Er was eens een appel. Hap. Op.

Pavlovgewijs komt bedtijd bij kleuters meestal samen met de vraag om een verhaaltje. Het kan wel eens gebeuren dat de tijd ontbreekt om hier uitvoerig op in te gaan en dan wordt door ondertekende het volgende ‘kortverhaal’ wel eens bovengehaald: “Er was eens een appel. Hap. Op.” Ik krijg dan prompt een ontgoocheld dat-is-geen-echt-verhaal-gezicht te zien, en nog voor ik de kamer helemaal verlaten heb, maken zich, naast een schuldgevoel, ook echte verhalen over appels meester van m’n gedachten.

hendrick_de_clerck_the_judgement_of_paris.jpg

Zo is er het verhaal over de twistappel van Eris, godin van de ruzie. Zij was ooit te gast op een huwelijksfeest waarop ook tal van Griekse goden aanwezig waren. Ergens tussen de ‘Lac de Connemara’ en ‘YMCA’ pakte ze een appel van het dessertbuffet en schreef erop: ‘Voor de mooiste’ en legde die netjes terug tussen het andere fruit van het buffet. Dat Griekse goden wel af en toe menselijke trekjes hadden was al langer duidelijk, maar die avond liep het echt de spuitgaten uit. Het duurde niet lang of drie godinnen, Hera, Pallas Athena en Aphrodite, maakten zo’n scène over wie de appel toekwam dat Zeus in hoogsteigen persoon moest ingrijpen. Hij stelde de Trojaanse prins Paris als scheidsrechter aan.

Deontologie en integriteit waren niet meteen de sterkste kanten van Paris, want nadat Hera en Athena hem respectievelijk macht en wijsheid beloofden ging Paris in op het voorstel van Aphrodite. In ruil voor de appel en de titel van mooiste godin beloofde ze hem de mooiste vrouw van de toen bekende wereld: Helena. Haar man, Menelaos, was not amused en zo begon de Trojaanse Oorlog die leidde tot de val van Troje, met behulp van een houten paard dat ‘geschonken’ werd aan de Trojanen. De Trojanen liepen blindelings in de val ondanks de waarschuwing van de plaatselijke hogepriester Laocoön: “Timeo Danaos et dona ferentes.” Ik vrees de Grieken, en vooral als ze met cadeautjes afkomen. Ook vandaag nog wordt dit her en der gemompeld als iets te mooi is om waar te zijn. In 90% van de gevallen is het meestal ook zo. Het was niet zo handig van Aphrodite om Paris een getrouwde vrouw te beloven. Het is alsof je iemand een Porche zou beloven die je niet zelf bezit. Of een volk een land zou beloven waar andere volkeren reeds wonen. En dat is precies wat gebeurde in het Oude Testament.

De-zondeval

De appel speelde ook een hoofdrol in het Genesis-verhaal van het Oude Testament. Jahweh, het welbekende hoofdpersonage, had z’n versgeschapen koppeltje mensen, Adam en Eva, verboden de vruchten van de boom van goed en kwaad te eten. Het feit dat in het Latijn het woord ‘malus’ zowel ‘slecht’ als ‘appel’ betekent, zal wellicht een verband hebben met het feit dat het een appelboom betrof. Een slang overtuigde Eva tot een hap, en even later verslikte Adam zich bij z’n laatste hapje appel toen hij hoorde over de erfzonde die ze zo hadden uitgeroepen over hun volledige nageslacht. Oeps.

De slang, de veroorzaker van al dit onheil, was, naar verluidt, niet zo onder de indruk van z’n bestraffing welke erin bestond dat z’n nageslacht voortaan al kruipend door het leven moet gaan en moest zelf inspanning doen om een opkomende glimlach te onderdrukken. Ook Adam en Eva kregen een straf voor hun nageslacht. Vanaf dan zouden mannen zich in het zweet moeten werken op de akkers en zouden vrouwen pijnlijk bevallen. Waarbij ik moet vaststellen dat het grootste deel van de mannen ondertussen bezigheden heeft gevonden in andere sectoren dan de agrarische sector, maar dat vrouwen daarentegen nog altijd een serieuze klus hebben met de bevalling. Wat zou er van ons geworden zijn mochten we geen kennis genomen hebben van de boom der kennis van goed en kwaad via die ene appel? We zullen het nooit weten…

Newton appel

En het is ook een appel die de natuurkundige Isaac Newton inspireerde tot z’n zwaartekrachtswetten. Hij kwam tot het geniale inzicht dat planeten dezelfde wetten volgen als die vallende appel. Niets zo logisch als de wetten van Newton? Toch niet want onlangs was ik met m’n collega’s bezig over een vallende lift en de snelheid waarmee deze de grond raakt. Een collega kon amper geloven dat een lift vol met mensen precies met dezelfde snelheid tegen de grond valt als een lege lift. De volle lift en de lege lift vallen immers naar beneden met dezelfde versnelling, de valversnelling. En omdat de luchtweerstand van beide situaties gelijkaardig is, zal de snelheid identiek zijn.

Nog niet zo lang geleden reed ik met mijn dochter in de auto en ze vloog naar rechts bij een rond puntje. ‘Hoe komt dat toch papa?’ En voor ik het besefte ging ik op m’n rem staan om te tonen dat er ook bij vertragen en versnellen krachten op ons inwerkten. En puur educatief ging ik wat sneller door het volgende ronde puntje om te tonen dat de zijwaartse krachten dan groter zijn. Ik was zo enthousiast de eerste en de tweede wet van Newton aan het uitleggen dat ik per abuis ook bijna de derde wet over actie en reactie had uitgelegd ten nadele van een voorligger.

GPS

Dat doet me denken aan een andere appel: de Apple Iphone. En meer specifiek de GPS functie. En bij uitbreiding natuurlijk alle GPS-toestellen. Die zouden allen compleet de mist ingaan enkel maar vertrouwend op Newton’s wetten, want de klokken in de satellieten gaan sneller dan de klokken op aarde, dat is een gevolg van de relativiteitstheorie van Einstein die geldt als een correctie op de wetten van Newton. Het hele satellietsysteem kan je eigenlijk vergelijken met geblinddoekt rondlopen en een aantal personen die tegen je roepen hoe laat het is en waar ze zelf staan. Doordat je zelf weet hoe laat het is, weet je hoe lang het geluid er over gedaan heeft om je te bereiken. Als één iemand roept dat hij op de kerktoren staat en roept dat het ‘nu’ 12u is, en je hoort de ‘nu’ pas 12u en 2 seconden. Dan weet je dat je je ergens op een cirkel van 600 m rond die kerk bevindt (meer exact op een bol van 600m gemeten vanop de kerktoren). Heb je 3 van die roepers, dan kan je in theorie perfect je positie bepalen. Zo heb je minstens 3 satellieten nodig om je plaats op aarde te bepalen.

Ja, je plaats op aarde. Iedereen is er vroeger of later naar op zoek. En we komen er al snel achter dat er veel meer nodig is dan 3 satellieten om je plaats te vinden op aarde. Gelukkig hebben we verhalen over appels die ons een beetje op weg helpen over hoe alles ineen steekt want voor je het weet: ‘Hap. Op’. Ik denk dat ik maar eens meer tijd moet vrijmaken voor slaapverhaaltjes… Volgende keer Sneeuwwitje!

Appelbloesemgeurige groeten,

T.E.

sneeuwwitje

Bladschikken voor gevorderden met de gulden snede

De gulden snede staat al eeuwen bekend als de perfecte esthetische verhouding. Er zijn heel wat gebouwen die volgens deze perfecte ratio gebouwd zijn. De Taj Mahal, het Parthenon, de Notre Dame in Parijs, overal zie je de gulden snede terugkomen. Maar wat wonderlijk is, is dat deze gulden snede ook in de natuur terugkomt. Bij veel planten en bloemen zijn de blaadjes geschikt volgens de gulden hoek, wat het equivalent is voor de gulden snede bij hoeken.

1-NGNon6GsqrUSrzMsF9vrEw

Mijn trans-Alpijnse zus heeft zonet een boek gelezen over de gulden snede: ‘La sezione aurea’. In het Italiaans klinkt dat zoveel mooier dan in het Nederlands, waar ‘gulden’ klinkt alsof het gaat om iets dat wat verguld is en kitsch, en snede is iets wat wij hier vooral associëren met een snee brood of het sneetje kaas dat we erop leggen. Een kitcherige boterham. Weg mystiek.

De gulden snede is de verhouding van twee lijnstukken waarbij het grootste zich verhoudt tot het kleinste, zoals de som van beiden zich verhouden tot het grootste lijnstuk.
Golden-Ratio-color-1024x439-1.png

Hieruit volgt de volgende uitdrukking:
Beide leden vermenigvuldigen met geeft de volgende kwadratische vergelijking:

met als positieve oplossing:

Een benaderende waarde voor de gulden snede is dus 1,618.

Mijn zus was vooral verwonderd over het verband tussen de gulden snede en de fyllotaxis. Dat heb ik toch eens moeten opzoeken, en dat blijkt de schikking van de blaadjes te zijn. Bladschikking blijkt voor planten van primordiaal belang te zijn. De fotosynthese is een proces waarbij licht moet opgevangen worden om koolstofdioxide (ook wel gekend als C02) om te zetten in koolhydraten. Een plant heeft er dus alle belang bij om z’n blaadjes zo te schikken dat ze zoveel mogelijk licht opvangen, en dat met een zo gemakkelijk mogelijke opdracht. In de DNA zou ergens kunnen de volgende opdracht weggeschreven zijn: schik het volgende blaadje onder een hoek  van het vorige blaadje.

Wat zou die hoek kunnen zijn? Als we =180° nemen, zien we al snel dat dit helemaal geen goede keuze is, want het derde blad komt boven het eerste blad te liggen. Ook 120° is geen goed idee, want na drie blaadjes ligt het vierde knal op het eerste blaadje, wat uiteraard niet efficiënt is voor de fotosynthese van de plant. We merken dat alle getallen die een gemakkelijke breuk vormen (360°/180°=2 en  360°/120°=3) geen goede oplossing zijn voor de bladschikking. Bij uitbreiding zijn alle rationele getallen vroeg of laat overlappend met vorige geschikte blaadjes. We zoeken dus een getal dat zich zo irrationeel mogelijk gedraagt.

Misschien is een goede keuze? Nee, want 22/7=3,142.. is al een zeer dichte benadering. Dat wil zeggen dat al veel te dicht aan het flirten is met de rationele getallen om bruikbaar te zijn voor een nuttige bladschikking. Dit kan men goed zien als we de enkelvoudige kettingbreuk van uitzetten:
Als we de kettingbreuk afbreken bij 7 dan krijgen we de verhouding 22/7. Hele grote getallen zorgen in een kettingbreuk voor een goede benadering met rationele getallen. Zo is 355/113=3.14159292… een zeer goede benadering voor . Dit komt omdat het volgende getal in de kettingbreuk een heel groot getal is: 292.

Als grote getallen in een kettingbreuk leiden tot getallen die zich gemakkelijk laten benaderen door een rationeel getal, kunnen we dus ook omgekeerd zeggen dat een kettingbreuk met kleine getallen zal leiden tot een zeer irrationeel getal. En het meest irrationele getal dat we kunnen bekomen is een kettingbreuk met alleen maar eentjes:

Het zal je niet verwonderen dat deze uitdrukking in deze tekst die handelt over de gulden snede effectief perfect gelijk is aan de gulden snede:

Terug naar de plant met de DNA opdracht: schik de blaadjes volgens de gulden hoek. De gulden hoek wordt uitgedrukt als:

Dat is de kleinste hoek van twee hoeken die een volledige cirkel verdelen in twee hoeken volgens de gulden snede: 137,5°+ 222,5°=360° en 222,5/137.5=1,1618…

Hieronder zie je de eerste 5 blaadjes van een plant geschikt volgens de gulden snede, de blaadjes bevinden zich telkens een hoek 137,5° verder van elkaar. Of 222,5° in tegenwijzerzin.

Leaf-Growth-5.png

Zo gaat het door en door en we verkrijgen telkens een zo minimale overlap met de vorige blaadjes.

Leaf-Growth-13.png

Ook bij de schikking van de zaadjes in een zonnebloem gebeurt iets gelijkaardig. De zaadjes zijn allemaal geschikt volgens de gulden hoek. Dit levert immers de meeste zaadjes op een zo klein mogelijke oppervlak op. Hieronder kan je zien dat een kleine variatie van de hoek al een veel minder gunstige schikking oplevert van de zaadjes.Sunflower-seed-golden-angle-diagram.001.pnglabimg_870_Sunflower

Als je je nu de bedenking maakt: amai hoe kan dat? Dan moet je maar denken aan het feit dat alle minder gunstige variaties in de natuur met minder gunstige hoeken het niet hebben overleefd ten opzichte van de planten met een gunstigere schikking. Wat we in de natuur vinden is het product van een proces van miljoenen jaren variatie, overerving en selectie. (lees ook: Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?) Je zou het sommige mensen niet aangeven, maar ook die zijn het product van miljoenen jaren van finetuning.

Oh ja en dan hebben we ook nog de wonderbaarlijke Fibonacci getallen: 1,1,2,3,5,8,13,… waarvoor geldt dat het volgende getal telkens de som is van de twee vorige getallen. Er zijn in de natuur ook veel Fibonacci getallen te vinden… Mysterieus van de natuur? Helemaal niet want laten we eens de gulden snede benaderen door de kettingbreuk af te breken dan krijgen we volgende benaderingen:

Twee opeenvolgende Fibonacci getallen blijken dus een steeds betere benadering van de gulden snede te zijn naarmate we verder gaan in de Fibonacci rij:

De natuur vond immers ook dat, als we dan toch getallen of een verhouding gebruiken in het bladschikken of het zaadschikken,  we maar beter Fibonacci getallen kunnen gebruiken.

Je hoeft trouwens niet  met de eerste Fibonacci getallen 1 en 1 te starten om uit te komen op de gulden snede. Neem eender welke twee getallen en tel ze samen en maak dan telkens de som van de laatste twee getallen en je komt sowieso altijd uit op de gulden snede. Als je pakweg 37 en 11 neemt zal dit ook een reeks vormen waarvan de verhoudingen op de limiet de gulden snede zijn. Ik heb het niet nagegaan, maar het moet wel gewoon altijd lukken. Dat is niet echt een straf wiskundig bewijs, maar dat laat ik over aan anderen.

Nu ik erover nadenk. Net omdat de gulden snede het meest irrationele getal is dat we kunnen bedenken zal het waarschijnlijk totaal geen streling voor het oor zijn als we twee klanken zouden laten samenklinken waarvan de verhouding van de frequenties gelijk is aan de gulden snede. Want enkel eenvoudige verhoudingen van gehele getallen zijn harmonische tweeklanken. (zie ook: Alle piano’s zijn een beetje vals). Dat is toch wat anders dan je zou verwachten van deze sectio divina, of goddelijke verhouding.

We kunnen besluiten dat de gulden snede hoogstwaarschijnlijk leidt tot het meest irritante, dissonante en valse interval in de hele muziekwereld. Geen idee of dat ook in het boek van mijn zus stond. Ik hoor het wel binnenkort!

Zorgvuldig in het lente-zonlicht geschikte groeten,

T.E.

De geheimen van grootvaders rekenlat

Om te rekenen hebben we tegenwoordig rekenmachines en smartphones ter beschikking, maar er is een tijd geweest, nog niet eens zo lang geleden, dat alle bewerkingen met getallen manueel moesten gebeuren. Met pen, papier en veel monnikengeduld geraak je wel ergens, maar in grootvaders tijd hadden ze als hulpmiddel een rekenlat. Ik vroeg me al lang af hoe zo’n ding werkt, en ik heb me er één aangeschaft, ter ontsluiering van z’n geheimen.

20190228_215417

Iedereen heeft wel eens twee kinderen horen bekvechten, waarbij de ene beweert wel duizend knikkers te hebben en waarbij de andere met hoongelach de andere duidelijk maakt dat hij er nog veel meer heeft: wel honderd! Waarbij knikkers inwisselbaar zijn in om het even wat, naargelang het onderwerp van de discussie. Het door elkaar haspelen van grootte-ordes is nu eenmaal hilarisch. Reeds in de lagere school leren we hoeveel nulletjes we moeten bijvoegen om een getal te vermenigvuldigen met honderd of duizend. Mijn dochter geeft me zonder verpinken de antwoorden: om met tien, honderd of duizend te vermenigvuldigen moet je respectievelijk één, twee en drie nulletjes toevoegen aan het getal. Zeer interessant want het vermenigvuldigen met veelvouden van 10 is dus in feite equivalent aan het optellen van nulletjes. We hebben dus van een vermenigvuldiging een optelling gemaakt…

Ik ben me er ter dege van bewust dat het optellen van nulletjes om tienduizend met pakweg een miljoen te vermenigvuldigen niet echt rocket science is, maar de dualiteit tussen optellen en vermenigvuldigen is het principe dat aan de basis ligt van de werking van een rekenlat. Er moet enkel nog een abstractiesausje over en het geheel moet nog wat gekruid worden met een ‘moeilijk woord’, maar het concept zal blijven dat we grootte-ordes van getallen optellen om ze te vermenigvuldigen. De bekvechtende kinderen van daarnet hadden het over grootte-ordes van tien. Honderd. Duizend. Miljoen. Miljard. En ga maar door… Het is duidelijk dat tien een centrale rol speelt in dit geval. De grootte orde van tienduizend is 4 en de grootte orde van een miljoen is 6. Het vermenigvuldigen van tienduizend en een miljoen is dus equivalent aan het optellen van de grootte ordes: 4+6=10.

Het abstractiesausje zullen we opdienen in twee gangen samen met twee vragen. De eerste vraag is: heeft elk getal een grootte orde? Affirmatief! Zoals je 10 kunt verheffen tot de 2de macht om 100 te bekomen, kan je perfect 10 verheffen tot de macht 2,5. Verheffen betekent letterlijk ‘naar een hoger niveau brengen’. Het antwoord op 10 tot de macht 2,5 is trouwens 316,227766… Het gaat alleszins serieus hard als we beginnen met verheffen, 10 tot de macht 80 is een schatting van het totaal aantal atomen in het heelal. We kunnen dus redelijk wat omspannen met 80 grootte-ordes van 10. Het aantal atomen in een mol: grootte-orde 23 (zie ook het stukje: Over een lepeltje, oceanen en moleculen). ‘Googol’ is de aanduiding voor de 100ste macht van 10, daar komt trouwens de naam Google vandaan.

Een ‘googolplex’ is 10 tot de macht googol, en we blijven ons wiskundehartje verheffen want een ‘googolplexian’ is dan weer 10 tot de macht googolplex. Letterlijk niet te bevatten want er zijn niet genoeg atomen in het heelal om te voorzien in alle nullen en ik kan dan ook met recht en rede zeggen dat dit ons veel te ver leidt. Als je nog harder wil gaan dan het machtsverheffen, moet je zeker eens zoeken (Googelen bijvoorbeeld) naar het ‘getal van Graham’.

De tweede vraag is: kan een ander getal dan 10 gebruikt worden als het grondtal voor de grootte-orde? En ook hier is het antwoord eveneens positief. Natuurlijk kan je dat. Het binair talstelsel is een mooi voorbeeld, waarbij het grondtal 2 is. (zie ook: Schaakmat voor koning Shirham) Maar waarom het gemakkelijk maken als het ook moeilijk kan? Waarom nemen we niet gewoon het grondtal e? (zie ook: Dromen over het getal e) Hiermee kunnen we zeer goed continue groei wiskundig omschrijven. En in de natuur zijn er nogal wat zaken die volgens dat principe werken, ik denk maar aan de afname van radioactiviteit. Als we e nemen als grondtal dan zal de x-de macht van e de continue 100%-groei weergeven in een tijdspanne x. Maar zoals we alle getallen kunnen uitdrukken als machten van 10 of 2, kunnen we evengoed alle getallen uitdrukken als een macht van e. Uiteraard mag dit niemand ervan weerhouden om nog een ander grondtal te nemen, gewoon om tegen tjok te zijn. (zie ook: De ontplooiing van het verhaal van ‘tegen tjok’ rolmodel Britney Gallivan).

Na deze flexibiliteit naar grootte-orde en naar grondtal, is het dringend tijd voor het kruiden van het geheel met een moeilijk woorden. We hebben steeds gesproken over de grootte-orde van een getal op basis van een grondtal. Zo is de grootte-orde van 1000 op basis van grondtal 10 gelijk aan 3. En is de grootte-orde van 16 op basis van grondtal 2 gelijk aan 4. Vanaf nu gaan we grootte-orde vervangen door ‘logaritme’. Laten we nu bovenstaande voorbeelden nemen dan zeggen we dat de logaritme met grondtal 10 van 1000 gelijk is aan 3. Notatie:

en de logaritme met grondtal 2 van 16 gelijk is aan 4. Notatie:

Meer algemeen geldt de volgende definitie:

Wanneer we als grondtal e nemen, wordt de uitdrukking y=ln(x) gebruikt. ‘ln’ staat voor logarithmus naturalis.

We hadden ontdekt dat we grootte-ordes van getallen kunnen optellen als equivalent om te vermenigvuldigen. Dat wordt met logaritmes als volgt uitgedrukt:

Het is een algemene uitdrukking van het voorbeeld dat we reeds aanhaalden:

OK. So far so good. Logaritmes zijn dus een ander woord voor grootte-orde, maar wanneer gaan we nu beginnen schuiven met de rekenlat? Wat gebeurt er eigenlijk wanneer we schuiven met een gewone lat? Zoals hieronder afgebeeld kan je door te schuiven met een normale lat een optelling uitvoeren. Hieronder zie een optelling 6+4, je legt de nul-waarde van de tweede lat bij zes, en bij het getal 4 kunnen we aflezen dat de som van 6+4 gelijk is aan tien.

20190228_215126.jpg

Nu komt de aap uit de mouw! In plaats van een gewone schaal op een lat nemen we een logaritmische schaal, waarbij gelijke afstanden overeenkomen met gelijke verhoudingen. Nu zal er waarschijnlijk ergens een belletje rinkelen of zelfs een halve beiaard want dat is ook hoe de frequenties achter de toetsen van de piano werken (Alle piano’s zijn een beetje vals) en ook hoe de versnellingen op een fiets werken (De derailleur dirigeert de dans van tandwielen en trapcadans). Je zou je a fortiori kunnen afvragen of er meer is in het leven dan logaritmes…

Hieronder, op een echte rekenlat, zie je dat alle getallen die zich verhouden met een zelfde factor even ver van mekaar staan. De getallen 2, 4 en 8 liggen op zelfde tussenafstand. Alsook de getallen 1, 3 en 9. Door op de ene lat 1 (dat is voor alle getallen grootte-orde 0) gelijk te leggen met een getal op de andere lat (hier 2), vind je voor alle getallen de vermenigvuldiging met 2. In het voorbeeld hieronder wordt 2 vermenigvuldigd met 3, en wonder boven wonder dat is 6!

sliderule

Een vermenigvuldiging:

wordt dus hocus pocus op een rekenlat een optelling:

Uiteraard kan je nog veel meer met een rekenlat, maar het basis-principe zijn de logaritmische schalen die er voor zorgen dat er zich bij elke schuifbeweging een vermenigvuldiging voltrekt. En zo hebben onze grootvaders zich uren over hun rekenlat gebogen om te rekenen, of dat hebben ze ons tenminste wijsgemaakt…

Googolplexian groeten,

T.E.

 

 

miss slide rule

Fake nieuws uit het 16de eeuwse Brugge

Het was in 1561 niet de eerste en zeker niet de laatste keer dat het Brugs stadsbestuur met de handen in het haar zat om de vlotte bereikbaarheid van Brugge vanuit de Noordzee voor handelaars te promoten en gaf cartograaf Marcus Gerards de opdracht om een klein wandelingetje te maken met de waarheid. Hij kweet zich van z’n plichten jegens het stadsbestuur en tekende de kaart zo dat de Dampoort dichter van Sluis lag dan van de Grote Markt. In werkelijkheid ligt Sluis een flinke 15 km van Brugge…

old_map_of_bruges_by_marcus_gheeraerts_de_oude_in_1562_01

Ooit moet Brugge een perfecte ligging gehad hebben en perfect bereikbaar geweest zijn voor boten via de Noordzee. Maar de Noordzee is grillig en hervormde veel keren het landschap tussen Brugge en de Noordzee, zodat het voor de Bruggelingen een continue opdracht was om de ontsluiting via de Noordzee te verzekeren. Vele slimme ideeën verzandden letterlijk en omstreeks 1561 was de grootste bloeiperiode van Brugge al een tijdje voorbij ten voordele van Antwerpen en het stadsbestuur had er dus alle belang mee om de overzeese handelaren te overtuigen dat de toegang naar Brugge een ‘piece of cake’ was. Een nieuwe vaart, de Verse Vaart, was gegraven om de toegang tot de zee te verwezelijken en zo Damme en Sluis, en de bijhorende doorvoertaksen, te bypassen. In de opdracht stond letterlijk: ‘ten fine dat men mercken mach de goede navigatie’.

Heeft Marcus Gerard zich zonder verpinken voor de kar van het stadsbestuur laten spannen om deze kaart in verre mate te vervormen? Het lijkt dat z’n beroepseer hem toch noopte om deze cartografische dichterlijke vrijheid in kleine lettertjes te verantwoorden op een cartouche op het plan waarop hij aangeeft dat alles links van een stippellijn (waar de steden Damme en Sluis liggen) ‘vaag en ongedefinieerd’ zijn. De handelaars zullen zich wel een hoedje hebben geschrokken wanneer ze dachten dat ze in Sluis op een kleine boogscheut van Brugge waren. Marcus Gerard had ook gevoel voor humor want op de plattegrond tekende hij naast vele karren en paarden ook een plassende vrouw. Het is een beetje z’n handtekening geworden want ook op andere gravures laat hij een ‘pissende vrouken‘ de revue passeren.

Maar het prachtige stadsplan bracht niet veel zoden aan de dijk en Brugge bleef geplaagd door een slechte bereikbaarheid en de goede ontsluiting via de Noordzee bleef een pijnpunt. Tot het besef kwam dat als de zee niet naar Brugge wil komen, Brugge naar de zee moet gaan en de haven van Zeebrugge werd uitgebouwd. Het Zeebrugge waar onlangs, in de huidige 21ste eeuw, de heer Elon Musk van de firma Tesla z’n elektrische auto’s kwam gadeslagen die daar klaarstaan om verspreid te worden over het Europese achterland. Dan toch goed gedaan van Marcus Gerards, of zou Elon Musk ondertussen andere kaarten hebben? Ik hoop het van wel want anders zouden z’n zelfrijdende auto’s toch wat moeite hebben om Damme of Sluis te vinden.

Vele geheel van fake-nieuws gespeende groeten,

T.E.

P.S. Uiteraard wil ik je de ’tag’ van Marcus Gerards niet onthouden. Ergens op de plattegrond is onderstaande dame te vinden.

plassend-vrouwtje-small

“Papa, hoe is alles begonnen?”

‘Papa, hoe is alles begonnen?’, het is een existentiële vraag die elke vader wellicht vroeg of laat voorgeschoteld krijgt. Ik was alvast blij dat ik kon uitpakken met de oerknal. Dat ze ontdekt hebben dat alles in het heelal van mekaar wegvliegt, en dat die ontdekking was gebeurd door een slimme priester-astronoom uit België, Georges Lemaître! Het laat zich al raden dat dit gegeven uiteraard nieuwe vragen liet onspruiten aan het jonge brein van mijn dochter…

elisabeth

‘Ja maar papa, wat is er dan vóór de oerknal geweest is?’, was de zeer terechte vraag die zich vervolgens ontpopte. En dat is wel wat andere koek natuurlijk… ‘Dat is een beetje een bizarre vraag’, zei ik met een groeiend besef van het non-antwoord dat ik aan het formuleren was,  ‘want men denkt dat de tijd is gestart met de oerknal. Je kan net zo goed aan iemand vragen  hoeveel kilogram z’n lengte is, of hoeveel centimeter hij weegt. Het zijn even onzinnige vragen’. Volgende vraag dan: ‘… en waar is die oerknal dan begonnen?’ ‘Ook dat, mijn lieve dochter, is een onzinnige vraag, want ook de ruimte is begonnen bij de oerknal. De oerknal is overal.’ Het logische gevolg: ‘Ja zeg, papa, jij weet eigenlijk ook niets’.

Niets. Dat is wellicht een goede benaderende samenvatting van de wereldwijde kennis over het hoe en waarom van de oorsprong van alles. Zijn we ergens in een continue lus terechtgekomen van uitdijing naar krimp en om dan samen te knallen tot een volgende oerknal? Zijn we de vierdimensionele schaduw van een multidimensionaal universum? Is het universum slechts een luttel onderdeel uit een veel groter multiversum? Of is er simpelweg ergens een perfect logische uitleg waar nog niemand aan gedacht heeft?

Niets. De laatste woorden van mijn dochter echoden tussen mijn oren. In den beginne was er niets. En ik betrap mezelf er dan altijd op dat ik me dan een volledig lege ruimte voorstel, met uiteraard niets. Maar dat is natuurlijk een aanfluiting van het echte niets, want de aanwezigheid van die ruimtetijd is al totaal tegenovergesteld aan ‘niets’. Dus we moeten ons proberen ‘niets’ voor te stellen in afwezigheid van tijd en ruimte. Bijziend met onze 4-dimensionale paardenbril, met bovendien het besef dat massa en energie uitwisselbare begrippen zijn en dat de ruimtetijd helemaal geen vast gegeven is, ontbreekt het ons misschien nog meer aan fantasie en voorstellingsvermogen dan aan intelligentie en doorzettingsvermogen om een clou te kunnen vatten van wat er allemaal mogelijk is. Is het een infantiele extrapolatie van onze aardse waarnemingen te veronderstellen dat alles een oorzaak nodig heeft?

Hoe is alles begonnen? Ja dat mag je inderdaad wel vragen aan je vader vind ik. Het zou een tikkeltje onverantwoord zijn om iemand hier op aarde te droppen zonder dat je eigenlijk een zinnige uitleg achter de hand hebt over het hoe en waarom van ons bestaan. Het is net alsof je iemand van een ver continent zou doen overkomen en hem dan het antwoord verschuldigd blijft over het waarom.

Nochtans… we wisten blijkbaar dat die vraag zou komen. Ik neem haar geboortekaartje bij de hand en herlees het laatste deel van het rijmpje nog eens :

…

Wie ben ik, zal zij vragen
En waar kom ik vandaan
Waarom korten dagen
En hoever is de maan

Hoe ben ik ontstaan
Wie heeft mij verzonnen
Hoe is het gegaan
Hoe ben ik begonnen

En wij zullen antwoorden
Met liefde
Met heel veel liefde

En toen wist ik het weer allemaal.

Met immer uitdijende liefdevolle groeten,

T.E.

 

kaartje-achterkant

 

 

 

 

 

Maansverduistering

Het resultaat van een amateurfotograaf… Hoe dan ook wonderlijk mooi! Gelukkig heb ik deze live gezien, want de volgende is pas over tien jaar!

_mg_0901

Ik vraag me trouwens af hoe de mensen van ‘The Flat Earth Society‘ onderstaande foto verklaren… hierop is duidelijk de schaduw van de ronde vorm van onze eigen aarde te zien.

_mg_0918

O ja ik weet het al… een schijf is ook een ronde vorm en dus geeft die ook een rondvormige schaduw?  Ze weten wellicht op alles een goed antwoord…

Merkwaardige ijsvormen ontdekt in de tuin van buurvrouw Micheline (het moet niet altijd Mars zijn)

Ik werd vandaag tegengehouden op straat door buurvrouw Micheline van even verderop in de straat. Ze had een onverklaarbare ijsvorming ontdekt in het waterschoteltje voor de vogeltjes. En inderdaad… een holle pijp staat op het ijs naar boven gericht van wat een spiegelgladde bevroren plasje had moeten zijn. Ze vroeg of ik er een verklaring voor had. Ik moest het antwoord schuldig blijven, maar ik heb gezegd dat ik het eens ging rondvragen. Hieronder de foto’s van het merkwaardige fenomeen. Wie heeft hier een verklaring voor? Foto’s zijn hieronder te vinden.

Moeten we het zoeken in de richting van het uitzetten van het ijs ten opzichte van het water in combinatie met een lichte golving door de wind? Laat maar weten hoe we dit zouden kunnen verklaren.

Merkwaardige groeten, en tevens ook groeten van mijn buurvrouw,

T.E.

20190119_143440.jpg

20190119_143407.jpg

20190119_143647.jpg

Aanvulling:

Ondertussen is het fenomeen uitgeklaard, we hebben hier te maken met een ‘ice spike’ het komt zeldzaam voor, maar het fenomeen is wel beschreven. Wikipedia heeft er een lemma aan gewijd: https://en.wikipedia.org/wiki/Ice_spike.

Leer het theorema van Bayes. It won’t kill you. Integendeel.

Komt een man bij de dokter… zo beginnen wel meer verhaaltjes. En zo begint ook het verhaal waarmee we de deur van de Bayesiaanse wereld op een kiertje willen zetten om het licht van het theorema te laten schijnen op ons denken. Een verhaal over hoe we onze beslissingen moeten bijsturen, en onze kansen kunnen updaten wanneer er nieuwe feiten bekend zijn.

bayes t-shirt

Komt een man bij de dokter en krijgt te horen dat hij lijdt aan een gevaarlijke ziekte waarbij hij binnen de dag zal sterven. De man is uiteraard nogal verbouwereerd en vraagt aan de dokter of hij het echt zeker is. De dokter leest nog eens de bijsluiter van de test: “… bij personen die de ziekte hebben, reageert de test in gemiddeld 99% van de gevallen op de ziekte door een positieve uitslag; bij personen die de ziekte niet hebben, is de kans 2% dat de test (ten onrechte) een positieve uitslag heeft…” ’s Mans moed is helemaal in ’s mans schoenen gezakt bij het horen van deze onheilspellende percentages. Hij is ervan overtuigd dat z’n laatste uren geslagen zijn.

Gelukkig bestaat er een medicijn dat de ziekte kan genezen. Het medicijn heeft echter het nadeel dat het perfect doeltreffend is wanneer de ziekte aanwezig is, maar bij afwezigheid van de ziekte is het medicijn instant dodelijk. Dat zijn zo van die medicijnen die je dus beter uit het bereik van kinderen houdt. Doet de arme man er goed aan van zo snel mogelijk het medicijn te nemen, zodat de ziekte niet kan leiden tot z’n veel te vroege dood? Hij doet er alleszins goed aan van zich in z’n vermeende laatste levensuren te verdiepen in wat basistheorie over kansrekening, voorwaardelijke kans en het theorema van Bayes.

De kans op iets is altijd kleiner dan 1. Het is de verhouding tussen het aantal keren dat iets gebeurt en het totaal aantal gebeurtenissen. Als er wordt gezegd dat er 50% kans is op kop bij het opwerpen van een munt, dan is de kans op kop 0,5. Het is maar een aanname, maar in de statistiek wordt dat als volgt genoteerd:

De kansen die de dokter opgeeft, zijn allebei voorwaardelijke kansen. Dat is een kans dat iets gebeurt gegeven een andere gebeurtenis. De kans op een positief testresultaat, gegeven dat je ziek bent is 0,99. Dit wil zeggen dat bij 100 mensen die ziek zijn er 99 positief zullen tekenen.

De man in kwestie is in feite vooral geïnteresseerd in de kans dat hij ziek is, gegeven dat er een positieve test is. En hier komt de formule van Bayes op de proppen, die het verband geeft tussen de voorwaardelijke kansen P(ZIEK|POS) en P(POS|ZIEK):

De dominee Thomas Bayes vond dit zelfs iets te triviaal om er over te publiceren, en pas na z’n dood is z’n naam verbonden geraakt aan deze stelling.

Hoera, riep de man, dat is wat ik wil weten. De noemer van de breuk geeft de algemene kans op een positieve test, dus ongeacht of die persoon ziek is of gezond. In statistiek betekent dit het optellen van kansen.

Alles op een rijtje en dan vlug uitrekenen, denk de man, want hij voelt zich al wat zwakjes worden… maar hij ontdekt dat er nog één cruciaal gegeven ontbreekt en dat is de kans P(ZIEK), de kans dat je hebt om de ziekte op te lopen. Hij belt naar de dokter en vraagt hoe zeldzaam de ziekte is en de dokter antwoordt hem dat die kans 1 op 1000 is.

Laten we even alle gegevens op een rijtje zetten:

Hierdoor kunnen we afleiden dat:

De info op de bijsluiter kunnen we als volgt noteren:

Nu vullen we in onderstaande uitdrukking de waarden in:

Alles ingevuld komt de man tot de volgende constatatie:

Dat wil zeggen dat hij slechts een kleine 5% kans heeft dat hij effectief de ziekte heeft. Hij slaakt een zucht van opluchting en bedankt vriendelijk voor het medicijn, want de kans is nog altijd veel groter dat hij die ziekte niet heeft dan dat hij de ziekte wel heeft. In onderstaande tabel is bovenstaand voorbeeld uitgewerkt voor een bevolking van 1 miljoen mensen. Daarvan zullen 1000 mensen ziek zijn. Bij 990 zal dit een gedetecteerd worden door een positieve test. De 2% mensen die onterecht positief testen zijn echter een veelvoud van de 990 waarbij de ziekte gedetecteerd wordt. Hierdoor is het gemakkelijker te begrijpen dat de kans op ziekte gegeven een positieve test ongeveer gelijk is aan 5%.

screenshot 2019-01-18 at 20.21.37

Dit voelt uiteraard wat contra-intuïtief aan en dat is juist waarom het theorema van Bayes zo belangrijk is. Het toepassen wrikt je los van je intuïtie, die je in sommige gevallen helemaal de mist instuurt. Het theorema zorgt voor een update van je kansen. De oorspronkelijke kans, ook wel de a-priori-kans genoemd is hier de kans op het optreden van de ziekte wat hier 1 op 1000 is. De kennis die toegevoegd is aan het systeem is hier het positieve testresultaat, en die zorgt voor een a-posteriori-kans van 1 op 20. We kunnen dus stellen dat de kans 50 keer groter geworden is door het positieve testresultaat.

Maar het impact van het theorema gaat veel ruimer, want je kunt je wel voorstellen dat de man met welbepaalde klachten naar de dokter is gegaan, en dat de dokter bovendien na z’n onderzoek ook weer wat feiten heeft verzameld. Als de man duidelijke uitwendige tekenen vertoont van de aanwezigheid van de ziekte zal dit feit uiteraard samen met de test moeten geëvalueerd worden. En daar is waar het schoentje knelt tussen de voor- en tegenstanders van deze Bayesiaanse statistiek, want er moeten inschattingen gemaakt worden en gebruik gemaakt worden van de kennis die je al hebt, en dat subjectieve gegeven is iets waar sommigen een koudwatervrees voor hebben.

Een logische volgende stap zou zijn om een tweede test te doen. En dan zal de man opnieuw z’n kansen kunnen updaten. Dan is de a-priori-kans de kans op de ziekte gegeven 1 positieve test (1/20) en is de a-posteriori-test de kans op de ziekte gegeven 2 positieve testen. Opnieuw Bayes toepassen en je mening durven te veranderen als de feiten veranderen.

Nu ben je gewapend voor het driedeurenprobleem. Je bent gast in een grote televisieshow en er zijn 3 glimmende deuren. Achter één zit een auto en achter twee andere deuren zit een geit. De presentator vraagt je om een deur te kiezen. Nadat je een deur hebt gekozen opent de presentator een deur waarachter een geit zit. Bayes zal je vertellen dat je altijd meer kans hebt om te veranderen van deur nadat de presentator de geit heeft getoond, de complete uitleg vind je op op wikipedia.

Dat was een korte maar boeiende omweg langs de wondere wereld van de statistiek en de kansrekening…

Bayesiaanse groeten,

T.E.

Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen…

We willen uiteraard niet dat het gebouw, waar we ons in vertoeven, als een kaartenhuisje in elkaar stuikt wanneer de aarde aan het schudden gaat, een gebeurtenis die in onze contreien gelukkig eerder zeldzaam is. De wetenschap nodig om gebouwen sterk genoeg te maken is onder andere gebaseerd op de eigenfrequentie van de structuur, en dat is iets waar kleuters en hooligans veel meer over weten dan we denken…

registratie

Een aardbeving is een goed gekozen woord, want een aardbeving is samengesteld uit vele trillingen met een frequentie en een amplitude. Het spreekt vanzelf dat de amplitude een graad is voor de zwaarte van een aardbeving, maar ook de frequentie speelt een grote rol in de manier waarop een gebouw zal reageren. Ondertussen zijn er tal van aardbevingen geregistreerd en weet men welke amplitudes en frequenties kunnen optreden bij aardbevingen, en met gesofisticeerde software kun je zelfs een gebouw virtueel blootstellen aan een reeds opgetreden aardbeving, waarvan de parameters gekend zijn.

We moeten dus een analyse maken van de manier waarop een structuur zal reageren bij dynamische belastingen. Dat is gemakkelijker gezegd dan gedaan, daarom gaan we eens kijken waar we trillingen waarnemen rondom ons. Op dit moment hoor ik bijvoorbeeld de wasmachine vertragen van toerental en als je er goed op let lijken de bewegingen bij een bepaalde lage frequentie veel heviger dan bij een hoger toerental. We stellen dus vast dat een wasmachine een eigenschap heeft, waarbij hij lijkt te willen dansen bij een bepaalde frequentie. Deze frequentie noemen we de eigenfrequentie.

Maar dat moet je niet aan kleuters uitleggen, want die rennen naar een schommel en vinden zonder enig probleem de eigenfrequentie van het systeem. Ook hooligans moet je niet lastigvallen over wiskundige formules betreffende het dynamisch gedrag van een stilstaande interventiewagen. Ze vinden feilloos de eigenfrequentie van het voertuig en weten precies wanneer ze een extra duwtje moeten geven om het ongelukkige voertuig te kapseizen. En dat doen ze trouwens altijd volgens de dwarse en dus zwakke richting van het systeem, zonder dat ze de kwadratische oppervlaktemomenten hebben berekend. Straf toch.

Zoals een wasmachine, een schommel en een voertuig hebben gebouwen ook frequenties waarbij ze gemakkelijker trillen, deze frequenties zijn afhankelijk van de eigenschappen van het gebouw (gebruikte materialen, stijfheid, vorm, hoogte,..). Je kan je wel inbeelden dat voor een hoog regelmatig gebouw het heen en weer bewegen een basisvervorming zal zijn, die hoort bij een bepaalde frequentie. Als de aardbeving net trilt op die basisfrequentie (horende bij de basisvervorming), dan zullen de krachten op het gebouw zeer groot worden (denk maar aan de hooligans die altijd net op het juiste moment een duwtje geven tegen een voertuig) en die zullen aanleiding geven tot grote vervormingen. Dit alles kan leiden tot het bezwijken van het gebouw, zeker wanneer de amplitude (het aantal hooligans in onze analogie) groot is. Je zou kunnen zeggen dat er resonantie is van het gebouw met het trillen van de aarde.

Niet alleen het trillen van de aarde kan resonantie veroorzaken in een constructie. Er bestaat een filmpje van de Tacoma Narrow Bridge waarbij de resonantie werd veroorzaakt door de wind, maar met niet minder fatale gevolgen voor de constructie van de hangbrug. Los van de resonantie een ‘cool’ filmpje om te zien. Maar het bezwijken had dus niets met aardbevingen te maken. En dat is net zo tof aan wetenschap dat je alles wel ergens aan elkaar kunt linken, maar toch niet helemaal.

Wat zorgt er nu voor dat een gebouw tegen een duwtje kan? Vooreerst moet het gebouw goed gefundeerd zijn. Als de grond verzakt tijdens een seismische gebeurtenis, dan zal het gebouw uiteraard mee bewegen. Hoewel het meestal een goed plan is om een gebouw zo stijf en zo sterk mogelijk te ontwerpen, is er toch een iets andere denkwijze nodig in het ontwerp tegen aardbevingen, en dat heeft alles te maken met het dissipatievermogen van het gebouw. Dissi-wat?

De dissipatie is de absorptie van de energie (van de aardbeving) door het plastisch gedrag van het gebouw. In feite is het opnieuw logisch te begrijpen als we het vergelijken met een auto die botst tegen een muur. Als je in die auto zit dan zal je blij zijn dat de auto-ontwerper een kreukelzone heeft voorzien tussen jezelf en de voorkant van de auto (even in de veronderstelling dat je frontaal tegen die muur bent gereden). Die kreukelzone absorbeert de energie van de botsing. En dat willen we ook zoveel mogelijk introduceren in een gebouw.

Hoe meer kreukelzones in het gebouw, hoe groter het dissipatieve vermogen van het gebouw, hoe meer we op ons twee oren kunnen slapen bij een aardschok. En omdat niemand hen zou begrijpen hebben wetenschappers ook hier afkortingen geïntroduceerd… wanneer ze spreken van DCL, DCM of DCH, bedoelen ze dus respectievelijk ‘ductility class low’ (geen kreukelzones), ‘ductility class medium’ (kreukelzones) en je raadt het al DCH is ‘ductility class high’, wat staat voor een gebouw met een zeer groot dissipatief vermogen. Het verfrommelt serieus maar het kan wel tegen een duw zonder in te storten.

Iedereen doet er eigenlijk goed aan om bij een botsing zoveel mogelijk zich te gedragen als een kreukelzone. Zo stappen ladderzatte passagiers, die zich gedragen als een zak patatten, soms zonder kleerscheuren uit een auto, terwijl de meer nuchtere reisgezellen, die zich schrap hebben gezet (verhoogde stijfheid), meerdere breuken oplopen.

Mijn welgemeende excuses mocht ik hiermee mensen op bizarre ideeën hebben gebracht, maar het is gewoon toegepaste wetenschap!

Dissipatieve groeten,

T.E.

Hoe sterk is een biljet van 10 euro?

Hoe harder je trekt hoe langer het wordt … en hoe harder je duwt hoe korter het wordt. Dit lijkt niet meteen de meest spectaculaire wetenschappelijke vondst en het lijkt ook niet meteen iets wonderlijk of ingewikkeld, maar het is toch het grondbeginsel waar een bouwkundig ingenieur dag in dag uit mee aan de slag gaat. 

In het latijn klinkt het natuurlijk iets ‘spannender’ : ‘Ut tensio sic vis’. Zo de rek, zo de kracht. Ook wel gekend als de wet van Hooke. Maar het is eigenlijk niet echt een wet, zoals de wetten van Newton, maar meer een materiaalvergelijking die slechts beperkt opgaat. Want als je te hard trekt, dan weet iedereen dat het vroeg of laat breekt. Het ene materiaal al sneller dan het andere, maar zelfs de beste rekker begeeft het op een gegeven moment.

Het is een wetmatigheid dat voor quasi alle materialen opgaat. De mate waarin iets verlengt zal uiteraard afhankelijk zijn van het materiaal, zo is het duidelijk dat een rekker gemakkelijker zal uitrekken dan een stalen lat. Maar dat het materiaal zal verlengen staat buiten kijf. Dat gaat ook op voor je eigen lichaam, dat belast je ook door rechtop te lopen. Daarom ben je ’s morgens ook altijd langer dan ’s avonds. ’s Avonds ben je moe, versleten en dus ook een beetje korter…

De stijfheid van een bepaalde constructie is de moeilijkheid om het te verlengen of meer algemeen te vervormen. De stijfheid is afhankelijk van het gebruikte materiaal en ook afhankelijk van de vorm. Hier dringt zich uiteraard een klein voorbeeldje op. Stel dat je wil bungee-jumpen. Dan zijn er twee dingen waar je je zorgen over maakt: zal de schok niet te groot zijn en zal de rekker het houden. Een lage stijfheid zal ervoor zorgen dat er voldoende vervorming mogelijk is: dus het materiaal elastiek is goed gekozen. Maar of de rekker het zal houden is ook afhankelijk van de dikte van de rekker: geen zinnig mens wil van de brug springen aan een elastiekje waarmee je je brooddoos dichthoudt.

Over zinnige mensen gesproken… Er is een verhaal van een bepaald persoon die geen rekening gehouden had met de wet van Hooke. Hij wou een bungee-sprong doen van een 20 m hoge brug en deed netjes z’n huiswerk en zocht een bungee-rekker die een paar meter korter was dan 20 m zodat hij met een gerust gemoed… te pletter viel, want hij had geen rekening gehouden met de verlenging van het koord. Het leverde hem in 1999 de Darwin Award op, een cynische eer die wordt gegeven aan mensen die “bijdragen” aan de menselijke evolutie door zichzelf op een domme manier te laten verongelukken waardoor hun genen verwijderd worden uit de genenpoel der mensheid.

Even terug naar de bouwkunde, waar alles min of meer draait rond deze materiaalvergelijking. Het lijkt een simpel gegeven, je zou je zelfs afvragen waarom er zoveel jaar nodig is om een bouwkundig ingenieur te worden als het enige dat je moet weten is dat iets meer verlengt als je er harder aan trekt. Dat komt omdat dat verlengen en verkorten in een constructie overal anders is. Zelfs bij een eenvoudige constructie zoals een plank over een grachtje heb je bovenaan materiaal dat verkort en onderaan materiaal dat verlengt, zodat de plank gaat buigen. Dus je kan trekken en duwen tezamen hebben in een doorsnede. Omdat dat zoveel voorkomt hebben bouwkundigen het trekken en duwen ‘buigend moment’ genoemd.

De weerstand van een constructie om te buigen is de buigstijfheid, en die kom je in veel formules die de doorbuiging berekenen tegen als ‘EI’, waarbij E staat voor de stijfheid van het materiaal en I voor de vorm van de doorsnede. Zonder verder dieper in te gaan op onderstaande tabel, moet je je ogen maar eens laten glijden over alle EI-buigstijfheden die in de formules staan…beam-formulas-2-638

Het is dus de opdracht van een bouwkundig ingenieur om een constructie ‘slim te ontwerpen’ om de wet van Hooke te slim af te zijn. We willen een constructie ontwerpen waarin de spanningen, en dus vervormingen zo klein mogelijk blijven. Als een lat niet mag buigen, is het evident dat je de lat niet plat houdt, maar recht. Dat wil zeggen dat we sterkere constructies kunnen maken door balken recht te zetten en niet plat…

Om af te sluiten heb ik een klein experimentje opgezet om een biljet van 10 euro sterker te maken door een slim ontwerp. Wanneer we een biljet opleggen tussen twee bierpotten blijkt dat het gewicht van een stuk van 2 euro al veel te zwaar is en dat de ‘constructie’ bezwijkt.

Nu is het de bedoeling om door te spelen met de vorm van de doorsnede de constructie zo sterk mogelijk te maken. Ik heb ervoor gekozen om het biljet te op te vouwen als een accordeon om zo de stijfheid te verhogen, zo probeer ik om het platte briefje zoveel mogelijk te laten werken als balkjes …

Zou de nieuwe constructie nu het 2 euro stuk wel kunnen dragen?

 

 

 

 

 

 

 

 

Of zou het zelfs nog iets zwaarder kunnen dragen?

 

 

 

 

 

 

 

Wie zal het zeggen?

 

 

 

 

 

 

Het is uiteindelijk maar papier hé…

 

 

 

 

 

 

Maar wel geplooid door een bouwkundig ingenieur…

 

 

 

 

 

 

Tja… wat kent die van plooien?

 

 

 

 

 

 

Hier komt het:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tadaa!

We kunnen een volledige volle bierpot dragen met het briefje van 10 euro! Dat wil zeggen dat we met een slim ontwerp dus wel degelijk het verschil kunnen maken…

Dus toch iets geleerd tijdens mijn jaren opleiding bouwkundig ingenieur… en nu vlug opdrinken vooraleer de constructie bezwijkt… ook dat heb ik gelukkig geleerd tijdens mijn jaren opleiding!

Bouwkundige groeten,

T.E.

 

20181124_191049