‘Papa, hoe is alles begonnen?’, het is een existentiële vraag die elke vader wellicht vroeg of laat voorgeschoteld krijgt. Ik was alvast blij dat ik kon uitpakken met de oerknal. Dat ze ontdekt hebben dat alles in het heelal van mekaar wegvliegt, en dat die ontdekking was gebeurd door een slimme priester-astronoom uit België, Georges Lemaître! Het laat zich al raden dat dit gegeven uiteraard nieuwe vragen liet onspruiten aan het jonge brein van mijn dochter…

‘Ja maar papa, wat is er dan vóór de oerknal geweest is?’, was de zeer terechte vraag die zich vervolgens ontpopte. En dat is wel wat andere koek natuurlijk… ‘Dat is een beetje een bizarre vraag’, zei ik met een groeiend besef van het non-antwoord dat ik aan het formuleren was,  ‘want men denkt dat de tijd is gestart met de oerknal. Je kan net zo goed aan iemand vragen  hoeveel kilogram z’n lengte is, of hoeveel centimeter hij weegt. Het zijn even onzinnige vragen’. Volgende vraag dan: ‘… en waar is die oerknal dan begonnen?’ ‘Ook dat, mijn lieve dochter, is een onzinnige vraag, want ook de ruimte is begonnen bij de oerknal. De oerknal is overal.’ Het logische gevolg: ‘Ja zeg, papa, jij weet eigenlijk ook niets’.

Niets. Dat is wellicht een goede benaderende samenvatting van de wereldwijde kennis over het hoe en waarom van de oorsprong van alles. Zijn we ergens in een continue lus terechtgekomen van uitdijing naar krimp en om dan samen te knallen tot een volgende oerknal? Zijn we de vierdimensionele schaduw van een multidimensionaal universum? Is het universum slechts een luttel onderdeel uit een veel groter multiversum? Of is er simpelweg ergens een perfect logische uitleg waar nog niemand aan gedacht heeft?

Niets. De laatste woorden van mijn dochter echoden tussen mijn oren. In den beginne was er niets. En ik betrap mezelf er dan altijd op dat ik me dan een volledig lege ruimte voorstel, met uiteraard niets. Maar dat is natuurlijk een aanfluiting van het echte niets, want de aanwezigheid van die ruimtetijd is al totaal tegenovergesteld aan ‘niets’. Dus we moeten ons proberen ‘niets’ voor te stellen in afwezigheid van tijd en ruimte. Bijziend met onze 4-dimensionale paardenbril, met bovendien het besef dat massa en energie uitwisselbare begrippen zijn en dat de ruimtetijd helemaal geen vast gegeven is, ontbreekt het ons misschien nog meer aan fantasie en voorstellingsvermogen dan aan intelligentie en doorzettingsvermogen om een clou te kunnen vatten van wat er allemaal mogelijk is. Is het een infantiele extrapolatie van onze aardse waarnemingen te veronderstellen dat alles een oorzaak nodig heeft?

Hoe is alles begonnen? Ja dat mag je inderdaad wel vragen aan je vader vind ik. Het zou een tikkeltje onverantwoord zijn om iemand hier op aarde te droppen zonder dat je eigenlijk een zinnige uitleg achter de hand hebt over het hoe en waarom van ons bestaan. Het is net alsof je iemand van een ver continent zou doen overkomen en hem dan het antwoord verschuldigd blijft over het waarom.

Nochtans… we wisten blijkbaar dat die vraag zou komen. Ik neem haar geboortekaartje bij de hand en herlees het laatste deel van het rijmpje nog eens :

…

Wie ben ik, zal zij vragen
En waar kom ik vandaan
Waarom korten dagen
En hoever is de maan

Hoe ben ik ontstaan
Wie heeft mij verzonnen
Hoe is het gegaan
Hoe ben ik begonnen

En wij zullen antwoorden
Met liefde
Met heel veel liefde

En toen wist ik het weer allemaal.

Met immer uitdijende liefdevolle groeten,

T.E.

Het resultaat van een amateurfotograaf… Hoe dan ook wonderlijk mooi! Gelukkig heb ik deze live gezien, want de volgende is pas over tien jaar!

Ik vraag me trouwens af hoe de mensen van ‘The Flat Earth Society‘ onderstaande foto verklaren… hierop is duidelijk de schaduw van de ronde vorm van onze eigen aarde te zien.

O ja ik weet het al… een schijf is ook een ronde vorm en dus geeft die ook een rondvormige schaduw?  Ze weten wellicht op alles een goed antwoord…

Komt een man bij de dokter… zo beginnen wel meer verhaaltjes. En zo begint ook het verhaal waarmee we de deur van de Bayesiaanse wereld op een kiertje willen zetten om het licht van het theorema te laten schijnen op ons denken. Een verhaal over hoe we onze beslissingen moeten bijsturen, en onze kansen kunnen updaten wanneer er nieuwe feiten bekend zijn.

Komt een man bij de dokter en krijgt te horen dat hij lijdt aan een gevaarlijke ziekte waarbij hij binnen de dag zal sterven. De man is uiteraard nogal verbouwereerd en vraagt aan de dokter of hij het echt zeker is. De dokter leest nog eens de bijsluiter van de test: “… bij personen die de ziekte hebben, reageert de test in gemiddeld 99% van de gevallen op de ziekte door een positieve uitslag; bij personen die de ziekte niet hebben, is de kans 2% dat de test (ten onrechte) een positieve uitslag heeft…” ’s Mans moed is helemaal in ’s mans schoenen gezakt bij het horen van deze onheilspellende percentages. Hij is ervan overtuigd dat z’n laatste uren geslagen zijn.

Gelukkig bestaat er een medicijn dat de ziekte kan genezen. Het medicijn heeft echter het nadeel dat het perfect doeltreffend is wanneer de ziekte aanwezig is, maar bij afwezigheid van de ziekte is het medicijn instant dodelijk. Dat zijn zo van die medicijnen die je dus beter uit het bereik van kinderen houdt. Doet de arme man er goed aan van zo snel mogelijk het medicijn te nemen, zodat de ziekte niet kan leiden tot z’n veel te vroege dood? Hij doet er alleszins goed aan van zich in z’n vermeende laatste levensuren te verdiepen in wat basistheorie over kansrekening, voorwaardelijke kans en het theorema van Bayes.

De kans op iets is altijd kleiner dan 1. Het is de verhouding tussen het aantal keren dat iets gebeurt en het totaal aantal gebeurtenissen. Als er wordt gezegd dat er 50% kans is op kop bij het opwerpen van een munt, dan is de kans op kop 0,5. Het is maar een aanname, maar in de statistiek wordt dat als volgt genoteerd:

De kansen die de dokter opgeeft, zijn allebei voorwaardelijke kansen. Dat is een kans dat iets gebeurt gegeven een andere gebeurtenis. De kans op een positief testresultaat, gegeven dat je ziek bent is 0,99. Dit wil zeggen dat bij 100 mensen die ziek zijn er 99 positief zullen tekenen.

De man in kwestie is in feite vooral geïnteresseerd in de kans dat hij ziek is, gegeven dat er een positieve test is. En hier komt de formule van Bayes op de proppen, die het verband geeft tussen de voorwaardelijke kansen P(ZIEK|POS) en P(POS|ZIEK):

De dominee Thomas Bayes vond dit zelfs iets te triviaal om er over te publiceren, en pas na z’n dood is z’n naam verbonden geraakt aan deze stelling.

Hoera, riep de man, dat is wat ik wil weten. De noemer van de breuk geeft de algemene kans op een positieve test, dus ongeacht of die persoon ziek is of gezond. In statistiek betekent dit het optellen van kansen.

Alles op een rijtje en dan vlug uitrekenen, denk de man, want hij voelt zich al wat zwakjes worden… maar hij ontdekt dat er nog één cruciaal gegeven ontbreekt en dat is de kans P(ZIEK), de kans dat je hebt om de ziekte op te lopen. Hij belt naar de dokter en vraagt hoe zeldzaam de ziekte is en de dokter antwoordt hem dat die kans 1 op 1000 is.

Laten we even alle gegevens op een rijtje zetten:

Hierdoor kunnen we afleiden dat:

De info op de bijsluiter kunnen we als volgt noteren:

Nu vullen we in onderstaande uitdrukking de waarden in:

Alles ingevuld komt de man tot de volgende constatatie:

Dat wil zeggen dat hij slechts een kleine 5% kans heeft dat hij effectief de ziekte heeft. Hij slaakt een zucht van opluchting en bedankt vriendelijk voor het medicijn, want de kans is nog altijd veel groter dat hij die ziekte niet heeft dan dat hij de ziekte wel heeft. In onderstaande tabel is bovenstaand voorbeeld uitgewerkt voor een bevolking van 1 miljoen mensen. Daarvan zullen 1000 mensen ziek zijn. Bij 990 zal dit een gedetecteerd worden door een positieve test. De 2% mensen die onterecht positief testen zijn echter een veelvoud van de 990 waarbij de ziekte gedetecteerd wordt. Hierdoor is het gemakkelijker te begrijpen dat de kans op ziekte gegeven een positieve test ongeveer gelijk is aan 5%.

Dit voelt uiteraard wat contra-intuïtief aan en dat is juist waarom het theorema van Bayes zo belangrijk is. Het toepassen wrikt je los van je intuïtie, die je in sommige gevallen helemaal de mist instuurt. Het theorema zorgt voor een update van je kansen. De oorspronkelijke kans, ook wel de a-priori-kans genoemd is hier de kans op het optreden van de ziekte wat hier 1 op 1000 is. De kennis die toegevoegd is aan het systeem is hier het positieve testresultaat, en die zorgt voor een a-posteriori-kans van 1 op 20. We kunnen dus stellen dat de kans 50 keer groter geworden is door het positieve testresultaat.

Maar het impact van het theorema gaat veel ruimer, want je kunt je wel voorstellen dat de man met welbepaalde klachten naar de dokter is gegaan, en dat de dokter bovendien na z’n onderzoek ook weer wat feiten heeft verzameld. Als de man duidelijke uitwendige tekenen vertoont van de aanwezigheid van de ziekte zal dit feit uiteraard samen met de test moeten geëvalueerd worden. En daar is waar het schoentje knelt tussen de voor- en tegenstanders van deze Bayesiaanse statistiek, want er moeten inschattingen gemaakt worden en gebruik gemaakt worden van de kennis die je al hebt, en dat subjectieve gegeven is iets waar sommigen een koudwatervrees voor hebben.

Een logische volgende stap zou zijn om een tweede test te doen. En dan zal de man opnieuw z’n kansen kunnen updaten. Dan is de a-priori-kans de kans op de ziekte gegeven 1 positieve test (1/20) en is de a-posteriori-test de kans op de ziekte gegeven 2 positieve testen. Opnieuw Bayes toepassen en je mening durven te veranderen als de feiten veranderen.

Nu ben je gewapend voor het driedeurenprobleem. Je bent gast in een grote televisieshow en er zijn 3 glimmende deuren. Achter één zit een auto en achter twee andere deuren zit een geit. De presentator vraagt je om een deur te kiezen. Nadat je een deur hebt gekozen opent de presentator een deur waarachter een geit zit. Bayes zal je vertellen dat je altijd meer kans hebt om te veranderen van deur nadat de presentator de geit heeft getoond, de complete uitleg vind je op op wikipedia.

Dat was een korte maar boeiende omweg langs de wondere wereld van de statistiek en de kansrekening…

Bayesiaanse groeten,

T.E.

Ik hoorde een tijdje geleden het spijtige nieuws dat latijn op z’n terugweg is in het onderwijs, wat me direct de inspiratie gaf om een lans te breken voor de volzin. In een eerste poging maak ik van roodkapje een volzin, om daarna zowaar het hele Lord of the Rings-verhaal in één zin te capteren! Let maar op…

Roodkapje

De wolf werd nooit meer weergezien, nadat hij in een waterput viel bij een poging om z’n dorst te lessen met een maag vol stenen, die daar op chirurgische wijze waren geplaatst door een jager ter vervanging van enerzijds roodkapje, die hem in het bos ontmoette en die haar met succes aanmoedigde dieper in het bos nog meer mooie bloemen te zoeken, zodat zij het juiste pad verliet, ofschoon haar moeder haar dit ten strengste had verboden, en anderzijds haar grootmoeder, die de wolf, verkeerdelijk vermoedend dat deze roodkapje was, nietsvermoedend binnenliet en zich daardoor korte tijd en een grote hap later in de maag terugvond van deze hongerige wolf, die verkleed als grootmoeder aan het wachten was op roodkapje, wiens omzwervingen door het bos uiteindelijk bij de woonst van grootmoeder eindigden, waar zijn grote ogen en grote oren haar bijna in verwarring brachten, waarna hij stellig duidelijk maakte dat de eveneens grote tanden hem in staat stelden haar te verslinden hoewel het voor iedereen bij het horen van dit grimmige avontuur altijd zeer onduidelijk is geweest wat nu juist het nut was van die grote tanden bij het in één hap verorberen van het arme meisje en haar grootmoeder, beiden begiftigd met een goedgelovigheid die maar ternauwernood een goede afloop kende.

Lord of the Rings

Na een lange omzwerving gaf het gezelschap uiteindelijk de ring terug.

Met klassieke groeten en slaapwel,

T.E.