Geplaatst op door Tijs Essel

Het hemelse getouwtrek van de maan en de zon

Het ritme van de getijden is onlosmakelijk verbonden met de cadans van de maan en de zon in ons zonnestelsel. De variatie van de afstand van een punt op aarde tot de maan en de zon is via de gravitatiewetten de motor van de getijden. De analyse van de getijdenmetingen brengt verschillende cyclische patronen aan het licht. De meest duidelijke cyclus is uiteraard deze van het halfdaagse eb en vloed, maar ook het halfmaandelijkse springtij en doodtij is duidelijk zichtbaar. De wiskunde die dit fenomeen beschrijft is een welbekende goniometrische formule die iedereen ooit vanbuiten moest leren, zonder misschien het nut te beseffen… tot vandaag!

De formules van Simpson

De onderstaande formule komt uit een reeks goniometrische formules die bekend staan als de formules van Simpson en vinden o.a. hun toepassing in de fysica bij het samenstellen van cyclische fenomenen, zoals de lunaire en solaire componenten van het getij. Het product van de cosinussen in het rechterlid geeft een interferentiepatroon.

$$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

In feite zegt de bovenstaande formule op een vereenvoudigde wijze hoe het effect van de zon en de maan opgeteld leidt tot de halfmaandelijks zwevende getijden. De relatieve baan van de zon en de maan zijn tijdsafhankelijke fenomenen met een frequentie die bijna dezelfde is. En net dat kleine verschil in frequentie zal een zweving veroorzaken die we ervaren als springtij en doodtij. De hoeken $\alpha$ en $\beta$ in de formule zijn geen vaste hoeken, maar hoeken die volgens een bepaalde vaste (hoek)snelheid veranderen. Hiervoor gebruiken we het begrip hoekfrequentie $\omega$ met eenheid hoek per tijdseenheid, bv. $\frac{\text{RAD}}{s}$ of $\frac{\text{graden}}{uur}$. De variabele hoek wordt uitgedrukt als $\omega t $: hoekfrequentie vermenigvuldigd met tijd. Een cyclisch effect kan je beschrijven als een cosinus-functie waarbij de amplitude $A$ en de hoekfrequentie $\omega$ is: $f(t)=A\cos(\omega t)$.

Hoekfrequenties bepalen van zon en maan

Gezien er 360° per rotatie zijn en 24 uur op een dag, is de hoekfrequentie van de zon: $\omega_{S}=\frac{360}{24}=15 ^{\circ}/u$. Deze frequentie is eenvoudig, want onze klok is per definitie afgestemd op de relatieve rotaties tussen de aarde en de zon. De frequentie van de maan is iets ingewikkelder te bepalen. Een synodische maand (de periode tussen twee opeenvolgende nieuwe manen) heeft een periode van 29,53 dagen of 708,72 uur. Ten opzichte van de aarde geeft dit een hoekfrequentie van $\omega=\frac{360}{708{,}72}=0{,}508 ^{\circ}/u$. Aangezien de aarde zelf roteert met een hoeksnelheid van $15^{\circ}/u$ bedraagt de relatieve hoeksnelheid van de maan voor een waarnemer op aarde $15-0{,}508=14{,}492^{\circ}/u$.

Aangezien de getijden zich zowel bij de maan als bij de zon 2 maal per cyclus voordoet (aantrekking + wegslingering) moeten we de hierboven gevonden frequentie verdubbelen voor het effect van het getij. (Lees ook: Over eb en vloed: het systeem van de getijden.) Zo komen we tot de onderstaande hoekfrequenties (de index 2 duidt op het halfdagelijkse karakter van deze hoekfrequentie):

$$ \omega_{M_{2}}=2 \times 14{,}492=28{,}984 ^{\circ}/u $$

$$ \omega_{S_{2}}=2 \times 15=30^{\circ}/u $$

We herschrijven de formule van Simpson om de periodes van het getij te voorspellen:

$$\cos(\omega_{M_{2}}t)+\cos(\omega_{S_{2}}t)=2\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}t \right)\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}t\right)$$

Hierin herkennen we twee fundamentele frequenties:

$$\omega_{\text{gem}}=\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}$$

en

$$\Delta\omega=\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}$$

De periode van de gemiddelde frequentie bedraagt exact de periode van de cyclus van eb en vloed.

$$T_{\text{gem}}=\frac{360^{\circ}}{\omega_{\text{gem}}}\approx 12{,}2 \ \text{uur}$$

De periode van de andere frequentie bedraagt:

$$T_{\Delta}=\frac{360^\circ}{\Delta\omega}=\frac{720^\circ}{\omega_{S_2}-\omega_{M_2}}\approx 29{,}5 \ \text{dagen}$$

Omdat de amplitude van de omhullende zowel een positief als een negatief maximum heeft, herhaalt het patroon van maximale en minimale getijamplitudes zich om de halve periode:

$$\frac{T_{\Delta}}{2}\approx 14{,}8 \ \text{dagen}$$

Dit is precies de periode tussen twee opeenvolgende springtijen (of twee opeenvolgende doodtijen).

De formule van Simpson bracht ons van de hemel met onze voeten terug in het water, waarbij zowel de periode tussen eb en vloed als de periode tussen doodtij en springtij verklaard worden door het gedrag van de zon en de maan ten opzichte van de aarde.

Amplitudes bepalen

Wat betreft de grootte van de effecten stoten we op de grenzen van de vereenvoudiging want de formule van Simpson houdt geen rekening met mogelijke verschillende amplitudes. In realiteit is het effect van de verschillende componenten niet even groot. De getijdenkrachten zijn evenredig zijn met $\frac{\text{M}}{r^{3}}$ waarbij M de massa is van het hemellichaam en r de afstand tot de aarde is. De zon is uiteraard veel zwaarder dan de maan, maar staat ook veel verder weg. Hieruit volgt dat de maangetijden ongeveer dubbel zo sterk zijn als zongetijden. De invloed van de zon in vergelijking met de maan bedraagt zo’n $46\%$. Het gemeten gemiddelde halftijvlak in Nieuwpoort voor de periode 2011-2020 bedroeg 2,417 mTAW, Het gemiddelde tijverschil bij springtij en bij doodtij bedroeg respectievelijk 4,923m en 3,184m. Uitgedrukt in amplitudes is dit 2,462 m bij springtij en 1,592m bij doodtij. Aangezien de effecten van maan en zon elkaar versterken bij springtij en verzwakken bij doodtij kunnen we volgend stelsel oplossen om de amplitudes van maan- en zoneffect te bepalen:

$$\left\{\begin{matrix} A_{M}+A_{S}=2{,}462m \\ A_{M}-A_{S}=1{,}592m \end{matrix}\right.$$

Hieruit volgt dat $A_{M}=2,027m$ en $A_{S}=0,435m$, en dat de bijdrage van de zon in verhouding tot de maan amper $21\% $ bedraagt. Dit is op het eerste zicht merkwaardig omdat, op basis van de astronomische gegevens, je hier eerder $46\%$ zou verwachten. Dat kan verklaard worden doordat de transformatie van de astronomische getijkrachten naar het lokale getij beïnvloed wordt door tal van factoren zoals de aanwezigheid van de continenten die de stroming blokkeren, de vorm van de zeebodem en de kustlijn, de lokale resonantie van zeeën die zorgt voor versterking of demping van bepaalde frequenties en het Coriolis-effect waardoor waterstromen afbuigen onder invloed van de rotatie van de aarde. In de Noordzee heeft het effect van de maan blijkbaar een grotere resonantie dan het effect van de zon. Zo komen we tot de volgende uitdrukking voor de bijdrage aan het waterniveau voor het halfdagelijkse effect van de maan en zon:

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t)$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t)$$

Waarbij $A_{M}=2{,}027m$ en $A_{S}=0{,}435m$. Dit betekent dat het aandeel van de maan verantwoordelijk is voor een gemiddelde getijslag van 4 meter in onze contreien.

De beginfase van de cycli

Op een willekeurig moment is er een faseverschil tussen beide getijcomponenten en dienen we bijgevolg een beginfase $\varphi_M$ en $\varphi_S$ toe te voegen aan de respectievelijke argumenten van de cosinusfuncties.

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t+\phi_{M_{2}})$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t+\phi_{S_{2}})$$

Enkel op het het moment van lokale springtij zullen de beginfasen voor beide functies gelijk zijn aan 0, dat is logisch want enkel bij springtij is zowel het effect van de maan als de zon maximaal, wat zich herleidt tot een cosinus functie met argument 0.

Springtij vindt met vertraging plaats ten opzichte van het moment van volle of nieuwe maan. Hierdoor zal tussen de astronomische fase en de lokale getijdenfase ook een faseverschil zitten, die afhankelijk is van de lokale omstandigheden. Het fenomeen waarbij aarde, zon en maan op één lijn staan wordt syzygie genoemd. Bij getijvoorspellingen zal de beginfase van een component bestaan uit een parameter die afhangt van het astronomische syzygie-moment opgeteld met een andere parameter die het ouderdom van het lokale getij in rekening brengt.

Metingen versus voorspellingen

Aangezien we enkel maar de halfdagelijkse component van de maan en de zon in rekening brengen, zal de voorspelling van het getij een som zijn van twee cyclische functies. In de afbeelding hieronder zie je de cyclische functie van maan en van zon, die elk lopen met een licht verschillende frequentie. In een periode van ongeveer 14 dagen vertonen de componenten een afwisseling van constructieve en destructieve interferentie, waarbij de effecten respectievelijk in fase en uit fase (in tegenfase) lopen. Hierdoor versterken en verzwakken de effecten elkaar beurtelings.

Bij het beschouwen van de som van deze twee componenten zien we een interferentie ontstaan, die leidt tot he afwisselend optreden van springtij en doodtij. Deze interferentie vindt men terug in de trage (halfmaandelijkse) en de snelle (halfdagelijkse) frequentie van het rechterlid van de formule van Simpson. verder uit te werken. Een andere methode om deze interferentie te beschrijven is met behulp van fasoren (roterende vectoren in het complexe vlak), waarbij het reële gedeelte beschouwd wordt. (Zie ook: Over het optellen van fasoren).

Als we voor een bepaalde periode de metingen beschouwen tussen twee springtijen (hieronder afgebeeld) dan zien we eenzelfde interferentiepatroon ontstaat. De afwijkingen tussen het model en de metingen zijn in eerste instantie te wijten aan meteorologische omstandigheden, die zorgen voor opzet, en in tweede instantie ook aan de sterke vereenvoudiging van het voorspellingsmodel, want in realiteit zijn er tientallen componenten die meegenomen worden in de voorspellingen. Desondanks stellen we met enige wetenschappelijke vreugde vast dat een zeer eenvoudige model toch al een behoorlijk voorspellend karakter geeft en ook het fenomeen van springtij en doodtij voortreffelijk verklaart.

Op deze manier hebben we een fascinerende link gelegd tussen de ooit mysterieuze getijden die we op aarde waarnemen en de astronomische klok van enkele zeer bekende hemellichamen.

Lunaire en solaire groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Over eb en vloed: het systeem van de getijden

We weten onderhand dat de geschiedenis zich herhaalt, maar mocht deze waarheid even in de vergetelheid zweven, dan brengen de getijden dit manifest en klokvast terug onder de aandacht. Tweemaal daags zien we de zee komen en gaan als een langzame oceanische ademhaling die niets of niemand uit de weg gaat. Vele generaties hebben zich over dit fenomeen verwonderd. Magie was lang het enige antwoord, totdat oude bekende Isaac Newton met een wetenschappelijk verantwoorde verklaring kwam. We weten dat de maan en (in mindere mate) de zon een rol spelen, maar hoe zit de vork nu juist aan de steel? Aan de hand van drie misvattingen over het spel tussen aarde en maan zoeken we het met subtiliteit geplaveide pad naar een adequate verklaring voor de getijden. De maan heeft de grootste invloed, daarom richten we onze focus vooral op de rol van de maan.

Misvatting 1: De maan draait rond de aarde

Het hoeft geen betoog dat deze misvatting een hoog smart-ass gehalte heeft. Ik beeld me in dat menig leerkracht zich een duidelijke zucht laat ontvallen wanneer deze evidente stelling wordt ontkracht door de priemende wijsvinger van de wijsneus van de klas. De subtiliteit is de sluitsteen van de gedachte: de maan draait niet rond de aarde, maar beide hemellichamen draaien rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt, het barycentrum van het systeem. De relatieve ligging van het barycentrum is afhankelijk van de verhouding van de massa’s van beide hemellichamen. Zo ligt het barycentrum van het aarde-maan systeem binnenin de aardbol. Feit is dat het zwaartepunt van de aarde met een zelfde hoeksnelheid als de maan rond het barycentrum draait. Om op deze cirkelvormige baan te blijven ondervindt de aarde een radiale versnelling. In het belang van het maximaliseren van het begrip over de getijden is het belangrijk vast te stellen dat de aarde zich als één star geheel door de ruimte ploegt: alle punten op aarde ondervinden bijgevolg dezelfde radiale versnelling om op hun baan omheen het barycentrum te blijven wobbelen.

Misvatting 2: De getijden ontstaan doordat de zeeën op aarde worden aangetrokken door de maan

Ook hier horen velen de klokken luiden, maar is de positie van de klepel niet altijd gekend. Stel dat de getijden ontstaan louter door de aantrekking van de maan, dan zou je logisch mogen verwachten dat je hoogwater hebt bij hoge maan, dus grosso modo één keer per etmaal. Maar in de realiteit zien we dat er een dubbeldaags getij is, wanneer we aan de kust vertoeven zien we het hoogwater 2 keer per etmaal passeren. Achterliggend moet er dus ook een stuwende kracht zijn die het water zo’n 2 keer per dag opstuwt.

We zagen eerder al dat de aarde en maan rond het barycentrum draaien. De voor de hand liggende volgende vraag is uiteraard: waarom? Om die vraag te beantwoorden kunnen we opnieuw niet rond de geniale Isaac Newton die inzag dat voor alle massa de gravitatiewet geldt: 2 massa’s worden aangetrokken tot elkaar. De aantrekkingskracht is evenredig met de grootte van beide massa’s, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de onderlinge afstand, de grootte van de kracht kunnen we met gebruik van de gravitatieconstante G uitdrukken als:

$$F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}$$

Eerder dan nu met de centripetale of met de middelpuntzoekende kracht voor de dag te komen kunnen we gewoon de tweede wet van Newton ter hand nemen: F=ma en het besef dat deze wet niet enkel geldig is wanneer we versnellen of vertragen mooi in de richting van de snelheid waarmee we voortbewegen maar dat we evengoed kunnen versnellen loodrecht op de richting van de snelheid, een fenomeen dat we ondervinden wanneer we met onze wagen de hoek om rijden en onze boodschappen liever de eerste wet van Newton volgen. Onze wagen kan enkel en alleen een bocht maken doordat de wrijvingskrachten op de banden de kracht kunnen aanbrengen die evenredig is met de radiale versnelling. Zo kan de aarde en de maan enkel rond hun barycenter draaien omdat de gravitatiewet de kracht aanlevert die evenredig is met de radiale versnelling. De maan en aarde kunnen hierbij beiden voorgesteld worden als puntmassa’s.

Met deze ingrediënten kunnen we het recept opstellen voor de werking van de getijden. Stel dat je een druppel water bent in het midden van de oceaan. Enerzijds versnel je samen met het middelpunt van de aarde, want samen met de rest van de aarde draai je rond het barycentrum. Anderzijds geldt de gravitatieweg van Newton op deze druppel, en bovendien stellen we vast dat de afstand tot de maan niet constant blijft. Wanneer de maan in het zenith (dichtste afstand tot de maan) staat ben je als druppel immers een aarddiameter dichter bij de maan dan wanneer je in het nadir staat (verst verwijderd van de maan). Enkel voor het zwaartepunt van de aarde zijn deze verschillende versnellingen identiek qua grootte en richting. Voor alle andere punten is er een licht verschil, en het is precies dat verschil dat de getijden veroorzaakt. In onderstaande figuur zie je hoe de paarse vectoren het verschil zijn van de versnelling (of kracht per massa) afkomstig van de gravitatie en de versnelling (of kracht per massa, ook wel centripetale kracht) afkomstig van de baan die de aarde beschrijft rond het barycentrum.

Wanneer de verschilkrachten uitgezet worden op de omtrek van de aarde verschijnen er duidelijk twee bulten, één ervan (dicht bij de maan) onstaat doordat de gravitatiekracht groter is dan de radiale baanversnelling en de tweede ontstaat doordat de radiale baanversnelling groter is dan de gravitatiekracht. Zo kan men stellen dat de ene bult effectief aangetrokken wordt door de maan, en dat de andere bult weggeslingerd wordt van de aarde. Deze twee bulten zorgen voor het dubbeldaags getij.

Misvatting 3: Springtij valt samen met volle of nieuwe maan

Hier komt summier de rol van de zon aan bod, want bij nieuwe maan en volle maan staan de hemellichamen zon, aarde en maan min of meer in één lijn en dat fenomeen waarbij de getijde-opwekkende krachten elkaar versterken noemen we springtij. Springtij valt effectief niet samen met volle of nieuwe maan. Dat is eenvoudig vast te stellen wanneer we de getijmetingen er op na slaan. Het hoogtepunt van het springtij vindt voor de kusten van de lage landen ruim twee dagen na een volle maan of nieuwe maan plaats, deze periode wordt ook wel de ‘ouderdom van het getij’ genoemd. Het gehele systeem van de getijden beginnend met de posities van de maan en de zon ten opzichte van de aarde en eindigend met de effectieve waterhoogte op een bepaalde plek op aarde is een ingewikkeleld dynamisch systeem en de grootste amplitude van de aandrijvende krachten valt daarbij niet samen met de grootste amplitudes van getijden aan onze kusten. We kunnen een voorzichtige vergelijking maken met een gedwongen gedempte oscillatie, uiteindelijke zal het systeem zich met een zelfde periode gedragen, maar de grootste uitwijking zal gebeuren met een faseverschuiving ten opzichte van de veroorzakende krachten. Iedereen kan zich gemakkelijk inbeelden dat wanneer je op een bepaald moment een kracht zet tegen een schommel, deze niet ogenblikkelijk overeenkomt met de grootste uitwijking. Zo werken dynamische systemen, en dat is uiteraard helemaal terug te schrijven aan het feit dat kracht altijd evenredig is met de versnelling (F=ma) maar niet noodzakelijk met de verplaatsing. Het tij volgt niet instant de maanstand, maar is de dynamische respons van de oceanen op het getijpotentiaal.

Elke plek waar er water is op aarde heeft bijgevolg z’n eigen unieke respons op de getijdenveroorzakende krachten. De getijden gedragen zich als lange ondiepwatergolven die rond oceanen en zeeën lopen en weerkaatsen, en elke zee heeft haar eigen eigenfrequentie, resonantie en vertraging, om nog niet te spreken van de Corioliskrachten die zorgen voor draaibewegingen in afgesloten stukken zee. Daarom vinden we overal ter wereld andere getijden. De continentale begrenzing van zeeën zorgt voor een opstuwen van de getijdegolf, vergelijkbaar met vloeistof die tegen de rand van een kopje upgestuwd wordt waneer we koffie morsen. Mocht de hele wereld één zee zijn, dan zou de getijslag (verschil tussen hoog-en laagwater) met moeite één meter bedragen. Wanneer de atlantische getijgolf zich echter moet wurmen rond het Verenigd Konkinkrijk en Ierland dan zien we dat dit zorgt voor veel grotere opstuwing op bepaalde kusten. Maar evengoed kunnen alle effecten zich tegen elkaar opheffen en moeten we vaststellen dat er plekken bestaan in de Noordzee waar er helemaal geen getij is: de amfidromische punten. Met deze mooie potentiële kwisvraag rond ik deze queeste af.

Overvloedige groeten,

T.E.

Amfidromische punten in de Noordzee

Geplaatst op door Tijs Essel

De mensheid: een flits op een stofje

Pale-Blue-Dot-Animation-1-640x460

“Pale blue dot” is een foto van onze aarde gemaakt door ruimtesonde Voyager 1 in 1990 vanop een afstand van 6 miljard kilometer. Dit kleine stofje ergens in een uithoek van het uitgestrekte heelal is het plekje waar wij allen leven.

Alle elementen waren hier miljarden jaren geleden aanwezig om tot iets te komen dat complex genoeg was om zichzelf te repliceren, gewoon omdat het kon. Een rots kan dat niet. Sommige voorlopers van RNA-moleculen wel. Zo ontstond leven. Een mirakel misschien, maar misschien was de kans zeer reëel dat dit wel moest ontstaan onder de gegeven omstandigheden en de vele miljoenen jaren van “geëxperimenteer”.

En hier staan we dan, als een soort tweevoetige schimmel die de wereld aan het overwoekeren is, of als de kroon op het werk al naargelang de invalshoek. En we beseffen dat ons tijdperk maar een flits is in het hele bestaan van de aarde en dat binnen miljoenen jaren niemand meer weet dat wij hier ooit geleefd hebben en dat sowieso binnen een paar miljard jaar de zon de aarde opslorpt en het hele verhaal van de aarde voorgoed gepasseerd is.

En o ja… by the way… er is er maar eentje in de ruime omgeving. Dus misschien moeten we er samen het beste van maken op deze wondere wereld… samen met onze DNA-gedreven lotgenoten van het dierenrijk en het plantenrijk.

Ik ben al jaren gefascineerd door deze beeldopname waarop heel ons wereldwijde hebben en houwen slechts een paar pixels groot is. Je kan er eigenlijk niet over zwijgen, dus moet je er wel over schrijven.

T.E.