Geplaatst op door Tijs Essel

Over structuren en de perfecte boogvorm

De aanwezigheid van een bucolisch kabbelend beekje met wat keien en stenen, is voor veel mensen, waaronder mezelf, niet zozeer een aanleiding om mediterend de intrinsieke schoonheid van de natuurpracht tot zich te nemen, maar eerder een uitnodiging om deze natuurlijke elementen te gaan verbouwen tot een dam of, in casu, tot een oeververbindende boogbrug. Het gevecht tegen de zwaartekracht mondde daarna dan toch uit in een quasi oeverloze meditatie over de ideale boogvorm.

Waarom blijft de ene boog staan en stort de andere boog ter aarde? Om het antwoord op deze vraag te vinden beschouwen we de krachtwerking in een boog. Wanneer de boog is opgebouwd uit losse stenen zijn de enige krachten die doorgegeven kunnen worden drukkrachten tussen de stenen. In een geïdealiseerd model kunnen we stellen dat de richting van de kracht in de boog telkens precies evenwijdig moet zijn aan de vorm van de boog (een raaklijn van de boog). Daarenboven dient die kracht op ieder punt de resultante te zijn van de verticale kracht, afkomstig van het eigen gewicht van de ontwikkelde booglengte, en de horizontale drukkracht in de boog. Er is slechts één curve die erin slaagt om dit huzarenstukje tot een goed einde te brengen. Maar we maken eerste een zijstap naar een analoge situatie waar de drukkrachten trekkrachten worden.

De unieke eigenschap van de perfecte boog waarin enkel drukkrachten spelen heeft z’n analogie in de kettinglijn waar enkel trekkrachten mogelijk zijn. Dit zorgt ervoor dat de kettinglijn het perfecte spiegelbeeld is van de gezochte boogvorm. Anders dan bij een boog dient zij niet in de juiste vorm gebouwd te worden, maar valt deze automatisch in de juiste vorm, dankzij de zwaartekracht. Dit is een toestand van minimale potentiële energie, dat is een professionele uitdrukking voor iets dat gewoon hangt te hangen of gevallen is. Gaudi heeft handig gebruik gemaakt van deze analogie door te steunen op een model met hangende touwen voor het ontwerp van z’n Sagrada Familia.

Het antwoord op de perfecte boogvorm vinden we bijgevolg door een blik te werpen op de vorm van een kettinglijn. Deze vorm vinden we terug bij halskettingen of hoogspanningskabels. Aan de lezer de keuze welke van beide hij aandachtig wenst te bestuderen. Al heel wat befaamde wetenschappers hebben hun tanden stuk gebeten op het bepalen van de exacte curve van de kettinglijn. Zo veronderstelde Galileo dat dit een parabool betrof, al wist hij dat het eigenlijk een benadering betrof (het idee van heliocentrisme had hij wel goed). Het was Jakob Bernoulli die op het einde van de 17de eeuw enkele wiskundigen uitdaagde om de juiste vorm exact af te leiden en uiteindelijk werd de oplossing in 1691 gepubliceerd door Christiaan Huygens, Gottfried Leibniz en Johan Bernoulli. Driewerf hoera voor deze heren! Maar welke formule schuilt nu achter de kettinglijn? Onze zoektocht zal nu even in wiskundewonderland passeren, maar eerst willen we ons verwonderen over de kroonzaal van het paleis in het historische Ctesiphon (huidige Irak), waarvan de vorm van de boog een bijna perfecte kettinglijn is, en dat is meteen de verklaring waarom deze constructie nog steeds overeind staat (zie afbeelding hieronder). Een knap staaltje Perzische engineering uit de 3de eeuw, van lang voor de tijd van de heren Huygens, Leibniz en Bernoulli.

In de onderstaande figuur is een stuk kettinglijn beschouwd tussen punt A en B. In punt A is er enkel een horizontale kracht T0 aanwezig want de raaklijn aan de curve in het laagste punt is horizontaal. In het punt B is de trekkracht T rakend aan de curve. De horizontale component van de kracht is T0 en de verticale component is gelijk aan het gewicht van de ketting tussen A en B. Waarbij λ de massa is per kettinglengte, g de valversnelling en s de booglengte tussen A en B. Hieruit volgt dat de verticale component in het punt B gelijk is aan λgs. Hierdoor kan er een uitdrukking gevonden worden voor de tangens van de hoek θ, dat wiskundig gezien ook gelijk is aan de afgeleide van de curve:

Als we de verhouding van de horizontale kracht en het gewicht per lengte voorstellen door een parameter a:

kunnen we het verband tussen de booglengte s en de helling van de curve op de volgende manier noteren:

Het afleiden van bovenstaande uitdrukking naar x geeft het verband tussen de kromming van de curve en de toename van de booglengte in de x-richting.

Fysisch betekent het dat een toename van de booglengte, dus van extra gewicht zal aanleiding geven tot een kromming van de curve, dat is logisch want de verticale component van de trekkracht wordt telkens groter bij toenemende booglengte, waardoor een kromming ontstaat gezien de horizontale kracht constant T0 blijft.

Dit lijkt nog een redelijk eenvoudige uitdrukking, maar de booglengte moet nog uitgedrukt worden in functie van x en y. We maken dankbaar gebruik van de stelling van Pythagoras (toegpast op ds, dx en dy) en vinden een differentiaal vergelijking die opgelost moet worden om de ware aard van de kettinglijn te ontrafelen:

Vooraleer we de oplossing uit onze toverhoed halen, kunnen we nog even de vergelijking nader beschouwen. Wanneer de helling heel groot wordt (bij grote waarden van x) zal de vergelijking zich vervellen tot een eenvoudige eerste orde differentiaalvergelijking waarbij de oplossing een exponentiële functie is, maar voor grote negatieve waarden van x moet dit ook zo zijn, want de kettingfunctie is immers symmetrisch. Zou het dan zo eenvoudig zijn dat het resultaat het gemiddelde is van een positieve en een negatieve exponentiële functie? Inderdaad! En de som van deze exponentiële functies kan ook geschreven worden als een cosinus hyperbolicus.

Dus hoogspanningskabels, halskettingen en touwen hebben allemaal de vorm van een cosinus hyperbolicus. (De naam hyperbolicus is trouwens een gevolg van de mogelijkheid om een hyperbool te beschrijven door parametrisatie met hyperbolische functies, analoog aan de parametrisatie van een cirkel met sinus en cosinus) En bijgevolg is de perfecte boog ook een omgekeerde cosinus hyperbolicus, waarbij de parameter a de verhouding van de horizontale drukkracht en het gewicht van de booglengte is. Hoe groter de horizontale drukkracht hoe platter de boog.

Maar als de kracht in de boog varieert, varieert ook de spanning van in het materiaal. Daarom zien we in de praktijk veel boogbruggen die massiever zijn aan de steunpunten dan in het midden. Maar hierdoor verlaten we de wiskundige voorwaarden om te komen tot een kettinglijn. Een bekend voorbeeld van een ‘gewogen kettinglijn’ is de 192 m hoge Gateway Arc in St. Louis (hieronder afgebeeld). Het is een ‘afgeplatte kettinglijn’ omdat het gewicht per booglengte niet constant is.

Is de vorm van de kabel van een kabelbrug dan misschien een kettinglijn? Dat zou logisch lijken. Maar ook hier is het gewicht niet gelijk verdeeld over de lengte van de boog omdat het wegdek dat relatief gezien veel zwaarder is dan de kabel hangt aan de kabel. Hierdoor zal de kabel de vorm krijgen van een parabool en niet van een kettinglijn. Maar wanneer de kabel bij constructie wordt opgehangen zal deze wel een kettinglijn vormen. Naarmate het brugdek wordt gebouwd evolueert de kabel zich tot een parabool.

Kettinglijnen hebben soms onverwachte toepassingen. In het minder voor de hand liggende geval van voertuigen met vierkante wielen is het aangewezen om deze te laten rijden op een wegdek dat precies de vorm heeft van opeenvolgende kettinglijnen. Dit wordt hieronder geïllustreerd door een prof die met vierkante wielen over een wegdek rijdt dat opgebouwd is uit kettinglijnen. Hij rijdt zonder schokken want de wielassen volgen een horizontale lijn.

Een ruimtelijke figuur die wordt bekomen door een kettinglijn te roteren rond de x-as wordt een catenoïde genoemd. Een speciale eigenschap van een catenoïde is dat het een minimaaloppervlak is, wat betekent dat een catenoïde het minste oppervlak nodig heeft om de gegeven randvoorwaarden te verbinden in de ruimte. Een zeepbel gevormd tussen twee cirkels is een mooi voorbeeld hiervan.

Een ander voorbeeld van een catenoïde is de vorm van het beschermdoek van sommige trampolines met cirkelvormige randen boven en onder. Dit ontdekte ik toen ik een aantal dagen geleden vanuit de tuin van de buren even verder naar mijn eigen tuin keek en me plots de vorm van het beschermingsdoek opviel. Dit gebeurde juist op het moment dat ik aan het vertellen was dat ik iets wou schrijven over bogen en kettinglijnen! Soms is het echt verrijkend om eens iets vanuit een ander perspectief te bekijken. En dat is wellicht niet enkel geldig voor trampolines…

hyperbolische groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Waarom testen we niet gewoon iedereen?

Het lijkt een goede ingeving: waarom kunnen we niet gewoon iedereen op Corona testen? Het antwoord is redelijk simpel: er zouden teveel mensen onterecht positief testen. Onterecht? Jazeker: er is immers altijd een kans dat de uitslag van een test verkeerd is, want de test is niet onfeilbaar. Daarom is het enkel relevant om de ‘verdachte’ gevallen uit een risico-groep te testen. En dat kan ook gemakkelijk wiskundig verklaard worden.

We gaan eerst enkele begrippen toelichten die de accuraatheid van een medische test uitdrukken:

  • De sensitiviteit is de kans op een terecht positieve uitslag. Een positieve uitslag, bij het gegeven dat je besmet bent. Deze kans wordt genoteerd als: P(POS|Covid). Bij de meeste Covid testen ligt dit op ongeveer 71%. Dat is een vrij lage waarde. Dat betekent dat er 30% mensen zijn waarbij de besmetting niet wordt opgemerkt door de test. De zogenoemde vals negatieven.
  • De specificiteit is de kans op een terechte negatieve uitslag. Een negatieve uitslag, gegeven dat je niet besmet bent, wordt genoteerd als: P(NEG|nietCovid). De specificiteit van de huidige Covid-testen is nog onduidelijk. We kunnen hier optimistisch in zijn en er van uit gaan dat deze 99% bedraagt. Dat wil zeggen dat 1% van de mensen die niet besmet zijn, toch een positief zal testen. Dan zijn dan de vals positieven.
  • De prevalentie is de kans op besmetting voor een bepaalde populatie, op een bepaald moment. Hierbij dient opgemerkte te worden dat een populatie een totale populatie van een bepaald land kan zijn, maar een populatie kan ook een deelgroep zijn, b.v. alle mensen die koorts hebben, of hoofdpijn hebben of een combinatie. Een groep mensen waarbij de prevalentie dus hoger is dan bij de totale bevolking.

Eerder had ik het theorema van Bayes al eens besproken toen het over de NIPT-test ging (Het theorema van Bayes en de NIPT-test). Toegepast op een Covid-test ziet het theorema van Bayes er als volgt uit:

De kans op Covid bij een positieve test is de verhouding van de kans op een terecht positief geval (product van sensitiviteit en prevalentie) op de kans op een positief geval bij een gegeven prevalentie. Het theorema van Bayes drukt uit welk gedeelte van alle positieve gevallen terecht is en wat de voorspellende waarde is van de test voor een individuele persoon.

In de onderstaande grafiek is de voorspellende waarde van de test weergegeven in functie van de prevalentie, rekening houdende met een sensitiviteit van 71% en een specificiteit van 99%. Op deze grafiek is duidelijk te zien dat, als we werkelijk iedereen testen bij een prevalentie van 2% (wat we momenteel aannemen voor de totale bevolking), de kans slechts 60% is dat de test terecht is. De aanpak om enkel een risico-groep te testen waarbij de prevalentie hoger ligt stuwt de voorspellende waarde van de test de hoogte in. Bij een prevalentie van 20% (dat wil zeggen een risico-groep waarbij per 100 personen er 20 besmet zijn met het virus) is duidelijk te zien dat de voorspellende waarde stijgt naar 95%.

2020-07-07 07_24_33-corona - Excel

Besluit is alleszins dat het geen enkele zin heeft om met de test die er nu is een gehele bevolking te testen, de meeste mensen behoren immers niet tot een verdachte groep. Uiteraard zijn niet alle parameters exact bekend. Er wordt getest om de prevalentie te meten, en de voorspellende waarde is afhankelijk van die prevalentie. Daarnaast is ook de specificiteit een schatting. Maar een ruwe schatting is in dit geval veel beter dan niets! Het blijft dus een combinatie van wiskunde en gezond verstand.

Waarom testen we niet gewoon iedereen? Daarom dus!

Terecht positieve groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

Over structuren en vervormingsenergie

Onlangs kon ik aan de lijve ondervinden dat bepaalde structuren niet ontworpen zijn om sterk of stijf te zijn, maar om zoveel mogelijk energie om te zetten in vervorming. Bepaalde structuren zoals een auto… en energie zoals bij een botsing. Botsen is in feite het omzetten van kinetische energie naar vervormingsenergie. Bij uitbreiding is dit geldig voor alle structuren. De vervormingsenergie is altijd gelijk aan de energie of arbeid (kracht maal vervorming) geleverd door de externe krachten.

Een auto die tegen een muur knalt is iets spectaculairder dan een normaalkracht op een kolom van een structuur, maar in feite is het qua vervormingsenergie helemaal analoog te beschouwen. We kunnen aannemen dat zowel de auto als de kolom een vervormingsgedrag zullen vertonen dat we kunnen benaderen als lineair elastisch gedrag (zie ook: Over structuren en de wet van Hooke). Bij zware botsingen is de kans echter zeer klein dat de auto weer elastisch naar oorspronkelijke toestand gaat, maar bij een lichte ‘bumperkus’ is de vervorming meestal elastisch. Wanneer de vervorming permanent is en de takeldienst dient gebeld te worden dan hebben we een mooi voorbeeld van plastische vervorming.

Hoe weten we nu hoeveel vervormingsenergie er zit opgeslagen in een structuur, bijvoorbeeld in de kolom? Om dit te bepalen gaan we een kracht langzaam toenemend laten aangrijpen op de kolom en bij elke extra verkorting berekenen we de arbeid door deze te vermenigvuldigen met de aangrijpende kracht. Het komt er in feite op neer dat de geleverde arbeid gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek waarin de kracht is weergegeven in functie van de verlenging. Wiskundig gezien levert dit een integraal op, maar wat kennis over de oppervlakte van een driehoek is hier voldoende om tot een uitdrukking te komen van de externe arbeid (U) geleverd op de constructie:

arbeid op kolom

De wet van Hooke heeft het volgende verband tussen verkorting en kracht:

Door het bovenstaande te substitueren in de uitdrukking van de arbeid kunnen we de de vervormingsenergie in de constructie uitdrukking in functie van de interne krachten:

Energie is één van de meest fundamentele eenheden in de natuurkunde en een probleem uitdrukken in functie van energie is dan ook een zeer algemene benaderingswijze, waaruit heel veel specifiekere rekenregels voortgekomen zijn. Zeer algemeen gezegd zal een constructie in (stabiel) evenwicht zijn wanneer z’n totale (potentiële) vervormingsenergie een minimum heeft bereikt,  zoals ook een bal rolt naar het laagste punt (het lokaal laagste punt). En als we zoeken naar een minimum, dan is het evident dat de partiële afgeleiden niet ver weg zijn…

Ook al is het streven naar minimum potentiële vervormingsenergie een algemeen streven van alle constructies, het zal in veel gevallen niet de meest eenvoudige manier zijn om te komen tot een bevattelijke en handige structurele analyse. De Italiaanse ingenieur Castigliano ontwikkelde een methode om de interne krachten en de doorbuiging te berekenen van elastische systemen. Hij vond dat de verplaatsing in een bepaald punt van een constructie in verband stond met de partieel afgeleide van de vervormingsenergie naar de bijhorende virtuele kracht die werkt in dezelfde richting van de gezochte verplaatsing, wiskundig uitgedrukt ziet dit er als volgt uit:

De methode onderzoekt dus hoe de totale vervormingsenergie zal veranderen door de impact van een kracht op een plaats, waar er in het echt helemaal geen externe kracht zal aangrijpen. Dit gegeven maakt dat de hele theorie zich niet zo gemakkelijk laat uitleggen in simpele taal en dat er sprake is van ‘virtuele arbeid’, deze wiskundige wereld staat nogal veraf van de bekistingen en de wapening waar een structureel ingenieur dagelijks mee bezig is. Laat ons nu toch maar even Castigliano toepassen op de bovenstaande uitdrukking van vervormingsenergie:

Dat lijkt alvast te kloppen! Het verder in detail uitspitten van deze energiemethode is echter niet mogelijk zonder dat we een heel gamma van formules moeten bovenhalen welke rekening houden met vervormingsenergie door normaalkracht, dwarskracht, buiging en torsie. En algemeen gezien halveert het aantal lezers bij het gebruik van iedere formule… 

Het equivalent van een botsing voor een auto is een aardbeving voor een gebouw, waarbij een gebouw op korte tijd zeer grote energie moet absorberen. (zie ook: Wat kleuters en hooligans al lang weten over de gevolgen van aardbevingen… ) Zo zal het uiterst belangrijk zijn om te bewaken dat de totale vervormingsenergie die het gebouw kan opnemen voldoende hoog is. Dat kan een geval van leven of dood zijn. Nu we weten dat we de vervormingsenergie gezien kan worden als de oppervlakte onder de spanning-rek-curve is het zeer logisch om te gaan eisen dat er een faalmechanisme moet ontstaan waarbij het staal moet kunnen vloeien en waarbij de ductiliteit (de maximale rek tot breuk, of vervormbaarheid) van het gebruikte staal voldoende hoog moet zijn.

Ook wanneer er geen aardbevingen zijn zal het een groot voordeel zijn wanneer de constructie in grote mate vervormingsenergie kan opslaan vooraleer dat de constructie bezwijkt. Een brug die vervaarlijk begint door te buigen kunnen we nog op tijd ontruimen en ook in een gebouw zal het veiliger blijken wanneer er zich bij overbelasting van bepaalde balken scheuren en overmatige vervorming wordt vastgesteld alvorens zij bezwijken. Daarom is het ook belangrijk dat we een goed zicht hebben op de structuur. cracks-in-beam

Maar scheuren hoeven niet altijd alarmerend te zijn. Er zijn veel oude gebouwen waarbij er een nieuwe evenwichtstoestand is ontstaan door een scheur, zeker bij boogwerking is dit vaak het geval, deze kunnen nog altijd stabiel zijn door het toevoegen van een scharnier (veroorzaakt door de scheur). Dus blinde paniek bij het vaststellen van scheuren is ook niet nodig.

images

Zoals wijzelf ook liever een waarschuwing krijgen dat onze bloeddruk te hoog is, zodat we dit kunnen genezen, zo is het ook een eigenschap van een goed ontwerp dat de constructie de nodige alarmboodschappen kan uitzenden alvorens te bezwijken. En dan is het natuurlijk wel een kwestie van deze signalen niet te negeren.

Virtuele arbeidsgroeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel

De vogels in de lucht

Het overkomt iedereen wel eens dat je ouders plots daar staan met souvenirs uit het verleden. Cursussen en toetsen vanuit je schooltijd. Het lijkt te komen uit een ander leven. Maar er was een tijd dat je die toetsen hebt gemaakt, dat je hebt gezwoegd aan al die knutselwerkjes en dat je die cursussen al dan niet met veel ijver hebt doorploegd om de kennis ervan af te kunnen vinken in je tocht naar volwassenheid en wasdom. Tussen al die papieren vond ik ook het onderstaande kaartje, met excuses uit het verleden van mijn 8-jarige zelf over de werkwoordsfout.

Ik vermoed dat ik het gemaakt heb in de tijd van mijn eerste communie gezien de religieuze inslag. Ik let nog dagelijks op de vogels in de lucht. Op de fantastische manier waarop zij ontwikkeld zijn tot vliegende dieren, geoptimaliseerd in alle opzichten om met een minimum aan energie door de lucht te klieven.

Dat ze niet zaaien en niet maaien. Dat staat er ook op het kaartje. Dat zaaien en maaien is natuurlijk iets waar wezens hogerop op de evolutionaire ladder zich mee bezighouden. Zaaien ze niet een klein beetje wanneer ze zaadjes van plantjes eten en die dan ergens via de stoelgang droppen, zodat de planten zicht verspreiden? En maaien ze ook niet een klein beetje wanneer ze takjes zoeken voor hun nestje? Nee? Wellicht is dat te ver gezocht en moet de wereld voor een 8-jarige niet te complex gemaakt worden.

Maar dat hoeft ook helemaal niet, ze moeten helemaal niet zaaien en maaien. Ze worden gevoed door de hemelse Vader. Chill en relax dus voor al het gevogelte. Er wordt voor hen gezorgd. Wel ja, ze krijgen het uiteraard niet op een bordje voorgeschoteld. Ze moeten het nog altijd zelf verzamelen, en ook zelf duizenden kilometers naar het zuiden vliegen wanneer het eten hier op is. Ja, dat is toch wel een kleine moeite, niet? Ze kunnen vliegen, dus het zou maar kleingeestig zijn als ze daarover zouden zeuren. De wormen en de insecten zijn er in overvloed, ze moeten enkel naar binnen gespeeld worden. Easy-peasy, lemonsqueezy!

Maar uiteraard heeft de achterliggende boodschap niets met vogels te maken. Het heeft alles te maken met het feit dat je moet vertrouwen. In een hemelse Vader, volgens het kaartje. Ik ben zo benieuwd van wat ik er echt over dacht toen ik 8 was. Gelukkig ben ik niet gestopt met nadenken en studeren. Het zou een gevolg kunnen zijn van de tekst op het kaartje. Waarom moeite doen? Let eens op de vogels, strevers aller landen! En stop met werken. Vlieg er op uit!

Gevleugelde groeten,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Over structuren en de wet van Hooke

‘Ut tensio sic vis’, zo klinkt de wet van Hooke in het Latijn. Zoals de verlenging is, zo is de kracht. Het drukt uit dat er een evenredigheid is tussen de kracht op een voorwerp en de verlenging. Denk maar aan een veer van een weeghaak. Bij het verdubbelen van de last zal ook de verlenging verdubbelen. De wet van Hooke stipuleert dat alle materialen zich op deze manier gedragen. Een mooie wet, alleen… geen enkel materiaal volgt deze wet!

kx-law-Hooke-F-force-length-displacement

De wet van Hooke kan men ternauwernood een wet noemen, toch zeker in vergelijking met de quasi algemeen geldende natuurwetten van Newton, z’n eeuwige rivaal. De relatie wordt tegenwoordig echter steeds uitgedrukt als een evenredigheid tussen de spanning (zie Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen) en rek, wat niet de verlenging is maar de relatieve verlenging. Deze begrippen waren nog niet zo vertrouwd in de tijd van Hooke. De wet van Hooke ziet er dan dus als volgt uit:

Maar zoals reeds aangekondigd zijn er geen materialen die zich perfect houden aan deze wet. Alleen al om de simpele reden dat geen enkel materiaal oneindig sterk is. Ieder materiaal heeft z’n specifieke spanning-rek curve maar één ding is zeker: op een zeker moment is er een breuk. Op onderstaande grafiek is het duidelijk dat er bij kleine rekken een lineair gedrag is, dat is het elastisch gebied, maar verder hebben verschillende materialen uiteenlopend gedrag bij oplopende rek, zoals je op onderstaande grafiek kan zien.

Typical-stress-strain-curves-of-polymers-tested-at-different-temperatures-curves-a-c

De rek. Daar moeten we het eerst eens over hebben. Thomas Young deed ooit een vergeefse poging om dit aan de mensheid uit te leggen, jammer genoeg was er geen enkele sterveling op aarde die een jota begreep van wat hij juist bedoelde… “We may express the elasticity of any substance by the weight of a certain column of the same substance, which may be denominated the modulus of its elasticity, and of which the weight is such, that any addition to it would increase it in the same proportion as the weight added would shorten, by its pressure, a portion of the substance of equal diameter.” Toch wordt de elasticiteitsmodulus naar hem genoemd: de Young-modulus.

Hier volgt mijn poging om het bevattelijk uit te leggen: Rek is de mate van relatieve verlenging of verkorting van een materiaal. Wiskundig gezien is een verkorting een negatieve rek, soms wordt ook wel een het begrip stuik gebruikt om een verkorting aan te duiden. De algemene definitie van rek is de verhouding van de verlenging tot de oorspronkelijke lengte:

Hieruit volgt dat de rek een dimensieloze eenheid is. Een rek van 1 betekent dat de oorspronkelijke lengte verdubbeld is. Meestal is de relatieve verlenging echter subtieler van aard en wordt de rek uitgedrukt in promille of micron. Soms wordt ook de eenheid ‘S’ (strain) gebruikt om de hoeveelheid rek aan te geven.

De verhouding tussen de spanning en de rek wordt de elasticiteitsmodulus E van een materiaal genoemd, het geeft de weerstand tegen rek aangeeft. Stijve materialen hebben een hoge elasticiteitsmodulus en flexibele materialen een lage. Je kan je zo wel inbeelden dat rubber een zeer lage elasticiteitsmodulus heeft en glas heeft dan weer een hoge elasticiteitsmodulus. Hieronder zie je de de elasticiteitsmodulus (of Young-modulus) uitgezet voor bepaalde materiaalgroepen. In onderstaande grafiek wordt de elasticiteitsmodulus (Young’s Modulus) uitgezet ten opzichte van het soortelijk gewicht van de materialen, zo zie dat grosso modo zwaardere materialen eerder stijver zijn.

Young Modulus

We moeten dus vaststellen dat de wet van Hooke in feite meer een soort van vereenvoudiging is van het gedrag van materialen bij kleine rekken, maar dat de spanning-rek curve tot breuk per materiaal sterk kan verschillen. Glas zal zoals wel bekend plots breken, staal kan behoorlijk vervormen vooraleer er breuk is. Het gedrag van een materiaal na het elastisch gebied wordt het plastisch gebied genoemd. Het punt waarop een materiaal het elastisch gebied verlaat wordt het vloeipunt genoemd. Dat glas plots breekt heeft te maken met het ontbreken van een plastisch deel van de curve, een eigenschap van brosse materialen.

stress strain

En mocht je nu denken dat we vooral sterke en stijve materialen nodig hebben om veilige gebouwen te maken… dan heb je het helemaal mis! En dat heeft dan weer alles te maken met vervormingsenergie. Waarover later uiteraard meer…

Tot breuk uitgerekte groeten,

T.E.

In deze reeks:

Over structuren en de derde wet van Newton

Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen

P.S.

Er wordt in de wandelgangen gefluisterd dat het, mede door het toedoen van de niet aflatende ijver van Newton om de herinnering aan Hooke zoveel mogelijk uit te wissen, geen portretten zijn overgebleven van de arme man. Het portret hieronder is een hedendaagse poging op basis van de overgeleverde geschreven info.

 

13_Portrait_of_Robert_Hooke

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Over structuren en het spannend verhaal van trekken en duwen

Er wordt niet enkel in wetenschappelijke kringen over spanning gesproken. Spanningen kunnen hoog oplopen tussen mensen of landen. Een boek kan spannend zijn. Ons dagelijks leven zit uiteraard ook vol stress (of spanning). We geven aan dat het een toestand is die in extremis kan leiden tot ruzie, oorlog, ontknoping of een zenuwinzinking… Een zwaar belastende job geeft je veel stress. De analogie voor materialen is zeer gelijklopend: een zwaar belast materiaal zal onder hoge spanning staan, totdat de spanning te hoog oploopt en het materiaal bezwijkt.

main-qimg-11a13227b43cff2cde6b30cc92816448

Als voorproefje voor dit schrijven had ik verkondigd dat krachten niet bestaan in realiteit (Over structuren en de derde wet van Newton), dat zal ik hier zeker niet ontkrachten, wel toelichten. Krachten bestaan niet in de zin dat een krachtvector een wiskundige constructie is zoals een rechte of een lijnstuk en daardoor geen breedte heeft en daarmee moeilijk verzoenbaar is met de werkelijkheid die zich in alle ruimtelijkheid voor ons ontplooit. In deze werkelijkheid is de spanning die optreedt in materialen een veel betere maatstaf van de toestand van een materiaal dan kracht. Bouwkundigen zullen daarom aan het einde van het verhaal vooral geïnteresseerd zijn in de spanningen die heersen in de materialen waarin constructies zijn opgebouwd, deze spanningen worden gedefinieerd als de kracht per oppervlakte:

stress_pic2

De Griekse kleine letter sigma wordt in de sterkteleer meestal als symbool gebruikt voor spanning en deze wordt uitgedrukt in Newton per vierkante meter (N/m²), algemene spanningen in de natuurkunde worden veelal uitgedrukt met het symbool p (pressure). De eenheid van spanning is pascal (Pa) waarbij 1 Pa = 1 N/ m². Deze eenheden maken deel uit van de uniforme internationale standaardeenheden (het SI-stelsel), en het pleit zeer voor de wereldwijde samenwerking van wetenschappers dat bijna alle landen diezelfde eenheden gebruiken. Het zou werkelijk onhandig zijn als bepaalde landen spanning in pakweg pond per vierkante duim zouden uitdrukken. Het is dan in het licht van de uniformisering betreurenswaardig dat we nota bene de Verenigde Staten van Amerika terug vinden in het rijtje van landen, naast Myanmar en Liberia, die niet officieel het SI-stelsel hebben ingevoerd. Dat maakt overigens dat bouwkundige naslagwerken (en ik vermoed bij uitbreiding veel wetenschappelijke boeken) uit de VS quasi waardeloos zijn in de rest van de wereld en de ontgoocheling is dan ook groot wanneer een aangekocht boek in deze middeleeuwse eenheden blijkt opgesteld te zijn. Voor degenen die toch de omrekening willen doen: 1 psi = ca. 6895 Pa, waarbij psi staat voor ‘pounds per square inch’.

psi kPa

Maar laten wij ons niet al te zeer verkneukelen in deze trans-Atlantische bizariteit. Wanneer wij spreken over een bloeddruk die 14 over 7 is dan spreken wij ook helemaal niet in pascal of N/m², maar hebben we het over kwikdruk in cmHg. Het was gebruikelijk om de luchtdruk te meten met behulp van een kolom kwik, de normale atmosferische luchtdruk bedraagt zo’n 760 mmHg. Kwik is veel zwaarder dan andere vloeistoffen, en daarom handiger qua formaat, zo is het historisch gegroeid dat mmHg de eenheid voor bloeddruk is geworden en 1 mmHg is trouwens gelijk aan ca. 133,322 Pa. De schaal is nu zo ingeburgerd dat het standaard is om lichaamsvloeistoffen uit te drukken in mmHg, voor alle andere toepassingen is het SI-stelsel de standaard. Een normale bloeddruk van 120 mmHg komt overeen met een druk van 16 kPa.

Het feit dat de luchtdruk op aarde schommelt rond 100 kPa (komt overeen met 1 bar) is op het eerste zicht verwonderlijk. Op ieder van ons heerst er een druk die equivalent is met een waterkolom van 10 m. Dat is een behoorlijke druk en zoals veel zaken die niet opvallen, valt hij pas op wanneer we hem moeten missen. Zoals op de maan, waar zonder ruimtepak onze lichaamssappen zouden koken, bij het ontbreken van voldoende luchtdruk, wat steeds tot een gewisse dood zou leiden. Dat doet me denken aan de koningin van de nacht uit De Toverfluit die zingt: “Der Hölle Rache kocht in Meinem Herzen”. Het bloed kookt in haar hart! Extreme drukken vinden we in het heelal: zowel het bijna absolute vacuüm in de verste leegtes van ons universum als de werkelijk extreme drukken binnen in een neutronenster. Daar heersen zo’n extreme drukken dat het onbegonnen is om ook maar enige vergelijking te maken. Toch een poging: een theelepeltje neutronenster weegt 10 miljoen ton, of evenveel als 50 keer het gewicht van de grootste containerschepen die er bestaan…

neutronenster

Maar terug naar spanningen in materialen, deze zijn nog een paar grootte ordes groter dan de luchtdruk en worden meestal uitgedrukt in MPa (één miljoen Pa). De maximale trekspanning in een materiaal wordt de treksterkte genoemd. Zo is de treksterkte van normaal staal 420 MPa. Hout is tien keer minder sterk: de sterkte van dennenhout is 40 MPa. Een enorm sterk materiaal is een koolstof nanobuis met een sterkte van maar liefst 62.000 MPa. En de treksterkte van beton sluit vele lijstjes van materialen af met een bedroevende 2 MPa.

Hoe is het mogelijk dat we zoveel gebouwen hebben opgetrokken met zo’n zwak materiaal als beton? Om dit te verklaren moeten we begrijpen dat spanningen zich manifesteren in twee verschijningsvormen: drukspanningen en trekspanningen. De luchtdruk is ontegensprekelijk een drukspanning, maar de treksterkte van materialen gaat over de trekspanningen. Beton heeft weliswaar een lage treksterkte, maar kan zeker z’n mannetje staan als het over druksterkte gaat. Dat is trouwens z’n sterkste punt, sterkteklassen van beton verwijzen altijd naar de druksterkte. Zo is C30/37 een beton met een karakteristieke druksterkte van 30 MPa op een proefcilinder (de 37 MPa slaat op de druksterkte op een proefkubus). Gewapend beton is een mooi huwelijk tussen beton en staal waarbij beton de drukspanningen voor z’n rekening neemt het staal de trekspanningen. Het gezegende aan dit huwelijk is dat beide materialen op dezelfde manier reageren op temperatuurschommelingen en dat beton het staal beschermd tegen corrosie.

Reinforced-Concrete

Dat spanningen een ander fenomeen zijn dan krachten kan je zelf ervaren als je een scherp potlood tussen duim en wijsvinger houdt en die samendrukt. De kracht in het potlood is uiteraard dezelfde, maar bij de kleine oppervlakte van de punt zal de spanning groter zijn (kracht gedeeld door kleiner oppervlak) en dat zie je ook afgetekend in je huid. Het is een welbekend voorbeeld dat een olifant gemakkelijker door het zand stapt dan iemand op stiletto’s. Dat heeft niets te maken met de kracht, maar alles met de spanning, want de spanning op de grond van de stiletto’s is veel groter dan de spanning veroorzaakt door een olifantenpoot. Laat ons dat eens snel berekenen voor een dame van 60 kg met hakken van diameter 1 cm diameter en een olifant van 5 ton met 4 poten met een diameter van 30 cm.

stiletto-elaphant

De druk onder een stiletto is wel 20 keer hoger dan de druk onder een olifantenpoot, daarmee loopt de olifant beduidend vlotter door het zand dan de dame in kwestie en begrijpt iedereen beduidend beter het verschil tussen krachten en spanningen.

Van de olifantenpoot naar een stevige kolom in een gebouw is maar een kleine stap het zijn allebei elementen waar er drukspanningen in heersen. Een mooi voorbeeld van trekspanningen zijn de spanningen in een kabel, en bij uitbreiding alle constructies die gebruik maken van kabels. Hangbruggen en tuibruggen zijn pareltjes van voorbeelden.

Cable-stayed-bridge-1000x500

Spanning. Het doet wat met een mens. Maar wat doet spanning met materialen? Vroeg of laat komt het tot breuk en sterke materialen zijn bestand tegen grote spanningen, maar hoe reageert een materiaal op spanning? We hadden het vorige keer over Newton en z’n wet over actie en reactie die aan de basis licht van de krachtenanalyse van een structuur. Maar minstens even belangrijk voor de bouwkundige analyse van structuren is de wet van z’n tijdsgenoot en rivaal: Robert Hooke. De wet van Hooke is werkelijk de Alfa en de Omega van de sterkteleer.

In een volgend schrijven zal de wet van Hooke onder de loep genomen worden, waarmee dit schrijven eindigt in spanning!

Spannende groeten,

T.E.

kisspng-hooke-s-law-shear-stress-strength-of-materia

Geplaatst op door Tijs Essel · 2 reacties

Over structuren en de derde wet van Newton

Newtons bewegingswetten toepassen op bouwkundige structuren lijkt op het eerste zicht een nutteloze onderneming. Structuren worden immers niet verondersteld te bewegen. Het liefst hebben we ze statig, solide en immobiel (vandaar ook immobiliën). Teveel beweging, laat staan een instorting, is uit den boze. Toch zijn structuren doordrongen van de derde wet van Newton. Die van actie en reactie! 

Structuren zijn er overal. Zoals iemand met een hamer overal nagels ziet en een leraar Nederlands overal taalfouten ziet, zo ziet een bouwkundige overal structuren. En dan zeker niet alleen in gebouwen. Ook een stoel, een kast, een ei, een boom, een huisjesslak, een verkeerslicht, een kartonnen doos, een glas en zelfs ons eigen lichaam zijn allemaal stuk voor stuk structuren. Het is niet voor niets dat ze soms spreken van een ‘kathedraal’ van een lichaam! En van simpel karton worden bouwkundigen werkelijk poëtisch: wat een prachtige mini-vakwerkjes komen immers te voorschijn wanneer je karton doormidden snijdt!

profipack_golfkarton_platen-7

De derde wet van Newton stelt dat wanneer een voorwerp A een kracht op een ander voorwerp B uitoefent, deze gepaard gaat met een even grote maar tegengesteld gerichte kracht van B op A. De woorden actie en reactie zijn wat misleidend want de krachten komen gelijktijdig voor, de ene is niet de oorzaak van de andere. De nagel slaat net zozeer op de hamer als de hamer op de nagel, met een even grote en tegengestelde kracht. Als een bokser z’n collega een welgemikte uppercut geeft, dan is het een magere troost voor laatstgenoemde dat de kracht van z’n kin terug op de bokshandschoen van z’n opponent precies even groot is. ‘Eat this!’, kan hij denken, net voor hij KO gaat, terwijl hij languit op de grond neergezijgd opnieuw een treffend voorbeeld is van de derde wet van Newton als interactie tussen z’n lichaam en de grond. Reciprociteit van krachten (of wederkerigheid) is een begrip die wellicht meer de lading dekt van de derde wet van Newton.

boksers met krachten

Ik weet niet welke job jij uitoefent, welke strijd er bij jou moet gestreden worden, maar bouwkundigen vechten tegen de zwaartekracht. Ze vechten tegen nog wel meer zaken, maar in hoofdzaak tegen de zwaartekracht, die vijand nummer één is van bouwkundige constructies. Het instorten van bruggen of gebouwen is een gebeurtenis waarbij de zwaartekracht wint. Het gebeurt gelukkig niet veel tijdens de levensduur waarvoor een constructie ontworpen is, maar als je maar lang genoeg wacht (op een geologische schaal), wint de zwaartekracht altijd.

Een muur is een eenvoudige constructie om de derde wet van Newton te illustreren. De muur oefent een kracht uit op de grond, en de grond oefent eenzelfde, tegengestelde  kracht uit op de muur. Hoe groter de muur, hoe groter de kracht, dat lijkt logisch. Want grotere muren zijn zwaarder, ze wegen meer. Die kracht is echter niet enkel de verdienste van de massa van de muur, maar evenzeer speelt de massa van de aarde hierin een rol. Eenzelfde muur op de maan, zal minder wegen.

muur 3de wet newton

Om de puntjes op de i te zetten zullen we hier nog eens de begrippen massa en gewicht door de mangel halen. Massa is onafhankelijk van het zwaartekrachtveld. Ook zwevend in de ruimte heb je een welbepaalde massa, maar aangezien er geen zwaartekracht is, heb je geen gewicht. De massa wordt uitgedrukt in kg, waar je ook heengaat blijft dit onveranderlijk. Het is echter de valversnelling die ervoor zorgt dat deze massa een welbepaalde kracht zal ondervinden die gelijk is aan de massa van het voorwerp vermenigvuldigt met de valversnelling: F=mg. Je zou vanaf nu heel logisch je gewicht in Newton (eenheid van kracht) kunnen uitdrukken, maar het is niet gegarandeerd dat hiervoor een sociaal draagvlak is…

Hoe kijkt een bouwkundige nu naar die muur? Een bouwkundige onderscheidt zich in alle bescheidenheid van de andere stervelingen op deze aardbol met het sublieme en tevens subtiele inzicht dat de interactie tussen de muur en de grond evengoed moet gelden voor de interactie tussen de rijen stenen van de muur. Steunen de bovenste 3 rijen immers niet op alle onderste stenen? Waar men ook een snede neemt geldt de derde wet van Newton! Het spreekt voor zich dat de snede-kracht in de onderste rij van de muur groter is dan de snede-kracht in de bovenste rij. En in feite is dat al een structurele analyse van de muur voor het belastinggeval van z’n eigen gewicht. Voor complexere structuren zoekt men ook de snedekrachten voor elke mogelijke snede van de structuur en de derde wet van Newton vertelt ons dat we in elke snede wederkerige krachten moeten vinden tussen deel A van de constructie aan de ene kant van de snede en deel B aan de andere kant van de snede.muur 3de wet newton

Kortom: we snijden in gedachten eender welke constructie doormidden en gaan op zoek naar de snedekrachten. Helaas is het niet zo simpel, want krachten bestaan in feite niet in de realiteit. Een straffe uitspraak, I know, maar het wordt helemaal duidelijk in het volgende deel ‘over structuren’.

Even grote en tegengestelde groeten,

T.E.

cartoon dikker en dikker 2

 

 

 

Geplaatst op door Tijs Essel · Één reactie

Ook voor Coronavirus-data geldt dat een getal meestal begint met het cijfer 1, 2 of 3, de wet van Benford volgend

Als je de lijst van Corona-besmettingen per land overloopt valt het je niet meteen op, maar de meeste getallen beginnen met 1, 2 of 3. En dat is toch bizar, want we hebben toch 9 mogelijkheden voor het eerste cijfer, met bijhorende kans van 1 op 9 (11%) Klopt niet. En er is meer: bijna alles om ons heen volgt deze wetmatigheid: de kans dat een getal begint met ‘1’ is 30%, de kans op een 9 slechts een kleine 5%. Neem maar de proef op de som en turf de getallen in je krant: je zal zien dat meer dan de helft van de getallen start met 1, 2 of 3. Ik vind dit waanzinnig! Het is de fysische wereld die spartelt in het keurslijf van ons positiestelsel.

2020-03-08 09_29_53-Benford.xlsx - Excel

Ik poneerde dit gisteren bij een vriend en we namen samen de proef op de som: we namen de krant en ik turfde het aantal keer dat een getal met een bepaald cijfer begon. En na enkele pagina’s van De Tijd doorploegd te hebben op zoek naar getallen was het overduidelijk: hoe hoger het cijfer hoe minder kans dat het een startcijfer is. Hieronder de uitslag waaruit overduidelijk blijkt dat de kans op het eerste cijfer niet gelijk verdeeld is.

turven De Tijd

We hebben daarna zowel het aantal inwoners als de oppervlakte van elk land op de zelfde manier geanalyseerd en we komen tot de zelfde verrassende vaststelling dat het cijfer 1 het meest voorkomt of het nu gaat over een aantal inwoners of een oppervlakte. Het maakt zelfs niet uit in welke eenheid de oppervlakte wordt beschouwd vierkante km, vierkante mijl, hectares,… de uitkomst zal eenzelfde beeld geven.

opp inwoners per land - benford

Ook ik vond dat op het eerste zicht verrassend en zelfs verbluffend: hoe is het mogelijk? Het fenomeen blijkt beschreven te zijn door de wet van Benford, en dat is wat wikipedia ons vertelt:

“De wet van Benford beschrijft de frequentieverdeling van het begincijfer van getallen in grote dataverzamelingen waarin een beperkte mate van stochasticiteit optreedt. De wet van Benford werd in 1881 ontdekt door de Amerikaanse wiskundige en astronoom Simon Newcomb, maar kreeg grote bekendheid door de herontdekking en publicaties in 1938 van Frank Benford, een fysicus die zijn hele leven bij het Amerikaanse bedrijf General Electric heeft gewerkt.”

De wet van Benford drukt op volgende wijze uit wat de kans is op een startcijfer ‘d’:

Toegepast op het cijfer ‘1’ geeft dit:

d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kans (%) 30,1 17,6 12,5 9,7 7,9 6,7 5,8 5,1 4,6

Hoe kunnen we dit verklaren? Er lijkt niet echt een eenvoudige wiskundige verklaring te zijn. Wat we wel kunnen aantonen is dat als we een frequentieverdeling beschouwen van de startcijfers die onafhankelijk moet zijn van de gebruikte eenheid, we op een logaritmische frequentieverdeling komen, zoals hierboven beschreven.  Concreet wil dat zeggen dat we er van uitgaan dat de eenheid voor bepaalde grootheden geen invloed heeft op het resultaat. Want het is de mens die heeft uitgevonden hoelang een meter is. Daar kan de natuur of de werkelijkheid der dingen zich niets van aantrekken.

Eens je beseft dat het switchen van de ene eenheid naar een andere in feite een vermenigvuldiging is, kan je het fenomeen begrijpen door er een cirkelvormige rekenlat bij te halen. Jammer genoeg heb ik er geen in bezit, maar op een Breitling Navitimer zijn de buitenste rijen getallen die je kan verdraaien ten opzichte van elkaar eigenlijk een rekenlat. Wat kan je daarmee doen? Getallen vermenigvuldigen door te draaien, zie ook: De geheimen van grootvaders rekenlat. Graag breng ik je aandacht op het feit dat meer dan de helft van de cirkel getallen zijn die beginnen met een 1, 2 of 3. Dus hoe meer we willekeurige getallen gaan vermenigvuldigen hoe meer we zullen voldoen aan de wet van Benford. En we moeten hierbij ook opmerken dat we meeste natuurwetten gebaseerd zijn op een vermenigvuldiging, denk maar aan F=ma, de gravitatiewet, wetten van Maxwel,…

Breitling-Navitimer-Rattrapante.--600x406

Een test die je eenvoudig zelf kunt doen is willekeurig gekozen getallen A, B en C vermenigvuldigen op een rekenmachine en turven wat de frequentieverdeling is van uitkomst AxBxC, en na een tijdje zal de wet van Benford zich aan je openbaren: cijfer 1 zal beduidend meer voorkomen dan de andere cijfers.

Geldt de wet voor alle reeksen van getallen? Nee, dat ook weer niet. Om dergelijke verdeling te hebben moeten de gegevens over meerdere grootte-ordes gespreid zijn. Dus de lengtes van personen vallen hier bijvoorbeeld niet onder. Ook een lijst van hoogste bergtoppen niet, maar een lijst van alle bergen op aarde dan weer wel.

Het is contra-intuïtief omdat het het begrip ‘ad random’ een beetje op z’n kop zet. Als je getallen door een computer ad random laat bepalen dan zullen ze niet aan de wet van Benford voldoen. Het zijn dan ook geen werkelijke dingen die gemeten of geteld kunnen worden, maar enkel een getal genomen uit een verzameling van getallen, zoals een lotto-trekking. Als je op een bepaald moment een aantal gegevens moet verzinnen, b.v. facturen of in een wetenschappelijk onderzoek, kan je maar beter zorgen dat deze voldoen aan de wet van Benford. Want je zou niet de eerste fraudeur zijn die tegen de lamp loopt doordat z’n data zo verzonnen is dat alle startcijfers gelijk verdeeld voorkomen.

Tot slot terug naar het Corona-virus. Een prachtig voorbeeld van exponentiële groei in de huidige fase. Zie ook: Dromen over het getal e. Wanneer je een bedrag laat opbrengen op de bank zal het totaal bedrag groeien. Maar om van 100 euro naar 200 euro te groeien moet het bedrag verdubbelen (groei: 50%), maar daarentegen om te groeien van 800 euro naar 900 euro hoeft het bedrag maar te groeien met 12,5%. Daarom blijft het totaalbedrag langer ‘hangen’ tussen 100 en 200 euro en groeit het sneller door van 800 naar 900 euro. Wat we terugvinden in de frequentieverdeling van alle bedragen die op de bank staan, daarvan zal 30% ook starten met een ‘1’ ! Ook voor het aantal Corona-besmettingen is het een verdubbeling om van 1000 naar 2000 besmettingen te gaan, maar slecht een kleine groei om van 8000 naar 9000 besmettingen te gaan. En dat raakt volgens mij de ziel van deze mooie wetmatigheid.

Getallen die de Benford-wet volgen zijn echt en staan met beide voeten in de werkelijkheid.

Het is op dit moment (begin maart 2020) nog koffiedik kijken hoeveel het maximale aantal besmettingen per land zal zijn, maar één ding weten wel wel: het zal voldoen aan de wet van Benford.

En in tijden van onzekerheid, is dit misschien een lichtpuntje.

Benford-verdeelde groeten aan iedereen,

T.E.

Geplaatst op door Tijs Essel · 3 reacties

Tijd voor een spelletje Dobble! Maar wacht eens… hoe zit dat in elkaar?

Dobble. Zeggen dat je zenuwen gesloopt worden is misschien overdreven, maar je zenuwen worden toch serieus onder druk gezet. (Zoveel bouwkundige uitdrukkingen in ons dagelijks leven waar je op kunt bouwen!) Je hebt kaarten met daarop 8 verschillende symbolen en elke twee kaarten hebben slechts één gemeenschappelijk symbool. En dat moet je natuurlijk zo snel mogelijk in de mot hebben om te winnen. En kinderen kunnen er verduiveld goed in zijn. Maar wacht eens even… stel dat je meer of minder symbolen per kaart hebt… papa moet even iets gaan opzoeken, meisjes!

dobble

En ja… net wat ik dacht. Er bestaat een formule dat aangeeft wat het maximale aantal kaartjes is dat je kan maken met een bepaald aantal symbolen op je kaart. Voor een zeer eenvoudig geval van 2 symbolen per kaart kan je gemakkelijk uitzoeken dat het maximaal aantal kaarten 3 is. Stel dat de symbolen A, B en C zijn, dan zul je 3 kaartjes hebben: AB, AC en CB. Ieder kaartje heeft inderdaad slechts één gemeenschappelijk symbool. We kunnen dus al stellen dat 2 symbolen –> 3 kaartjes. Hieronder een grafiek waarop de kaartjes zijn weergegeven en de lijnen tonen aan welke symbool de kaarten gemeenschappelijk hebben.

IMG_20200207_0004

De grafiek heeft de volgende eigenschappen (lijnen staan voor symbolen, kaarten zijn de snijpunten):

  • Gelijk welke twee kaarten zijn telkens verbonden met één lijn (dat zorgt er voor dat er tussen elke twee kaarten een gemeenschappelijk symbool is)
  • Gelijk welke twee lijnen snijden slechts in één kaart (zorgt ervoor dat er slechts één gemeenschappelijk symbool is)

So far so good, maar wat met 3 symbolen per kaart? Hoeveel verschillende symbolen en dus hoeveel kaarten kan je nu maken? Laten we maar direct proberen een grafiek te maken waar elke kaart het kruispunt is van 3 lijnen (3 symbolen per kaart)… In de grafiek staan 4 kaarten en we maken gebruik van 6 symbolen A tot F.

IMG_20200207_0005

Maar we kunnen met 3 symbolen verder gaan dan 4 kaarten, hieronder een grafiek van het maximaal mogelijke aantal kaarten met 3 symbolen. Ook hier geldt dat alle twee kaarten verbonden zijn met een lijn, en dat 2 lijnen slechts op één punt snijden. En inderdaad, niemand zei dat het rechte lijnen moesten zijn hé. Vervang de letters door leuke tekeningen en je kan al een zeer eenvoudige Dobble-spel samenstellen van 7 kaarten met telkens 3 symbolen op de kaart.

IMG_20200208_0001

Dus met 2 symbolen per kaart vinden we een maximum van 3 kaarten en 3 verschillende symbolen. En met 3 symbolen vinden we maximum 7 kaarten en 7 verschillende symbolen: ABC, CFG, CDE, BEG, AEF, BDF en ADG. Het spreekt misschien iets meer aan met echte symbolen en mooie kleurtjes:

fano-plane.png

Het kan wiskundig aangetoond worden dat als we r symbolen per kaart kiezen het totaal aantal kaarten N (en ook het totaal aantal verschillende symbolen) gelijk is aan:

Dit lijkt inderdaad te kloppen voor r=2, dan wordt N=3. Bij r=3 vinden we dat N gelijk is aan 7. Deze ‘Dobble’-formule blijft geldig voor hogere waarden van r. Maar het maken van de grafiek wordt dan steeds wat complexer. stel nu dat we r=4 nemen, dan krijgen we een totaal van N=13, een bijhorende grafiek vind je hieronder. De zwarte punten staan voor de 13 kaarten en de 4 lijnen die er snijden stellen de symbolen voor, hier voorgesteld als 13 verschillende kleuren.

SymmetricalProjectivePlaneOrder3

En zo kunnen we verder gaan en voor r=5 vinden we N=21.

21lines

En voor 8 symbolen per kaart, zoals bij het Dobble-spel vinden we N=57. Ook hiervan heb ik een grafische weergave gevonden, je kan zien dat voor kaart 1 helemaal in het midden er 8 lijnen samenkomen.

pporder7

Maar wat merken we op als we de kaarten van Dobble tellen? Weliswaar 57 verschillende symbolen, maar slechts 55 kaarten! Dit wil zeggen dat er nog 2 unieke kaarten kunnen aangevuld worden aan het spelletje Dobble. Welke precies? Daar ben je ook al snel een avondje mee zoet denk ik.

Waarom 55 kaarten en niet 57? Dat is geen complot of vergetelheid denk ik, maar gewoon optimalisatie bij het drukken. Bij een gewoon spel speelkaarten stel je ook vast dat er naast de 52 kaarten (13×4) ook nog 2 jokers bijzitten en nog een instructie-kaart, wat het totaal brengt op 55 kaarten, die netjes in 11 rijen van 5 kaarten voorbij zoeven in de drukkerij… Ja, we eindigen gewoon met boerenverstand en de tafel van 5.

Tot zover een spelletje Dobble spelen met papa…

Aan iedereen unieke groeten,

T.E.

 

Geplaatst op door Tijs Essel

Priemgetallen staan in voor uw veiligheid… voorlopig althans

In 1977 werd door de heren Ron Rivest, Adi Shamir en Len Adleman een asymmetrisch encryptiealgoritme (de RSA encryptie) ontworpen , dat gebaseerd is op het ontbinden in factoren van grote getallen. Het is namelijk zeer gemakkelijk om getallen te vermenigvuldigen, maar het duurt eeuwig om deze getallen opnieuw te ontbinden in z’n factoren. Als deze twee getallen priemgetallen zijn dan is er maar één ontbinding mogelijk. Het is een mooi voorbeeld van hoe op het eerste zicht nutteloze wiskunde (de zoektocht naar zeer grote priemgetallen) toch de mensheid ten dienste kan zijn. De afkorting RSA is afkomstig van Rives-Shamir-Adleman: hieronder vrolijk samen op een graspleintje.

RSA

Wie al eens het moedige idee gehad heeft om een puzzel van meer dan duizend stukjes in elkaar te puzzelen zal beamen dat het proces van duizend stukjes naar puzzel veel langer duurt dan wanneer je op het einde de puzzel omzet naar duizend stukjes en de hele poespas weer in de doos kiepert in afwachting tot iemand anders op het idee komt om de stukken terug samen te puzzelen tot één of andere Oostenrijkse bungalow met een overdaad aan bloemen. Althans zo herinner ik me dergelijke puzzels. Hetzelfde geldt voor het ontbinden van het product van twee grote priemgetallen. Je kan in een fractie van een seconde het product maken, maar de ontbinding duurt jaren, en dat principe is zeer handig om een asymmetrische versleuteling te ontwerpen.

Wanneer ik mijn huis verlaat gebruik ik een sleutel om naar buiten te gaan. Wanneer ik na een tijdje weer naar binnen wil gebruik ik diezelfde sleutel. Het feit dat we voor beide richtingen (naar buiten en naar binnen) dezelfde sleutel gebruiken zorgt ervoor dat we in een symmetrische situatie zitten. Wanneer je echter een andere sleutel zou nodig hebben om weer naar binnen te komen dan is er sprake van asymmetrie. Zo’n systeem heeft meestal een publieke sleutel en een privé sleutel. Een publieke sleutel betekent dat iedereen de manier weet om een boodschap te versleutelen, maar dat alleen de ontvanger de manier weet om die versleutelde boodschap terug te brengen naar de oorspronkelijke boodschap.

Een uitleg over encryptie kan in feite niet zonder Alice en Bob op te trommelen die een boodschap willen uitwisselen, die niet onderschept mag worden door Eve! Bij een asymmetrische encryptie zal Bob een publieke sleutel aan Alice geven waarmee zij een boodschap kan versleutelen. Doordat deze sleutel publiek is kan Eve deze sleutel onderscheppen, maar ze kan deze sleutel niet gebruiken om de boodschap te ontcijferen. Dat kan alleen Bob, want hij beschikt over een private sleutel die hij met niemand heeft gedeeld, waarmee hij de boodschap kan decoderen. Superhandig want Alice en Bob kunnen zonder geheime sleutels aan elkaar te geven toch boodschappen uitwisselen, die Eve niet kan ontcijferen. In feite moet ik zeggen: nog niet kan ontcijferen…

Alhoewel de RSA-versleuteling met de huidige snelheid van traditionele computers bijna onmogelijk gebroken kan worden omwille van de enorme rekentijd die nodig is om een zeer groot getal te ontbinden in factoren, is het niet ondenkbeeldig dat er in de toekomst wel degelijk manieren zullen gevonden worden om de RSA-versleuteling toch te kunnen breken. Kwantumcomputers zouden over een paar jaren de klus kunnen klaren in enkele uren waar de klassieke computers eeuwen voor nodig hebben.

Dan kunnen we al vermoeden wat de de geheime informatiediensten van veel landen aan het doen zijn: massaal veel data in z’n versleutelde toestand opslaan totdat het moment komt dat de kwantumcomputers ver genoeg ontwikkeld zijn en er een algoritme zal gevonden worden worden om op relatief korte tijd zeer grote getallen te kunnen ontbinden… Hoog tijd dat er een andere ogenschijnlijk onnuttige tak van de wiskunde van het rek wordt gehaald om een nieuwe manier te vinden om boodschappen te versleutelen.

Gedecodeerde groeten,

T.E.