnteresseerd zijn in de spanningen die heersen in de materialen waarin constructies zijn opgebouwd, deze spanningen worden gedefinieerd als de kracht per oppervlakte:

stress_pic2

De Griekse kleine letter sigma wordt in de sterkteleer meestal als symbool gebruikt voor spanning en deze wordt uitgedrukt in Newton per vierkante meter (N/m²), algemene spanningen in de natuurkunde worden veelal uitgedrukt met het symbool p (pressure). De eenheid van spanning is pascal (Pa) waarbij 1 Pa = 1 N/ m². Deze eenheden maken deel uit van de uniforme internationale standaardeenheden (het SI-stelsel), en het pleit zeer voor de wereldwijde samenwerking van wetenschappers dat bijna alle landen diezelfde eenheden gebruiken. Het zou werkelijk onhandig zijn als bepaalde landen spanning in pakweg pond per vierkante duim zouden uitdrukken. Het is dan in het licht van de uniformisering betreurenswaardig dat we nota bene de Verenigde Staten van Amerika terug vinden in het rijtje van landen, naast Myanmar en Liberia, die niet officieel het SI-stelsel hebben ingevoerd. Dat maakt overigens dat bouwkundige naslagwerken (en ik vermoed bij uitbreiding veel wetenschappelijke boeken) uit de VS quasi waardeloos zijn in de rest van de wereld en de ontgoocheling is dan ook groot wanneer een aangekocht boek in deze middeleeuwse eenheden blijkt opgesteld te zijn. Voor degenen die toch de omrekening willen doen: 1 psi = ca. 6895 Pa, waarbij psi staat voor ‘pounds per square inch’.

psi kPa

Maar laten wij ons niet al te zeer verkneukelen in deze trans-Atlantische bizariteit. Wanneer wij spreken over een bloeddruk die 14 over 7 is dan spreken wij ook helemaal niet in pascal of N/m², maar hebben we het over kwikdruk in cmHg. Het was gebruikelijk om de luchtdruk te meten met behulp van een kolom kwik, de normale atmosferische luchtdruk bedraagt zo’n 760 mmHg. Kwik is veel zwaarder dan andere vloeistoffen, en daarom handiger qua formaat, zo is het historisch gegroeid dat mmHg de eenheid voor bloeddruk is geworden en 1 mmHg is trouwens gelijk aan ca. 133,322 Pa. De schaal is nu zo ingeburgerd dat het standaard is om lichaamsvloeistoffen uit te drukken in mmHg, voor alle andere toepassingen is het SI-stelsel de standaard. Een normale bloeddruk van 120 mmHg komt overeen met een druk van 16 kPa.

Het feit dat de luchtdruk op aarde schommelt rond 100 kPa (komt overeen met 1 bar) is op het eerste zicht verwonderlijk. Op ieder van ons heerst er een druk die equivalent is met een waterkolom van 10 m. Dat is een behoorlijke druk en zoals veel zaken die niet opvallen, valt hij pas op wanneer we hem moeten missen. Zoals op de maan, waar zonder ruimtepak onze lichaamssappen zouden koken, bij het ontbreken van voldoende luchtdruk, wat steeds tot een gewisse dood zou leiden. Dat doet me denken aan de koningin van de nacht uit De Toverfluit die zingt: “Der Hölle Rache kocht in Meinem Herzen”. Het bloed kookt in haar hart! Extreme drukken vinden we in het heelal: zowel het bijna absolute vacuüm in de verste leegtes van ons universum als de werkelijk extreme drukken binnen in een neutronenster. Daar heersen zo’n extreme drukken dat het onbegonnen is om ook maar enige vergelijking te maken. Toch een poging: een theelepeltje neutronenster weegt 10 miljoen ton, of evenveel als 50 keer het gewicht van de grootste containerschepen die er bestaan…

neutronenster

Maar terug naar spanningen in materialen, deze zijn nog een paar grootte ordes groter dan de luchtdruk en worden meestal uitgedrukt in MPa (één miljoen Pa). De maximale trekspanning in een materiaal wordt de treksterkte genoemd. Zo is de treksterkte van normaal staal 420 MPa. Hout is tien keer minder sterk: de sterkte van dennenhout is 40 MPa. Een enorm sterk materiaal is een koolstof nanobuis met een sterkte van maar liefst 62.000 MPa. En de treksterkte van beton sluit vele lijstjes van materialen af met een bedroevende 2 MPa.

Hoe is het mogelijk dat we zoveel gebouwen hebben opgetrokken met zo’n zwak materiaal als beton? Om dit te verklaren moeten we begrijpen dat spanningen zich manifesteren in twee verschijningsvormen: drukspanningen en trekspanningen. De luchtdruk is ontegensprekelijk een drukspanning, maar de treksterkte van materialen gaat over de trekspanningen. Beton heeft weliswaar een lage treksterkte, maar kan zeker z’n mannetje staan als het over druksterkte gaat. Dat is trouwens z’n sterkste punt, sterkteklassen van beton verwijzen altijd naar de druksterkte. Zo is C30/37 een beton met een karakteristieke druksterkte van 30 MPa op een proefcilinder (de 37 MPa slaat op de druksterkte op een proefkubus). Gewapend beton is een mooi huwelijk tussen beton en staal waarbij beton de drukspanningen voor z’n rekening neemt het staal de trekspanningen. Het gezegende aan dit huwelijk is dat beide materialen op dezelfde manier reageren op temperatuurschommelingen en dat beton het staal beschermd tegen corrosie.

Reinforced-Concrete

Dat spanningen een ander fenomeen zijn dan krachten kan je zelf ervaren als je een scherp potlood tussen duim en wijsvinger houdt en die samendrukt. De kracht in het potlood is uiteraard dezelfde, maar bij de kleine oppervlakte van de punt zal de spanning groter zijn (kracht gedeeld door kleiner oppervlak) en dat zie je ook afgetekend in je huid. Het is een welbekend voorbeeld dat een olifant gemakkelijker door het zand stapt dan iemand op stiletto’s. Dat heeft niets te maken met de kracht, maar alles met de spanning, want de spanning op de grond van de stiletto’s is veel groter dan de spanning veroorzaakt door een olifantenpoot. Laat ons dat eens snel berekenen voor een dame van 60 kg met hakken van diameter 1 cm diameter en een olifant van 5 ton met 4 poten met een diameter van 30 cm.

stiletto-elaphant

De druk onder een stiletto is wel 20 keer hoger dan de druk onder een olifantenpoot, daarmee loopt de olifant beduidend vlotter door het zand dan de dame in kwestie en begrijpt iedereen beduidend beter het verschil tussen krachten en spanningen.

Van de olifantenpoot naar een stevige kolom in een gebouw is maar een kleine stap het zijn allebei elementen waar er drukspanningen in heersen. Een mooi voorbeeld van trekspanningen zijn de spanningen in een kabel, en bij uitbreiding alle constructies die gebruik maken van kabels. Hangbruggen en tuibruggen zijn pareltjes van voorbeelden.

Cable-stayed-bridge-1000x500

Spanning. Het doet wat met een mens. Maar wat doet spanning met materialen? Vroeg of laat komt het tot breuk en sterke materialen zijn bestand tegen grote spanningen, maar hoe reageert een materiaal op spanning? We hadden het vorige keer over Newton en z’n wet over actie en reactie die aan de basis licht van de krachtenanalyse van een structuur. Maar minstens even belangrijk voor de bouwkundige analyse van structuren is de wet van z’n tijdsgenoot en rivaal: Robert Hooke. De wet van Hooke is werkelijk de Alfa en de Omega van de sterkteleer.

In een volgend schrijven zal de wet van Hooke onder de loep genomen worden, waarmee dit schrijven eindigt in spanning!

Spannende groeten,

T.E.

kisspng-hooke-s-law-shear-stress-strength-of-materia

Geplaatst op door Tijs Essel · 2 reacties

Over structuren en de derde wet van Newton

Newtons bewegingswetten toepassen op bouwkundige structuren lijkt op het eerste zicht een nutteloze onderneming. Structuren worden immers niet verondersteld te bewegen. Het liefst hebben we ze statig, solide en immobiel (vandaar ook immobiliën). Teveel beweging, laat staan een instorting, is uit den boze. Toch zijn structuren doordrongen van de derde wet van Newton. Die van actie en reactie! 

Structuren zijn er overal. Zoals iemand met een hamer overal nagels ziet en een leraar Nederlands overal taalfouten ziet, zo ziet een bouwkundige overal structuren. En dan zeker niet alleen in gebouwen. Ook een stoel, een kast, een ei, een boom, een huisjesslak, een verkeerslicht, een kartonnen doos, een glas en zelfs ons eigen lichaam zijn allemaal stuk voor stuk structuren. Het is niet voor niets dat ze soms spreken van een ‘kathedraal’ van een lichaam! En van simpel karton worden bouwkundigen werkelijk poëtisch: wat een prachtige mini-vakwerkjes komen immers te voorschijn wanneer je karton doormidden snijdt!

profipack_golfkarton_platen-7

De derde wet van Newton stelt dat wanneer een voorwerp A een kracht op een ander voorwerp B uitoefent, deze gepaard gaat met een even grote maar tegengesteld gerichte kracht van B op A. De woorden actie en reactie zijn wat misleidend want de krachten komen gelijktijdig voor, de ene is niet de oorzaak van de andere. De nagel slaat net zozeer op de hamer als de hamer op de nagel, met een even grote en tegengestelde kracht. Als een bokser z’n collega een welgemikte uppercut geeft, dan is het een magere troost voor laatstgenoemde dat de kracht van z’n kin terug op de bokshandschoen van z’n opponent precies even groot is. ‘Eat this!’, kan hij denken, net voor hij KO gaat, terwijl hij languit op de grond neergezijgd opnieuw een treffend voorbeeld is van de derde wet van Newton als interactie tussen z’n lichaam en de grond. Reciprociteit van krachten (of wederkerigheid) is een begrip die wellicht meer de lading dekt van de derde wet van Newton.

boksers met krachten

Ik weet niet welke job jij uitoefent, welke strijd er bij jou moet gestreden worden, maar bouwkundigen vechten tegen de zwaartekracht. Ze vechten tegen nog wel meer zaken, maar in hoofdzaak tegen de zwaartekracht, die vijand nummer één is van bouwkundige constructies. Het instorten van bruggen of gebouwen is een gebeurtenis waarbij de zwaartekracht wint. Het gebeurt gelukkig niet veel tijdens de levensduur waarvoor een constructie ontworpen is, maar als je maar lang genoeg wacht (op een geologische schaal), wint de zwaartekracht altijd.

Een muur is een eenvoudige constructie om de derde wet van Newton te illustreren. De muur oefent een kracht uit op de grond, en de grond oefent eenzelfde, tegengestelde  kracht uit op de muur. Hoe groter de muur, hoe groter de kracht, dat lijkt logisch. Want grotere muren zijn zwaarder, ze wegen meer. Die kracht is echter niet enkel de verdienste van de massa van de muur, maar evenzeer speelt de massa van de aarde hierin een rol. Eenzelfde muur op de maan, zal minder wegen.

muur 3de wet newton

Om de puntjes op de i te zetten zullen we hier nog eens de begrippen massa en gewicht door de mangel halen. Massa is onafhankelijk van het zwaartekrachtveld. Ook zwevend in de ruimte heb je een welbepaalde massa, maar aangezien er geen zwaartekracht is, heb je geen gewicht. De massa wordt uitgedrukt in kg, waar je ook heengaat blijft dit onveranderlijk. Het is echter de valversnelling die ervoor zorgt dat deze massa een welbepaalde kracht zal ondervinden die gelijk is aan de massa van het voorwerp vermenigvuldigt met de valversnelling: F=mg. Je zou vanaf nu heel logisch je gewicht in Newton (eenheid van kracht) kunnen uitdrukken, maar het is niet gegarandeerd dat hiervoor een sociaal draagvlak is…

Hoe kijkt een bouwkundige nu naar die muur? Een bouwkundige onderscheidt zich in alle bescheidenheid van de andere stervelingen op deze aardbol met het sublieme en tevens subtiele inzicht dat de interactie tussen de muur en de grond evengoed moet gelden voor de interactie tussen de rijen stenen van de muur. Steunen de bovenste 3 rijen immers niet op alle onderste stenen? Waar men ook een snede neemt geldt de derde wet van Newton! Het spreekt voor zich dat de snede-kracht in de onderste rij van de muur groter is dan de snede-kracht in de bovenste rij. En in feite is dat al een structurele analyse van de muur voor het belastinggeval van z’n eigen gewicht. Voor complexere structuren zoekt men ook de snedekrachten voor elke mogelijke snede van de structuur en de derde wet van Newton vertelt ons dat we in elke snede wederkerige krachten moeten vinden tussen deel A van de constructie aan de ene kant van de snede en deel B aan de andere kant van de snede.muur 3de wet newton

Kortom: we snijden in gedachten eender welke constructie doormidden en gaan op zoek naar de snedekrachten. Helaas is het niet zo simpel, want krachten bestaan in feite niet in de realiteit. Een straffe uitspraak, I know, maar het wordt helemaal duidelijk in het volgende deel ‘over structuren’.

Even grote en tegengestelde groeten,

T.E.

cartoon dikker en dikker 2