Wanneer het wateroppervlak glad als een spiegel is ervaren we schoonheid in de symmetrie van het geprojecteerde beeld, zoals de Taj Mahal weerspiegelt in de vijvers voor het bouwsel. Maar ook in de aanwezigheid van golven kunnen we schoonheid ervaren. Denk maar aan die lang vervlogen zondagvoormiddag in het stedelijke zwembad wanneer het invallende zonlicht fonkelende patronen toverde op het plafond terwijl we onszelf probeerden te oriënteren tijdens een molenwiekende rugslag. Oppervlaktegolven vinden we in alle geuren en kleuren. De kleinste rimpeling in een plasje. Het morsen van koffie. Windgolven en deining op zee. Maar ook tsunami’s en de getijden zijn oppervlaktegolven. Laten we bijna letterlijk in deze materie duiken!

Eigenschappen van oppervlaktegolven

De vraag stelt zich waarin de soorten oppervlaktegolven zich verschillen. Uiteraard zou je kunnen stellen dat er grote en kleine golven zijn. Dat is een pientere vaststelling, maar dat is nu net niet een karakteristiek dat de diepere identiteit van een golf onthult. Een golf wordt immers gekarakteriseerd door z’n golflengte en z’n periode (of z’n frequentie, wat het omgekeerde is van de periode). De golflengte is de afstand tussen twee golftoppen en de periode is de tijd die verstrijkt tussen de passage van twee golftoppen. In realiteit zien we echter een eerder chaotisch golfpatroon in ons bad of in de zee. Dat komt omdat oppervlaktegolven van verschillende golflengte en periode samen kunnen optreden. Wat je in realiteit ziet is dus de som van veel golven met verschillende golflengte en verschillende periode, en ook nog eens met een verschillende richting.

Om orde te scheppen in de ogenschijnlijke chaos van wat we meten moeten we op zoek naar de basisgolven waaruit deze chaos is opgebouwd. Het ontrafelen van wat we zien kan typisch met een Fourieranalyse waarmee we op zoek gaan naar verdeling van de golven per frequentie. Dat is fantastische wiskunde die ons van het tijdsdomein naar het frequentiedomein brengt, maar dat zou ons hier te ver leiden. Wat we naast deze superpositie-eigenschap moeten beseffen is dat een golf meer dan een beweging van waterdeeltjes een transportmiddel is voor energie. Als we een steen gooien in een meer zien we een verstoring die zich met een bepaalde snelheid concentrisch voortplant, het water blijft echter op dezelfde plaats wanneer de verstoring gepasseerd is. We willen graag weten hoe de golf zich voortplant!

Van troebele stromingsleer naar een heldere bergrivier

Golven zijn niet magisch en moeten gehoorzamen aan de wetten van de fysica. Helaas behoort de wiskundige beschrijving van vloeistofbeweging tot de moeilijkste problemen uit de klassieke natuurkunde. De beroemde Richard Feynman schreef hierover: “Watergolven zijn het slechtst mogelijke voorbeeld van golven, omdat ze alle complicaties bezitten die golven kunnen hebben”.
Horace Lamb, één van de grondleggers van de moderne hydrodynamica, deed er nog een schepje bovenop en liet zich verleiden tot de volgende uitspraak: “Als ik sterf en naar de hemel ga, hoop ik inzicht te krijgen in twee zaken: de kwantumelektrodynamica en turbulente stromingen. Over het eerste ben ik redelijk optimistisch.”
Laten we ons echter hierdoor niet afschrikken. De heldere theorie van oppervlaktegolven zal ons verfrissen als een handvol water dat we onszelf toewerpen vanuit een fris bergriviertje na een zware bergwandeling. Het heldere water van een bergrivier vertelt ons alles wat we moeten weten om een eenvoudige golftheorie op te bouwen.

Vallen en opstaan

Een eerste element is de vaststelling dat het water bergafwaarts stroomt. Water zal van hoog naar laag stromen, dat is kristalhelder en indrukwekkend wanneer water in de bergen van de rotsen dondert, maar ook verder stroomafwaarts is het de zwaartekracht die ervoor zorgt dat elke druppel water uiteindelijk de zee instroomt. Het is bijzonder om op te merken dat hoe groter de helling is, met hoe meer kracht het water naar beneden stroomt. Het principe is helder: hoe groter de helling hoe groter de versnelling van het water.

Een tweede element ontdekken we als we een dam gaan bouwen in die bergrivier en zien dat het water opgestuwd wordt. Op het moment dat het waterniveau stijgt net achter de dam stroomt er meer water in, dan er water uitstroomt. De vaststelling dat het water stijgt doordat er meer water bijkomt dan dat er wegstroomt is een cruciale gedachte. Het effect is hetzelfde als bij het ontstaan van een file in het verkeer. Auto’s rijden plots trager dan de auto’s die volgen en het verkeer wordt ‘opgehoopt’, gelukkig niet letterlijk. Het achterliggende principe uit de fysica is het behoud van massa: als er meer water in- dan uitstroomt, dan moet de massa zich opstapelen, want massa kan niet zomaar verdwijnen.

In feite beschrijven de twee elementen een verhaal van vallen en opstaan. Een oppervlaktegolf die zich voortplant is een continu verhaal van vallen en opstaan. Hiermee zijn we helemaal klaar om een vat wiskundeformules open te trekken om de fundamentele wetten van dit ‘vallen en opstaan’ in harde wiskunde te gieten.

Vallen dankzij de zwaartekracht

Zoals wij, en bij uitbreiding alle materie in het heelal, ondervindt ook water de zwaartekracht. Ons lichaam beschikt over een inwendige structuur en de nodige spieren om ons in de meeste gevallen overeind te houden; hadden we geen skelet en spieren dan zouden we ons gedragen als een zak patatten. Maar zelfs een zak patatten biedt nog vele keren meer weerstand aan het zijwaarts uitvloeien dan water.
Water beschikt vrijwel over geen weerstand tegen afschuiving, daarom vormt z’n oppervlak een equipotentiaaloppervlak van het zwaartekrachtsveld, dat op grote schaal de kromming van de aarde volgt, maar dat op onze mensenmaat als horizontaal kan beschouwd worden.
Wanneer geen andere krachten spelen zitten we volledig in het vakgebied van de hydrostatica, waarbij de druk (ten opzichte van de oppervlaktedruk) op een bepaalde diepte h wordt veroorzaakt door het gewicht van alle waterlagen erboven:

$$
p = \rho gh
$$

Wanneer echter de waterhoogte varieert zal elk onderliggend waterdeeltje een variatie van horizontale druk ondervinden. De variatie ten opzichte van een stilwaterniveau wordt meestal uitgedrukt als $\eta(x)$. De waterdruk is afhankelijk van de positie:

$$
p(x)=\rho g (h+\eta(x))
$$

De mate waarmee de druk op een bepaalde diepte verandert, is evenredig aan de mate waarmee de waterhoogte verandert, wiskundig gezien komt dit neer op het afleiden naar x van bovenstaande uitdrukking, de hoogte h verdwijnt gezien dit een constante is.

$$
\frac{\partial p(x)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho g (h+\eta(x))\right)=\rho g \frac{\partial \eta(x)}{\partial x}
$$

Bovenstaande uitdrukking geeft aan dat hoe steiler het wateroppervlak verloopt, hoe groter ook de drukvariatie of drukgradiënt zal zijn. De resulterende kracht op de waterkolom is enkel afhankelijk van het drukverloop, en we weten ook ondertussen dat dit drukverloop recht evenredig is met de waterhelling.

$$
\begin{align*}F_x=&h\left[ p(x)-p(x+dx)\right]\\=&h\left[ p(x)- \left(p(x)+\frac{\partial p}{\partial x}dx\right)\right]\\=&-h\frac{\partial p}{\partial x}dx\\=&-\rho g h\frac{\partial \eta}{\partial x}dx \end{align*}
$$

Van zwaartekracht naar versnelling met Newton

Zoals Sneeuwwitje bij de dwergen en de echo’s bij de bergen, zo horen kracht en versnelling bij mekaar. En ook al schreef Newton nergens letterlijk $F=ma$ toch linken we deze fundamentele wet in één adem met Newton. De formule bekt iets gemakkelijker dan de oorspronkelijke formulering van Newton: “Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.” Vrij vertaald: “De verandering van beweging is evenredig met de uitgeoefende aanzettende kracht, en geschiedt in de rechte lijn waarin die kracht wordt uitgeoefend.” Tegenwoordig zouden we eerder spreken over impuls dan over beweging.

Om te komen tot een uitdrukking voor de versnelling $a=\frac{F}{m}$ delen we de reeds gevonden kracht op de waterkolom door de massa van de waterkolom, waarbij $m=\rho h dx$:

$$
a_x=\frac{F_x}{m}=\frac {− \rho g h \frac{\partial \eta} {\partial x} dx}{\rho h dx}=-g\frac{\partial \eta}{\partial x}
$$

Definiëren we $u(x)$ als de horizontale snelheid van het waterdeeltje, dan kunnen we de versnelling herschrijven als de afgeleide van deze snelheid ($a_x=\frac{\partial u}{\partial t}$). Deze uitdrukking wordt ook wel de impulsvergelijking genoemd.

$$
\frac{\partial u}{\partial t} = -g \frac{\partial \eta}{\partial x}
$$

De horizontale versnelling van water is dus rechtevenredig met de helling van het wateroppervlak. Waarbij we de materiële afgeleide benaderen met de partieel afgeleide, omdat de veranderingen in tijd voor zo’n langzame golf op een vaste plek veel groter zijn dan de verplaatsing van het waterdeeltje zelf. Het komt erop neer dat de versnelling waarbij het deeltje gevolgd wordt niet strikt hetzelfde is als de versnelling die we waarnemen op een vast punt. De materiële versnelling beschrijft de werkelijke verandering in de tijd, terwijl de partiële afgeleide enkel de lokale verandering in de tijd op een vaste locatie weergeeft. Denk maar aan een vernauwing bij een stationaire stroming. Een waarnemer op vaste locatie ziet geen verandering in de tijd, maar het waterdeeltje zal wel degelijk een versnelling ervaren. Daar zal je zeker aan denken de volgende keer wanneer je het water uit je bad laat wegstromen.

Opstaan door behoud van massa
In de klassieke natuurkunde is de wet van behoud van massa een fundamentele wet die dicteert dat er geen massa gecreëerd wordt of verdwijnt. Ter vereenvoudiging gaan we water als onsamendrukbaar beschouwen, zodat ook behoud van volume geldt. Behoud van massa stelt dat de resulterende som van alle instromende debieten, moet resulteren in een verticale opstuwing:

$$
Q_{in}-Q_{uit}=Q_{vert}
$$

Opnieuw omwille van vereenvoudiging stellen we dat de horizontale snelheid van de waterdeeltjes in de langsrichting van de golf op elke diepte gelijk is. Dit mogen we enkel maar doen wanneer de golflengte van de golf vele malen groter is dan de waterdiepte; de golf moet de bodem voelen. Bijgevolg kunnen we de debieten herschrijven als:

$$
\begin{align*}h \left[ u(x)-(u(x+dx)) \right]=&\frac{\partial \eta}{\partial t}dx\\ -h\frac{\partial u}{\partial x}dx=&\frac{\partial \eta}{\partial t}dx \\-h\frac{\partial u}{\partial x}=&\frac{\partial \eta}{\partial t} \end{align*}
$$

We kunnen dit herschrijven zodat het duidelijk is dat het totale volume ongewijzigd is en dat horizontale en verticale debieten elkaar moeten compenseren, wat erin gaat moet er ook uit gaan.

$$
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\partial x} = 0
$$

Twee ideeën leiden tot één golfvergelijking
De horizontale versnelling van water is dus rechtevenredig met de helling van het wateroppervlak, maar op zijn beurt zal deze versnelling zorgen voor opstuwing, die op zijn beurt dan weer zal zorgen voor een variatie van de helling. De continue wisselwerking tussen deze fysicawetten veroorzaken continue omzettingen van de kinetische energie van de horizontale waterbeweging naar de potentiële energie van het verhoogde of verlaagde wateroppervlak, net zoals de slingerbeweging.

Laten we nu de wiskundige uitdrukkingen van behoud van impuls (vallen) en behoud van massa (opstaan) samensmelten, door beide gevonden uitdrukkingen kruislings af te leiden:

We leiden de impulsvergelijking af naar x:

$$
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial u}{\partial t}\right) =&\frac{\partial}{\partial x}\left( -g \frac{\partial \eta}{\partial x}\right)\\[5pt]\\ \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x} =& -g \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\end{align*}
$$

Vervolgens leiden we de massavergelijking af naar t:

$$
\begin{align*}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \eta}{\partial t} \right) =&\frac{\partial}{\partial t}\left(-h \frac{\partial u}{\partial x}\right)\\[5pt] \\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} =&- h \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}\end{align*}
$$

Substitutie van de gemengde afgeleide $\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x}$ uit de impulsvergelijking in de massavergelijking geeft ons de golfvergelijking voor oppervlaktegolven in ondiep water, ook gekend als de lineaire ondiepe-watervergelijking:

$$
\frac{\partial^{2} \eta}{\partial t^{2}} = gh \frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}
$$

We herkennen in deze partiële differentiaalvergelijking de ééndimensionale golfvergelijking, waarbij de golfsnelheid gelijk is aan:

$$
c = \sqrt{gh}
$$

Dat is een belangrijke vaststelling. De golfsnelheid voor oppervlaktegolven in ondiep water is enkel afhankelijk van de zwaartekrachtsversnelling $g$ en de waterdiepte $h$.

Snelheid van tsunami

Gezien een tsunami met een heel grote golflengte zich gedraagt als een oppervlaktegolf in ondiep water, kunnen we de golfsnelheid berekenen door de valversnelling en de gemiddelde oceaandiepte van 4000 m in te vullen in de formule voor golfsnelheid $c = \sqrt{gh}$:

$$c = \sqrt{9,81 \times 4000} = \sqrt{39240} \approx 198 \text{ m/s}\approx 713 \text{ km/h}$$

Een tsunami in open zee verplaatst zich met de snelheid van een modern straalvliegtuig over de oceaan, simpelweg omdat de oceaan zo diep is ($h$ is groot). Zodra zo’n golf de kust nadert en het water ondiep wordt (stel dat $h$ afneemt tot $10$ meter), zakt de snelheid in elkaar tot zo’n $36 \text{ km/h}$, maar al die samengeperste energie moet ergens heen… met alle gekende, verwoestende gevolgen van dien.

Deze mooie reis over oppervlaktegolven die kabbelend begon met een rustige rugslag in een stedelijk zwembad eindigt in een fatale allesverwoestende tsunami die ons met een ontzaglijke snelheid nadert.

Allesoverspoelende groeten,

T.E.