Geplaatst op door Tijs Essel

Het hemelse getouwtrek van de maan en de zon

Het ritme van de getijden is onlosmakelijk verbonden met de cadans van de maan en de zon in ons zonnestelsel. De variatie van de afstand van een punt op aarde tot de maan en de zon is via de gravitatiewetten de motor van de getijden. De analyse van de getijdenmetingen brengt verschillende cyclische patronen aan het licht. De meest duidelijke cyclus is uiteraard deze van het halfdaagse eb en vloed, maar ook het halfmaandelijkse springtij en doodtij is duidelijk zichtbaar. De wiskunde die dit fenomeen beschrijft is een welbekende goniometrische formule die iedereen ooit vanbuiten moest leren, zonder misschien het nut te beseffen… tot vandaag!

De formules van Simpson

De onderstaande formule komt uit een reeks goniometrische formules die bekend staan als de formules van Simpson en vinden o.a. hun toepassing in de fysica bij het samenstellen van cyclische fenomenen, zoals de lunaire en solaire componenten van het getij. Het product van de cosinussen in het rechterlid geeft een interferentiepatroon.

$$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$$

In feite zegt de bovenstaande formule op een vereenvoudigde wijze hoe het effect van de zon en de maan opgeteld leidt tot de halfmaandelijks zwevende getijden. De relatieve baan van de zon en de maan zijn tijdsafhankelijke fenomenen met een frequentie die bijna dezelfde is. En net dat kleine verschil in frequentie zal een zweving veroorzaken die we ervaren als springtij en doodtij. De hoeken $\alpha$ en $\beta$ in de formule zijn geen vaste hoeken, maar hoeken die volgens een bepaalde vaste (hoek)snelheid veranderen. Hiervoor gebruiken we het begrip hoekfrequentie $\omega$ met eenheid hoek per tijdseenheid, bv. $\frac{\text{RAD}}{s}$ of $\frac{\text{graden}}{uur}$. De variabele hoek wordt uitgedrukt als $\omega t $: hoekfrequentie vermenigvuldigd met tijd. Een cyclisch effect kan je beschrijven als een cosinus-functie waarbij de amplitude $A$ en de hoekfrequentie $\omega$ is: $f(t)=A\cos(\omega t)$.

Hoekfrequenties bepalen van zon en maan

Gezien er 360° per rotatie zijn en 24 uur op een dag, is de hoekfrequentie van de zon: $\omega_{S}=\frac{360}{24}=15 ^{\circ}/u$. Deze frequentie is eenvoudig, want onze klok is per definitie afgestemd op de relatieve rotaties tussen de aarde en de zon. De frequentie van de maan is iets ingewikkelder te bepalen. Een synodische maand (de periode tussen twee opeenvolgende nieuwe manen) heeft een periode van 29,53 dagen of 708,72 uur. Ten opzichte van de aarde geeft dit een hoekfrequentie van $\omega=\frac{360}{708{,}72}=0{,}508 ^{\circ}/u$. Aangezien de aarde zelf roteert met een hoeksnelheid van $15^{\circ}/u$ bedraagt de relatieve hoeksnelheid van de maan voor een waarnemer op aarde $15-0{,}508=14{,}492^{\circ}/u$.

Aangezien de getijden zich zowel bij de maan als bij de zon 2 maal per cyclus voordoet (aantrekking + wegslingering) moeten we de hierboven gevonden frequentie verdubbelen voor het effect van het getij. (Lees ook: Over eb en vloed: het systeem van de getijden.) Zo komen we tot de onderstaande hoekfrequenties (de index 2 duidt op het halfdagelijkse karakter van deze hoekfrequentie):

$$ \omega_{M_{2}}=2 \times 14{,}492=28{,}984 ^{\circ}/u $$

$$ \omega_{S_{2}}=2 \times 15=30^{\circ}/u $$

We herschrijven de formule van Simpson om de periodes van het getij te voorspellen:

$$\cos(\omega_{M_{2}}t)+\cos(\omega_{S_{2}}t)=2\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}t \right)\cos\left(\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}t\right)$$

Hierin herkennen we twee fundamentele frequenties:

$$\omega_{\text{gem}}=\frac{\omega_{S_{2}}+\omega_{M_{2}}}{2}$$

en

$$\Delta\omega=\frac{\omega_{S_{2}}-\omega_{M_{2}}}{2}$$

De periode van de gemiddelde frequentie bedraagt exact de periode van de cyclus van eb en vloed.

$$T_{\text{gem}}=\frac{360^{\circ}}{\omega_{\text{gem}}}\approx 12{,}2 \ \text{uur}$$

De periode van de andere frequentie bedraagt:

$$T_{\Delta}=\frac{360^\circ}{\Delta\omega}=\frac{720^\circ}{\omega_{S_2}-\omega_{M_2}}\approx 29{,}5 \ \text{dagen}$$

Omdat de amplitude van de omhullende zowel een positief als een negatief maximum heeft, herhaalt het patroon van maximale en minimale getijamplitudes zich om de halve periode:

$$\frac{T_{\Delta}}{2}\approx 14{,}8 \ \text{dagen}$$

Dit is precies de periode tussen twee opeenvolgende springtijen (of twee opeenvolgende doodtijen).

De formule van Simpson bracht ons van de hemel met onze voeten terug in het water, waarbij zowel de periode tussen eb en vloed als de periode tussen doodtij en springtij verklaard worden door het gedrag van de zon en de maan ten opzichte van de aarde.

Amplitudes bepalen

Wat betreft de grootte van de effecten stoten we op de grenzen van de vereenvoudiging want de formule van Simpson houdt geen rekening met mogelijke verschillende amplitudes. In realiteit is het effect van de verschillende componenten niet even groot. De getijdenkrachten zijn evenredig zijn met $\frac{\text{M}}{r^{3}}$ waarbij M de massa is van het hemellichaam en r de afstand tot de aarde is. De zon is uiteraard veel zwaarder dan de maan, maar staat ook veel verder weg. Hieruit volgt dat de maangetijden ongeveer dubbel zo sterk zijn als zongetijden. De invloed van de zon in vergelijking met de maan bedraagt zo’n $46\%$. Het gemeten gemiddelde halftijvlak in Nieuwpoort voor de periode 2011-2020 bedroeg 2,417 mTAW, Het gemiddelde tijverschil bij springtij en bij doodtij bedroeg respectievelijk 4,923m en 3,184m. Uitgedrukt in amplitudes is dit 2,462 m bij springtij en 1,592m bij doodtij. Aangezien de effecten van maan en zon elkaar versterken bij springtij en verzwakken bij doodtij kunnen we volgend stelsel oplossen om de amplitudes van maan- en zoneffect te bepalen:

$$\left\{\begin{matrix} A_{M}+A_{S}=2{,}462m \\ A_{M}-A_{S}=1{,}592m \end{matrix}\right.$$

Hieruit volgt dat $A_{M}=2,027m$ en $A_{S}=0,435m$, en dat de bijdrage van de zon in verhouding tot de maan amper $21\% $ bedraagt. Dit is op het eerste zicht merkwaardig omdat, op basis van de astronomische gegevens, je hier eerder $46\%$ zou verwachten. Dat kan verklaard worden doordat de transformatie van de astronomische getijkrachten naar het lokale getij beïnvloed wordt door tal van factoren zoals de aanwezigheid van de continenten die de stroming blokkeren, de vorm van de zeebodem en de kustlijn, de lokale resonantie van zeeën die zorgt voor versterking of demping van bepaalde frequenties en het Coriolis-effect waardoor waterstromen afbuigen onder invloed van de rotatie van de aarde. In de Noordzee heeft het effect van de maan blijkbaar een grotere resonantie dan het effect van de zon. Zo komen we tot de volgende uitdrukking voor de bijdrage aan het waterniveau voor het halfdagelijkse effect van de maan en zon:

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t)$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t)$$

Waarbij $A_{M}=2{,}027m$ en $A_{S}=0{,}435m$. Dit betekent dat het aandeel van de maan verantwoordelijk is voor een gemiddelde getijslag van 4 meter in onze contreien.

De beginfase van de cycli

Op een willekeurig moment is er een faseverschil tussen beide getijcomponenten en dienen we bijgevolg een beginfase $\varphi_M$ en $\varphi_S$ toe te voegen aan de respectievelijke argumenten van de cosinusfuncties.

$$h_{M_{2}}(t)=A_{M_{2}}\cos(\omega_{M_{2}} t+\phi_{M_{2}})$$

$$h_{S_{2}}(t)=A_{S_{2}}\cos(\omega_{S_{2}} t+\phi_{S_{2}})$$

Enkel op het het moment van lokale springtij zullen de beginfasen voor beide functies gelijk zijn aan 0, dat is logisch want enkel bij springtij is zowel het effect van de maan als de zon maximaal, wat zich herleidt tot een cosinus functie met argument 0.

Springtij vindt met vertraging plaats ten opzichte van het moment van volle of nieuwe maan. Hierdoor zal tussen de astronomische fase en de lokale getijdenfase ook een faseverschil zitten, die afhankelijk is van de lokale omstandigheden. Het fenomeen waarbij aarde, zon en maan op één lijn staan wordt syzygie genoemd. Bij getijvoorspellingen zal de beginfase van een component bestaan uit een parameter die afhangt van het astronomische syzygie-moment opgeteld met een andere parameter die het ouderdom van het lokale getij in rekening brengt.

Metingen versus voorspellingen

Aangezien we enkel maar de halfdagelijkse component van de maan en de zon in rekening brengen, zal de voorspelling van het getij een som zijn van twee cyclische functies. In de afbeelding hieronder zie je de cyclische functie van maan en van zon, die elk lopen met een licht verschillende frequentie. In een periode van ongeveer 14 dagen vertonen de componenten een afwisseling van constructieve en destructieve interferentie, waarbij de effecten respectievelijk in fase en uit fase (in tegenfase) lopen. Hierdoor versterken en verzwakken de effecten elkaar beurtelings.

Bij het beschouwen van de som van deze twee componenten zien we een interferentie ontstaan, die leidt tot he afwisselend optreden van springtij en doodtij. Deze interferentie vindt men terug in de trage (halfmaandelijkse) en de snelle (halfdagelijkse) frequentie van het rechterlid van de formule van Simpson. verder uit te werken. Een andere methode om deze interferentie te beschrijven is met behulp van fasoren (roterende vectoren in het complexe vlak), waarbij het reële gedeelte beschouwd wordt. (Zie ook: Over het optellen van fasoren).

Als we voor een bepaalde periode de metingen beschouwen tussen twee springtijen (hieronder afgebeeld) dan zien we eenzelfde interferentiepatroon ontstaat. De afwijkingen tussen het model en de metingen zijn in eerste instantie te wijten aan meteorologische omstandigheden, die zorgen voor opzet, en in tweede instantie ook aan de sterke vereenvoudiging van het voorspellingsmodel, want in realiteit zijn er tientallen componenten die meegenomen worden in de voorspellingen. Desondanks stellen we met enige wetenschappelijke vreugde vast dat een zeer eenvoudige model toch al een behoorlijk voorspellend karakter geeft en ook het fenomeen van springtij en doodtij voortreffelijk verklaart.

Op deze manier hebben we een fascinerende link gelegd tussen de ooit mysterieuze getijden die we op aarde waarnemen en de astronomische klok van enkele zeer bekende hemellichamen.

Lunaire en solaire groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Ook voor Coronavirus-data geldt dat een getal meestal begint met het cijfer 1, 2 of 3, de wet van Benford volgend

Als je de lijst van Corona-besmettingen per land overloopt valt het je niet meteen op, maar de meeste getallen beginnen met 1, 2 of 3. En dat is toch bizar, want we hebben toch 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer, met bijhorende kans van 1 op 9 (11%) Klopt niet. En er is meer: bijna alles om ons heen volgt deze wetmatigheid: de kans dat een getal begint met ‘1’ is 30%, de kans op een 9 slechts een kleine 5%. Neem maar de proef op de som en turf de getallen in je krant: je zal zien dat meer dan de helft van de getallen start met 1, 2 of 3. Ik vind dit waanzinnig! Het is de fysische wereld die spartelt in het keurslijf van ons positiestelsel.

2020-03-08 09_29_53-Benford.xlsx - Excel

Ik poneerde dit gisteren bij een vriend en we namen samen de proef op de som: we namen de krant en ik turfde het aantal keer dat een getal met een bepaald cijfer begon. En na enkele pagina’s van De Tijd doorploegd te hebben op zoek naar getallen was het overduidelijk: hoe hoger het cijfer hoe minder kans dat het een startcijfer is. Hieronder de uitslag waaruit overduidelijk blijkt dat de kans op het eerste cijfer niet gelijk verdeeld is.

turven De Tijd

We hebben daarna zowel het aantal inwoners als de oppervlakte van elk land op de zelfde manier geanalyseerd en we komen tot de zelfde verrassende vaststelling dat het cijfer 1 het meest voorkomt of het nu gaat over een aantal inwoners of een oppervlakte. Het maakt zelfs niet uit in welke eenheid de oppervlakte wordt beschouwd vierkante km, vierkante mijl, hectares,… de uitkomst zal eenzelfde beeld geven.

opp inwoners per land - benford

Ook ik vond dat op het eerste zicht verrassend en zelfs verbluffend: hoe is het mogelijk? Het fenomeen blijkt beschreven te zijn door de wet van Benford, en dat is wat wikipedia ons vertelt:

“De wet van Benford beschrijft de frequentieverdeling van het begincijfer van getallen in grote dataverzamelingen waarin een beperkte mate van stochasticiteit optreedt. De wet van Benford werd in 1881 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige en astronoom Simon Newcomb, maar kreeg grote bekendheid door de herontdekking en publicaties in 1938 van Frank Benford, een fysicus die zijn hele leven bij het Amerikaanse bedrijf General Electric heeft gewerkt.”

De wet van Benford drukt op volgende wijze uit wat de kans is op een startcijfer ‘d’:

Toegepast op het cijfer ‘1’ geeft dit:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kans (%) 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Hoe kunnen we dit verklaren? Er lijkt niet echt een eenvoudige wiskundige verklaring te zijn. Wat we wel kunnen aantonen is dat als we een frequentieverdeling beschouwen van de startcijfers die onafhankelijk moet zijn van de gebruikte eenheid, we op een logaritmische frequentieverdeling komen, zoals hierboven beschreven.  Concreet wil dat zeggen dat we er van uitgaan dat de eenheid voor bepaalde grootheden geen invloed heeft op het resultaat. Want het is de mens die heeft uitgevonden hoelang een meter is. Daar kan de natuur of de werkelijkheid der dingen zich niets van aantrekken.

Eens je beseft dat het switchen van de ene eenheid naar een andere in feite een vermenigvuldiging is, kan je het fenomeen begrijpen door er een cirkelvormige rekenlat bij te halen. Jammer genoeg heb ik er geen in bezit, maar op een Breitling Navitimer zijn de buitenste rijen getallen die je kan verdraaien ten opzichte van elkaar eigenlijk een rekenlat. Wat kan je daarmee doen? Getallen vermenigvuldigen door te draaien, zie ook: De geheimen van grootvaders rekenlat. Graag breng ik je aandacht op het feit dat meer dan de helft van de cirkel getallen zijn die beginnen met een 1, 2 of 3. Dus hoe meer we willekeurige getallen gaan vermenigvuldigen hoe meer we zullen voldoen aan de wet van Benford. En we moeten hierbij ook opmerken dat we meeste natuurwetten gebaseerd zijn op een vermenigvuldiging, denk maar aan F=ma, de gravitatiewet, wetten van Maxwel,…

Breitling-Navitimer-Rattrapante.--600x406

Een test die je eenvoudig zelf kunt doen is willekeurig gekozen getallen A, B en C vermenigvuldigen op een rekenmachine en turven wat de frequentieverdeling is van uitkomst AxBxC, en na een tijdje zal de wet van Benford zich aan je openbaren: cijfer 1 zal beduidend meer voorkomen dan de andere cijfers.

Geldt de wet voor alle reeksen van getallen? Nee, dat ook weer niet. Om dergelijke verdeling te hebben moeten de gegevens over meerdere grootte-ordes gespreid zijn. Dus de lengtes van personen vallen hier bijvoorbeeld niet onder. Ook een lijst van hoogste bergtoppen niet, maar een lijst van alle bergen op aarde dan weer wel.

Het is contra-intuïtief omdat het het begrip ‘ad random’ een beetje op z’n kop zet. Als je getallen door een computer ad random laat bepalen dan zullen ze niet aan de wet van Benford voldoen. Het zijn dan ook geen werkelijke dingen die gemeten of geteld kunnen worden, maar enkel een getal genomen uit een verzameling van getallen, zoals een lotto-trekking. Als je op een bepaald moment een aantal gegevens moet verzinnen, b.v. facturen of in een wetenschappelijk onderzoek, kan je maar beter zorgen dat deze voldoen aan de wet van Benford. Want je zou niet de eerste fraudeur zijn die tegen de lamp loopt doordat z’n data zo verzonnen is dat alle startcijfers gelijk verdeeld voorkomen.

Tot slot terug naar het Corona-virus. Een prachtig voorbeeld van exponentiële groei in de huidige fase. Zie ook: Dromen over het getal e. Wanneer je een bedrag laat opbrengen op de bank zal het totaal bedrag groeien. Maar om van 100 euro naar 200 euro te groeien moet het bedrag verdubbelen (groei: 50%), maar daarentegen om te groeien van 800 euro naar 900 euro hoeft het bedrag maar te groeien met 12,5%. Daarom blijft het totaalbedrag langer ‘hangen’ tussen 100 en 200 euro en groeit het sneller door van 800 naar 900 euro. Wat we terugvinden in de frequentieverdeling van alle bedragen die op de bank staan, daarvan zal 30% ook starten met een ‘1’ ! Ook voor het aantal Corona-besmettingen is het een verdubbeling om van 1000 naar 2000 besmettingen te gaan, maar slecht een kleine groei om van 8000 naar 9000 besmettingen te gaan. En dat raakt volgens mij de ziel van deze mooie wetmatigheid.

Getallen die de Benford-wet volgen zijn echt en staan met beide voeten in de werkelijkheid.

Het is op dit moment (begin maart 2020) nog koffiedik kijken hoeveel het maximale aantal besmettingen per land zal zijn, maar één ding weten wel wel: het zal voldoen aan de wet van Benford.

En in tijden van onzekerheid, is dit misschien een lichtpuntje.

Benford-verdeelde groeten aan iedereen,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Bladschikken voor gevorderden met de gulden snede

De gulden snede staat al eeuwen bekend als de perfecte esthetische verhouding. Er zijn heel wat gebouwen die volgens deze perfecte ratio gebouwd zijn. De Taj Mahal, het Parthenon, de Notre Dame in Parijs, overal zie je de gulden snede terugkomen. Maar wat wonderlijk is, is dat deze gulden snede ook in de natuur terugkomt. Bij veel planten en bloemen zijn de blaadjes geschikt volgens de gulden hoek, wat het equivalent is voor de gulden snede bij hoeken.

1-NGNon6GsqrUSrzMsF9vrEw

Mijn trans-Alpijnse zus heeft zonet een boek gelezen over de gulden snede: ‘La sezione aurea’. In het Italiaans klinkt dat zoveel mooier dan in het Nederlands, waar ‘gulden’ klinkt alsof het gaat om iets dat wat verguld is en kitsch, en snede is iets wat wij hier vooral associëren met een snee brood of het sneetje kaas dat we erop leggen. Een kitcherige boterham. Weg mystiek.

De gulden snede is de verhouding van twee lijnstukken waarbij het grootste zich verhoudt tot het kleinste, zoals de som van beiden zich verhouden tot het grootste lijnstuk.
Golden-Ratio-color-1024x439-1.png

Hieruit volgt de volgende uitdrukking:
Beide leden vermenigvuldigen met geeft de volgende kwadratische vergelijking:

met als positieve oplossing:

Een benaderende waarde voor de gulden snede is dus 1,618.

Mijn zus was vooral verwonderd over het verband tussen de gulden snede en de fyllotaxis. Dat heb ik toch eens moeten opzoeken, en dat blijkt de schikking van de blaadjes te zijn. Bladschikking blijkt voor planten van primordiaal belang te zijn. De fotosynthese is een proces waarbij licht moet opgevangen worden om koolstofdioxide (ook wel gekend als C02) om te zetten in koolhydraten. Een plant heeft er dus alle belang bij om z’n blaadjes zo te schikken dat ze zoveel mogelijk licht opvangen, en dat met een zo gemakkelijk mogelijke opdracht. In de DNA zou ergens kunnen de volgende opdracht weggeschreven zijn: schik het volgende blaadje onder een hoek  van het vorige blaadje.

Wat zou die hoek kunnen zijn? Als we =180° nemen, zien we al snel dat dit helemaal geen goede keuze is, want het derde blad komt boven het eerste blad te liggen. Ook 120° is geen goed idee, want na drie blaadjes ligt het vierde knal op het eerste blaadje, wat uiteraard niet efficiënt is voor de fotosynthese van de plant. We merken dat alle getallen die een gemakkelijke breuk vormen (360°/180°=2 en  360°/120°=3) geen goede oplossing zijn voor de bladschikking. Bij uitbreiding zijn alle rationele getallen vroeg of laat overlappend met vorige geschikte blaadjes. We zoeken dus een getal dat zich zo irrationeel mogelijk gedraagt.

Misschien is een goede keuze? Nee, want 22/7=3,142.. is al een zeer dichte benadering. Dat wil zeggen dat al veel te dicht aan het flirten is met de rationele getallen om bruikbaar te zijn voor een nuttige bladschikking. Dit kan men goed zien als we de enkelvoudige kettingbreuk van uitzetten:
Als we de kettingbreuk afbreken bij 7 dan krijgen we de verhouding 22/7. Hele grote getallen zorgen in een kettingbreuk voor een goede benadering met rationele getallen. Zo is 355/113=3.14159292… een zeer goede benadering voor . Dit komt omdat het volgende getal in de kettingbreuk een heel groot getal is: 292.

Als grote getallen in een kettingbreuk leiden tot getallen die zich gemakkelijk laten benaderen door een rationeel getal, kunnen we dus ook omgekeerd zeggen dat een kettingbreuk met kleine getallen zal leiden tot een zeer irrationeel getal. En het meest irrationele getal dat we kunnen bekomen is een kettingbreuk met alleen maar eentjes:

Het zal je niet verwonderen dat deze uitdrukking in deze tekst die handelt over de gulden snede effectief perfect gelijk is aan de gulden snede:

Terug naar de plant met de DNA opdracht: schik de blaadjes volgens de gulden hoek. De gulden hoek wordt uitgedrukt als:

Dat is de kleinste hoek van twee hoeken die een volledige cirkel verdelen in twee hoeken volgens de gulden snede: 137,5°+ 222,5°=360° en 222,5/137.5=1,1618…

Hieronder zie je de eerste 5 blaadjes van een plant geschikt volgens de gulden snede, de blaadjes bevinden zich telkens een hoek 137,5° verder van elkaar. Of 222,5° in tegenwijzerzin.

Leaf-Growth-5.png

Zo gaat het door en door en we verkrijgen telkens een zo minimale overlap met de vorige blaadjes.

Leaf-Growth-13.png

Ook bij de schikking van de zaadjes in een zonnebloem gebeurt iets gelijkaardig. De zaadjes zijn allemaal geschikt volgens de gulden hoek. Dit levert immers de meeste zaadjes op een zo klein mogelijke oppervlak op. Hieronder kan je zien dat een kleine variatie van de hoek al een veel minder gunstige schikking oplevert van de zaadjes.Sunflower-seed-golden-angle-diagram.001.pnglabimg_870_Sunflower

Als je je nu de bedenking maakt: amai hoe kan dat? Dan moet je maar denken aan het feit dat alle minder gunstige variaties in de natuur met minder gunstige hoeken het niet hebben overleefd ten opzichte van de planten met een gunstigere schikking. Wat we in de natuur vinden is het product van een proces van miljoenen jaren variatie, overerving en selectie. (lees ook: Hoe intelligent is de hemelse horlogemaker?) Je zou het sommige mensen niet aangeven, maar ook die zijn het product van miljoenen jaren van finetuning.

Oh ja en dan hebben we ook nog de wonderbaarlijke Fibonacci getallen: 1,1,2,3,5,8,13,… waarvoor geldt dat het volgende getal telkens de som is van de twee vorige getallen. Er zijn in de natuur ook veel Fibonacci getallen te vinden… Mysterieus van de natuur? Helemaal niet want laten we eens de gulden snede benaderen door de kettingbreuk af te breken dan krijgen we volgende benaderingen:

Twee opeenvolgende Fibonacci getallen blijken dus een steeds betere benadering van de gulden snede te zijn naarmate we verder gaan in de Fibonacci rij:

De natuur vond immers ook dat, als we dan toch getallen of een verhouding gebruiken in het bladschikken of het zaadschikken,  we maar beter Fibonacci getallen kunnen gebruiken.

Je hoeft trouwens niet  met de eerste Fibonacci getallen 1 en 1 te starten om uit te komen op de gulden snede. Neem eender welke twee getallen en tel ze samen en maak dan telkens de som van de laatste twee getallen en je komt sowieso altijd uit op de gulden snede. Als je pakweg 37 en 11 neemt zal dit ook een reeks vormen waarvan de verhoudingen op de limiet de gulden snede zijn. Ik heb het niet nagegaan, maar het moet wel gewoon altijd lukken. Dat is niet echt een straf wiskundig bewijs, maar dat laat ik over aan anderen.

Nu ik erover nadenk. Net omdat de gulden snede het meest irrationele getal is dat we kunnen bedenken zal het waarschijnlijk totaal geen streling voor het oor zijn als we twee klanken zouden laten samenklinken waarvan de verhouding van de frequenties gelijk is aan de gulden snede. Want enkel eenvoudige verhoudingen van gehele getallen zijn harmonische tweeklanken. (zie ook: Alle piano’s zijn een beetje vals). Dat is toch wat anders dan je zou verwachten van deze sectio divina, of goddelijke verhouding.

We kunnen besluiten dat de gulden snede hoogstwaarschijnlijk leidt tot het meest irritante, dissonante en valse interval in de hele muziekwereld. Geen idee of dat ook in het boek van mijn zus stond. Ik hoor het wel binnenkort!

Zorgvuldig in het lente-zonlicht geschikte groeten,

T.E.